盲校高中數(shù)學(xué)滬教版必修第一冊 函數(shù)性質(zhì)知識清單

盲校高中數(shù)學(xué)滬教版必修第一冊函數(shù)性質(zhì)知識清單一、函數(shù)的基本概念與表示（一）函數(shù)的定義與三要素【基礎(chǔ)】【必考】在集合觀點(diǎn)下，設(shè)A、B是兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集。如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域。顯然，值域是集合B的子集。函數(shù)的三要素包括定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域。由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的，因此，如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，我們就稱這兩個(gè)函數(shù)相等（或?yàn)橥缓瘮?shù)）。【易錯(cuò)點(diǎn)】判斷函數(shù)是否為同一函數(shù)時(shí)，不能僅看形式上是否相同，必須檢查定義域和對應(yīng)關(guān)系是否完全一致。例如，f(x)=x與g(x)=|x|，由于對應(yīng)關(guān)系不同，它們不是同一函數(shù)。（二）函數(shù)的定義域求解策略【高頻考點(diǎn)】函數(shù)的定義域是使函數(shù)表達(dá)式有意義的自變量的取值范圍。對于盲校學(xué)生，應(yīng)強(qiáng)化對代數(shù)式約束條件的理解，通過觸覺和聽覺記憶形成條件反射。1.具體函數(shù)的定義域：根據(jù)解析式中各部分的限制條件，通過解不等式（組）求得。(1)分式型：分母不為零。如，則要求。(2)根式型：偶次根號下的被開方數(shù)非負(fù)。如，則要求。(3)零次冪型：零指數(shù)冪的底數(shù)不為零。如，則要求。(4)實(shí)際問題型：除了使數(shù)學(xué)表達(dá)式有意義外，還需符合實(shí)際問題的具體情境，例如長度、面積、時(shí)間等變量通常為正數(shù)。2.抽象函數(shù)的定義域：【難點(diǎn)】理解定義域是指自變量x的取值范圍，而非括號內(nèi)整體的取值范圍。(1)已知f(x)的定義域?yàn)镈，求f(g(x))的定義域：解不等式g(x)∈D即可。(2)已知f(g(x))的定義域?yàn)镈，求f(x)的定義域：求g(x)在x∈D時(shí)的值域。例如，若f(2x1)的定義域?yàn)閇0，1]，則對于f(x)，其定義域應(yīng)為當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，2x1∈[1，1]；而對于f(13x)，則需滿足13x∈[1，1]，解得x的范圍即為該函數(shù)的定義域。（三）函數(shù)的表示法與解析式求法【重要】函數(shù)的表示方法通常有三種：解析法（用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示函數(shù)關(guān)系）、列表法（列出表格表示自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系）和圖象法（用圖形表示函數(shù)關(guān)系）。在盲校教學(xué)中，列表法（通過盲文點(diǎn)字表格）和圖象法（通過觸覺圖形，如用凸點(diǎn)、線條或特殊材料制作的圖紙）尤為重要。求函數(shù)解析式是常見題型，主要方法有：1.待定系數(shù)法：已知函數(shù)類型（如一次函數(shù)、二次函數(shù)），可設(shè)出一般形式，代入已知條件求出系數(shù)。2.換元法：已知f(g(x))的表達(dá)式，令t=g(x)，反解出x代入，得到f(t)的表達(dá)式。注意新變量t的取值范圍即為函數(shù)f(x)的定義域。3.配湊法：從f(g(x))的表達(dá)式中配湊出g(x)的整體形式，然后直接替換。4.方程組法：對于滿足某種等式（如）的函數(shù)，常通過構(gòu)造方程組（如將x替換為）來求解。二、函數(shù)的基本性質(zhì)【核心內(nèi)容】（一）函數(shù)的奇偶性【重要】【高頻考點(diǎn)】1.定義【基礎(chǔ)】：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域I關(guān)于原點(diǎn)對稱。(1)偶函數(shù)：如果對于任意x∈I，都有f(x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)。(2)奇函數(shù)：如果對于任意x∈I，都有f(x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)。【非常重要】定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要前提。如果一個(gè)函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，那么它必然是非奇非偶函數(shù)。2.圖象特征：(1)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱。(2)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱。在盲校教學(xué)中，可通過制作對稱的觸覺圖形（如拋物線、雙曲線的一支等）讓學(xué)生通過觸摸感知這種對稱性。3.常見函數(shù)的奇偶性【必須掌握】：(1)常數(shù)函數(shù)（c為常數(shù)），當(dāng)c=0時(shí)，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；當(dāng)c≠0時(shí)，是偶函數(shù)。(2)冪函數(shù)：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，為奇函數(shù)；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，為偶函數(shù)。(3)一次函數(shù)：當(dāng)b=0且k≠0時(shí)，是奇函數(shù)；否則為非奇非偶函數(shù)。(4)二次函數(shù)：當(dāng)b=0時(shí)，是偶函數(shù)；否則為非奇非偶函數(shù)。(5)反比例函數(shù)：是奇函數(shù)。4.奇偶性的運(yùn)算性質(zhì)（在公共定義域內(nèi)）：(1)奇函數(shù)±奇函數(shù)=奇函數(shù)；偶函數(shù)±偶函數(shù)=偶函數(shù)。(2)奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù)；偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù)；奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù)。5.奇偶性與對稱性的延伸：(1)若函數(shù)f(x)滿足f(a+x)=f(ax)，則函數(shù)圖象關(guān)于直線x=a對稱。(2)若函數(shù)f(x)滿足f(a+x)=f(ax)，則函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)(a，0)對稱。(3)若函數(shù)f(x)滿足f(a+x)=f(bx)，則函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱。（二）函數(shù)的單調(diào)性【核心】【高頻考點(diǎn)】1.定義【基礎(chǔ)】：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間D?I。對于區(qū)間D內(nèi)任意兩個(gè)自變量的值和，當(dāng)時(shí)，(1)增函數(shù)：都有，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)。(2)減函數(shù)：都有，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)。如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間。【重要】單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，是針對定義域的某個(gè)子區(qū)間而言的。2.單調(diào)性的判定方法：(1)定義法：【必須掌握】這是證明單調(diào)性的根本方法。步驟：①取值：在區(qū)間D內(nèi)任取，且；②作差：計(jì)算；③變形：對差式進(jìn)行因式分解、通分、配方、有理化等恒等變形，化為易于判斷符號的形式；④定號：判斷的正負(fù)；⑤下結(jié)論：若，則函數(shù)在D上是增函數(shù)；若，則函數(shù)在D上是減函數(shù)。(2)圖象法：函數(shù)圖象從左到右上升的部分對應(yīng)增區(qū)間，下降的部分對應(yīng)減區(qū)間。盲生可通過觸摸觸覺圖形感知這種升降趨勢。(3)性質(zhì)法：①函數(shù)與的單調(diào)性相反。②當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的單調(diào)性相同；當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的單調(diào)性相反。③若f(x)恒為正（或恒為負(fù)），則f(x)與的單調(diào)性相反。④增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)；減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù)。⑤復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判定：【難點(diǎn)】【高頻考點(diǎn)】遵循“同增異減”原則。即對于函數(shù)，若u=g(x)在區(qū)間(a，b)上是單調(diào)函數(shù)，且y=f(u)在區(qū)間(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也是單調(diào)函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))在區(qū)間(a，b)上的單調(diào)性為：若內(nèi)、外層函數(shù)單調(diào)性相同，則復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；若內(nèi)、外層函數(shù)單調(diào)性相反，則復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)。⑥奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。（三）函數(shù)的最大（小）值【重要】【高頻考點(diǎn)】1.定義【基礎(chǔ)】：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：(1)對于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在，使得。那么，我們稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值。類似地，可定義最小值m（滿足f(x)≥m，且存在使得）。【易錯(cuò)點(diǎn)】函數(shù)的最值必須在定義域內(nèi)取得；最值是一個(gè)函數(shù)值，必須存在一點(diǎn)取到這個(gè)值。2.求函數(shù)最值（值域）的常用方法：(1)觀察法：適用于簡單函數(shù)，直接通過基本初等函數(shù)的性質(zhì)得出。(2)配方法：主要針對二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)。例如，求在區(qū)間[a，b]上的最值，需考慮對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系。(3)單調(diào)性法：利用函數(shù)的單調(diào)性求最值。這是最基本、最重要的方法之一。先確定函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，則最值在區(qū)間端點(diǎn)處取得。(4)換元法：通過引入新變量，將復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)化為簡單函數(shù)。如無理函數(shù)（a>0，b>0）可令轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值。注意換元后新變量的取值范圍。(5)分離常數(shù)法：用于形如（c≠0）的分式函數(shù)。將其變形為的形式，其中為常數(shù)，A，B為常數(shù)，從而利用反比例函數(shù)的性質(zhì)或值域不為來求解。(6)數(shù)形結(jié)合法：對于幾何意義明顯的函數(shù)，如斜率、距離等，可借助圖形直觀求解。(7)判別式法：適用于形如且分子、分母最高次為二次的分式函數(shù)（定義域?yàn)镽或部分R）。將其整理成關(guān)于x的一元二次方程，利用求解y的取值范圍，但需檢驗(yàn)等號能否成立。【易錯(cuò)點(diǎn)】要討論二次項(xiàng)系數(shù)為零的情況。（四）函數(shù)的零點(diǎn)【重要】【熱點(diǎn)】1.定義【基礎(chǔ)】：對于函數(shù)y=f(x)，我們把使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)。方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)。2.零點(diǎn)存在性定理：【非常重要】如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，這個(gè)c也就是方程f(x)=0的根。【易錯(cuò)點(diǎn)與拓展】(1)該定理只能判斷存在零點(diǎn)，但不能判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。如果函數(shù)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)，則存在唯一零點(diǎn)。(2)定理的條件是“連續(xù)不斷”且“端點(diǎn)函數(shù)值異號”，兩者缺一不可。反之，若f(a)·f(b)>0，函數(shù)在(a，b)內(nèi)也可能有零點(diǎn)（如函數(shù)在[2，2]上）。3.二分法求近似解：對于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f(a)·f(b)<0的函數(shù)y=f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法。主要步驟（設(shè)給定精確度ε）：(1)確定初始區(qū)間[a，b]，驗(yàn)證f(a)·f(b)<0。(2)求區(qū)間(a，b)的中點(diǎn)。(3)計(jì)算f()：①若f()=0，則就是函數(shù)的零點(diǎn)；②若f(a)·f()<0，則令b=（此時(shí)零點(diǎn)）；③若f()·f(b)<0，則令a=（此時(shí)零點(diǎn)）。(4)判斷是否達(dá)到精確度ε：即若|ab|<ε，則得到零點(diǎn)的近似值a（或b）；否則重復(fù)步驟(2)~(4)。三、函數(shù)的圖象與變換（一）函數(shù)圖象的作法【基礎(chǔ)】1.描點(diǎn)法：列表（根據(jù)定義域選取關(guān)鍵點(diǎn)）、描點(diǎn)、連線。盲生可通過在坐標(biāo)紙上用盲文點(diǎn)位描點(diǎn)，再用線連接，形成可觸知的圖象。2.基本初等函數(shù)圖象法：一次函數(shù)（直線）、二次函數(shù)（拋物線）、反比例函數(shù)（雙曲線）、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等，應(yīng)牢記它們的圖象形狀、關(guān)鍵點(diǎn)（如頂點(diǎn)、與坐標(biāo)軸交點(diǎn)、漸近線）和變化趨勢。3.圖象變換法：利用已知函數(shù)圖象，通過平移、對稱、翻折、伸縮得到新函數(shù)的圖象。（二）常見的圖象變換【重要】1.平移變換：(1)水平平移：的圖象，可由的圖象向左（h>0）或向右（h<0）平移|h|個(gè)單位得到。(2)豎直平移：的圖象，可由的圖象向上（k>0）或向下（k<0）平移|k|個(gè)單位得到。2.對稱變換：(1)關(guān)于x軸對稱：與的圖象關(guān)于x軸對稱。(2)關(guān)于y軸對稱：與的圖象關(guān)于y軸對稱。(3)關(guān)于原點(diǎn)對稱：與的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱。3.翻折變換（絕對值變換）：(1)：保留x軸上方圖象，將x軸下方圖象沿x軸翻折到上方。【易錯(cuò)點(diǎn)】這是將負(fù)函數(shù)值變?yōu)檎担瑘D象全在x軸上方。(2)：保留y軸右側(cè)圖象，去掉y軸左側(cè)圖象，再將右側(cè)圖象沿y軸翻折到左側(cè)（左側(cè)圖象與右側(cè)關(guān)于y軸對稱）。【易錯(cuò)點(diǎn)】這是定義域變?yōu)榉秦?fù)數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱。對于盲校學(xué)生，可以通過觸覺模型演示這種翻折效果，幫助他們建立空間想象。四、基本初等函數(shù)（Ⅰ）復(fù)習(xí)與拓展（一）二次函數(shù)【核心】【高頻考點(diǎn)】1.解析式三種形式：(1)一般式：（a≠0）。(2)頂點(diǎn)式：，其中(h，k)為頂點(diǎn)坐標(biāo)。(3)兩根式：，其中為方程的兩個(gè)實(shí)根。2.圖象與性質(zhì)：(1)開口方向：a>0時(shí)開口向上，a<0時(shí)開口向下。(2)對稱軸：直線或x=h。(3)頂點(diǎn)：或(h，k)，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)即為最值（在定義域?yàn)镽時(shí)）。(4)單調(diào)性：a>0時(shí)，在上遞減，在上遞增；a<0時(shí)反之。(5)最值：當(dāng)a>0時(shí)，；當(dāng)a<0時(shí)，。3.閉區(qū)間上二次函數(shù)的最值問題：【難點(diǎn)】【高頻考點(diǎn)】“軸動區(qū)間定”或“軸定區(qū)間動”。需根據(jù)對稱軸與區(qū)間的相對位置（對稱軸在區(qū)間左側(cè)、中間、右側(cè)）進(jìn)行分類討論，結(jié)合單調(diào)性求得最值。4.一元二次方程根的分布問題：【難點(diǎn)】通常結(jié)合二次函數(shù)圖象，利用判別式、對稱軸位置和端點(diǎn)函數(shù)值的符號來建立不等式組。（二）冪函數(shù)【基礎(chǔ)】1.定義：一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)。注意區(qū)分冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)（形如）。2.五個(gè)常用冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)（α=1，，1，2，3）：(1)所有冪函數(shù)在(0，+∞)上都有定義，且圖象都過點(diǎn)(1，1)。(2)α>0時(shí)，圖象過原點(diǎn)(0，0)，且在(0，+∞)上為增函數(shù)。(3)α<0時(shí)，圖象不過原點(diǎn)，且在(0，+∞)上為減函數(shù)。(4)通過觸覺對比不同α值的圖象，感受曲線形狀的變化：α越大，在x>1部分圖象增長越快。（三）指數(shù)與對數(shù)函數(shù)（回顧與銜接）1.指數(shù)函數(shù)（a>0且a≠1）：定義域R，值域(0，+∞)，恒過點(diǎn)(0，1)。a>1時(shí)增，0<a<1時(shí)減。2.對數(shù)函數(shù)（a>0且a≠1）：定義域(0，+∞)，值域R，恒過點(diǎn)(1，0)。a>1時(shí)增，0<a<1時(shí)減。它們互為反函數(shù)，圖象關(guān)于y=x對稱。五、函數(shù)的綜合應(yīng)用與思想方法（一）函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【熱點(diǎn)】1.建模步驟：審題（理解題意，明確變量關(guān)系）→建模（建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，如一次、二次、分段函數(shù)等）→求解（利用函數(shù)性質(zhì)求最值、解不等式等）→還原（將數(shù)學(xué)結(jié)果解釋為實(shí)際問題的答案）。2.常見模型：(1)二次函數(shù)模型：常用于面積最大、利潤最大、產(chǎn)量最優(yōu)等問題。(2)分段函數(shù)模型：涉及不同階段單價(jià)不同、運(yùn)輸方式不同、稅率變化等情景。【易錯(cuò)點(diǎn)】注意各段定義域的端點(diǎn)，以及最值可能在分段點(diǎn)處取得。(3)分式函數(shù)模型：如“對勾函數(shù)”（a>0，b>0），可利用均值不等式求最值，但需注意等號成立條件。3.盲校特色應(yīng)用：可設(shè)計(jì)涉及盲文印刷成本、有聲讀物時(shí)長與費(fèi)用、觸覺教具制作材料用量等實(shí)際問題，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的現(xiàn)實(shí)意義。（二）核心思想方法【升華】1.數(shù)形結(jié)合思想：將抽象的代數(shù)關(guān)系與直觀的圖形（觸覺圖形）結(jié)合起來分析問題。例如，利用圖象判斷單調(diào)性、奇偶性，求解方程根的個(gè)數(shù)、不等式等。2.分類討論思想：在遇到參數(shù)、不確定因素時(shí)，通過分類將復(fù)雜問題分解為幾個(gè)簡單問題。如二次函數(shù)最值問題中討論對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系。3.轉(zhuǎn)化與化歸思想：將不熟悉的、復(fù)雜的函數(shù)問題，通過換元、變形等手段，轉(zhuǎn)化為熟悉的、簡單的問題（如二次函數(shù)、基本初等函數(shù)）來解決。4.函數(shù)與方程思想：將方程的解看作函數(shù)的零點(diǎn)，利用函數(shù)性質(zhì)研究方程的解；將不等式問題轉(zhuǎn)化為比較函數(shù)值的大小或利用函數(shù)圖象求解。（三）典型題型與解題策略【必會】1.求函數(shù)值域或最值：首選單調(diào)性法，次選換元、配方法；對于分式型考慮分離常數(shù)或判別式。2.判斷函數(shù)單調(diào)性：定義法（用于證明）、圖象法（用于選擇填空）、復(fù)合函數(shù)“同增異減”法。3.判斷函數(shù)奇偶性：先看定義域是否對稱，再看f(x)與f(x)的關(guān)系。對于抽象函數(shù)，常通過賦值法推導(dǎo)。4.函數(shù)零點(diǎn)問題：利用零點(diǎn)存在性定理判斷區(qū)間內(nèi)是否有零點(diǎn)；結(jié)合單調(diào)性判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)；利用二分法求近似值。5.恒成立與存在性問題：【難點(diǎn)】(1)恒成立：在區(qū)間D上恒成立?在D上的最小值大于k；在D上恒成立?在D上的最大值小于k。(2)存在性：在區(qū)間D上能成立（有解）?在D上的最大值大于k；在D上能成立?在D上的最小值小于k。常用方法：分離參數(shù)法、構(gòu)造函數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法。分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值是最常用的策略。六、易錯(cuò)點(diǎn)與盲校教學(xué)特別提示（一）常見易錯(cuò)點(diǎn)歸納1.定義域先行：在研究函數(shù)任何性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、最值、零點(diǎn)）之前，必須首先