2025-2026學年山東青島第九中學高一下學期期中質量檢測數學試卷-含解析

/數學一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若復數滿足，則的虛部為（）A.2 B.1 C.i D.2.設向量，且，則（）A.0 B.1 C.2 D.33.給出下列四個命題：①若平面平面，直線，直線，則；②若直線直線，直線平面，直線平面，則；③若平面平面，直線，則；④若直線平面，平面平面，則．其中真命題的個數為（）A. B. C. D.4.已知圓臺的上?下底面半徑分別為1，2，體積為，則該圓臺外接球的體積為（）A. B. C. D.5.如圖，在正方體中，M，N，P分別是，BC，的中點，則下列說法不正確的是（）A.直線與NM是異面直線 B.C.平面 D.直線CP，，AM相交于一點6.在中，，且的面積為，則外接圓的半徑為（）A. B. C.2 D.47.柱是建筑物中用來承托建筑物上部重量的直立的桿體，俗稱“柱子”.柱子在各個時期既有延續與繼承，又有發展和變化，如方柱在秦代時開始出現，而在漢代時則又增加了八角形柱、束竹式柱、人像柱等.某涼亭的一根正三棱形柱子可近似看作如圖所示的圖形，記該正三棱柱為，其底面邊長是3，側棱長是，M為的中點，N是側面上一點，且平面，則點N的軌跡長為（）A.27 B. C.12 D.68.如圖，“六芒星”是由兩個邊長為2正三角形組成，中心重合于點O且三組對邊分別平行，點是“六芒星”（如圖）的兩個頂點，動點P在“六芒星”上（內部以及邊界），則的取值范圍是（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.如圖，向量，對應的復數分別為，，則下列選項正確的是（）A.，間的距離為B.為純虛數C.在復平面內對應的點位于第一象限D.若，則10.在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，，且的面積為1，則下列命題正確的是（）A.的外接圓半徑為1 B.C. D.可能為鈍角三角形11.如圖，在棱長為2的正方體中，點在線段（不包含端點）上，則下列結論正確的是（）A.三棱錐的體積隨著點的運動而變化B.異面直線與所成角的取值范圍是C.直線平面D.三棱錐的外接球表面積的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知非零向量，滿足，且在向量方向上的投影向量為，則，的夾角為_____.13.如圖，在圓錐PO中，，B，C為圓O上的點，且，，若D為PC的中點，E為OB的中點，則異面直線DE與PB所成角的余弦值為______14.如圖，在中，∠BAC＝，，P為CD上一點，且滿足AP?=mAC?+12AB?四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖所示，直三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，點E，F分別是棱，上的點，點M是線段AC的中點，．（1）求證平面AEF；（2）若，求多面體的體積16.如圖，四邊形中，，，，且為銳角．（1）求；（2）求的面積．17.如圖，在四棱錐中，四邊形是平行四邊形，交于點，點是棱上的一點，且平面．（1）求證：點是的中點；（2）在棱上是否存在點，使得平面平面？若存在，請加以證明，并寫出的值；若不存在，請說明理由．18.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）求角B；（2）如圖，的角平分線交于點D，且，，（i）求的長度；（ii）若邊上的中線與相交于點F，求的余弦值．19.人工智能和大模型的領域內，文字、圖象等信息常常是由向量表示的，通過計算向量之間的相似度，就可以說明兩段文字或兩張圖片所表達內容的關聯度．非零向量，之間的相似度的一種定義為．（1）菱形中，，點在直線上．若，求；（2）在信息處理的過程中，有時為了增加，的相似度，會選取合適的正實數，調整為后再納入模型計算．（i）對于任意不共線的向量，證明：；（ii）設，夾角為銳角．若，且，討論和的大小關系，并說明理由．

數學一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若復數滿足，則的虛部為（）A.2 B.1 C.i D.答案：B解析：思路：由復數的除法運算及虛部的概念可得結果.解答過程：由，可得，所以的虛部為1.故選：B.2.設向量，且，則（）A.0 B.1 C.2 D.3答案：A解析：解答過程：向量，且，所以，，得，則.3.給出下列四個命題：①若平面平面，直線，直線，則；②若直線直線，直線平面，直線平面，則；③若平面平面，直線，則；④若直線平面，平面平面，則．其中真命題的個數為（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用空間中線線、線面、面面位置關系和性質逐項判斷即可得出結論.解答過程：對于①，若平面平面，直線，直線，則直線與直線無公共點，故直線與直線平行或異面，①錯；對于②，若直線直線，直線平面，直線平面，則平面、平行或相交，②錯；對于③，若平面平面，直線，則，③對；對于④，若直線平面，平面平面，則或，④錯.故選：A.4.已知圓臺的上?下底面半徑分別為1，2，體積為，則該圓臺外接球的體積為（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先利用圓臺體積公式求出高，再根據外接球球心在上下底面圓心連線上，由球心到兩底面圓周的距離相等列方程求出外接球半徑，代入球的體積公式計算結果.解答過程：設該圓臺的上?下底面的圓心分別為，高為，則圓臺的體積為，求解可得，設該圓臺外接球的球心為，則在上，設，所以，設該圓臺外接球的半徑為，所以，求解可得，所以該圓臺外接球的體積為.5.如圖，在正方體中，M，N，P分別是，BC，的中點，則下列說法不正確的是（）A.直線與NM是異面直線 B.C.平面 D.直線CP，，AM相交于一點答案：C解析：思路：對于A，由異面直線判定定理可判斷，對于B，由平行傳遞性可判斷，對于C，由CM與不平行，可判斷，對于D，連接，由，，可判斷.解答過程：連接，點，，均在平面上，點不在平面上，所以與是異面直線，A正確．連接，因為，所以，B正確．平面，平面平面，因為CM與不平行，所以CM不平行于平面，C錯誤．連接，由，知共面，且平面平面，如圖1，因為，所以.如圖2，因為，所以，則兩點重合，所以，，相交于一點，D正確．故選：C6.在中，，且的面積為，則外接圓的半徑為（）A. B. C.2 D.4答案：C解析：思路：先由三角形的面積公式可求出AC的長，再由余弦定理求出BC的長，然后利用正弦定理可求出的外接圓半徑.解答過程：由題意，，解得，由余弦定理得：，故，設外接圓的半徑為R，由正弦定理得：，故R=2.故答案為C.方法提示：本題考查了三角形的面積公式，考查了正弦定理和余弦定理的運用，考查了計算能力，屬于基礎題.7.柱是建筑物中用來承托建筑物上部重量的直立的桿體，俗稱“柱子”.柱子在各個時期既有延續與繼承，又有發展和變化，如方柱在秦代時開始出現，而在漢代時則又增加了八角形柱、束竹式柱、人像柱等.某涼亭的一根正三棱形柱子可近似看作如圖所示的圖形，記該正三棱柱為，其底面邊長是3，側棱長是，M為的中點，N是側面上一點，且平面，則點N的軌跡長為（）A.27 B. C.12 D.6答案：B解析：思路：分別取，的中點，，連接，，利用線面平行證明平面平面，從而可得即為點的軌跡，即可求解.解答過程：分別取，的中點，，連接，.因為，，所以，平面，平面.所以平面.又，平面，平面.所以平面，平面，所以平面平面.所以當點在線段上運動時，有平面，所以點的軌跡長為.故B正確.故選：B.8.如圖，“六芒星”是由兩個邊長為2正三角形組成，中心重合于點O且三組對邊分別平行，點是“六芒星”（如圖）的兩個頂點，動點P在“六芒星”上（內部以及邊界），則的取值范圍是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：如圖，以為原點，分別為軸建立平面直角坐標系，則由題意求出點的坐標，設，然后表示出，再根據的取值范圍可求得結果.解答過程：如圖，以為原點，分別為軸建立平面直角坐標系，因為“六芒星”是由兩個邊長為2正三角形組成，中心重合于點O且三組對邊分別平行，所以六邊形為邊長為的正六邊形，，所以，所以，設，則，所以，因為動點P在“六芒星”上（內部以及邊界），所以，所以，所以.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.如圖，向量，對應的復數分別為，，則下列選項正確的是（）A.，間的距離為B.為純虛數C.在復平面內對應的點位于第一象限D.若，則答案：ABD解析：思路：利用兩點距離公式判斷A，根據復數對應點坐標寫出復數，再由乘除運算及復數的性質判斷B、C，由的幾何表示，利用的幾何意義求最值判斷D.解答過程：由圖知，則，A對，由題意，，則為純虛數，B對，，對應點坐標為不在第一象限，C錯，令，，則，即圓心為原點且半徑為，而表示點到圓上的點的距離，由點到圓心的距離為，所以點到圓上的點的距離最大值為，即，D對.10.在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，，且的面積為1，則下列命題正確的是（）A.的外接圓半徑為1 B.C. D.可能為鈍角三角形答案：ABC解析：思路：由正弦定理有結合面積公式計算判斷A；由正弦定理結合判斷B；由面積公式及基本不等式判斷C；利用余弦定理及正弦定理判斷D.解答過程：A：設的外接圓半徑為，因為的面積為，所以，故A正確；B：由，即，B選項正確；C：由，則，當時取，所以，當且僅當且時取等號，C選項正確；D：若為鈍角三角形，設為鈍角，，即得，由C選項知，所以，即，又因為，所以，所以與矛盾，假設不成立，同理B，C也不可能為鈍角，D選項錯誤.11.如圖，在棱長為2的正方體中，點在線段（不包含端點）上，則下列結論正確的是（）A.三棱錐的體積隨著點的運動而變化B.異面直線與所成角的取值范圍是C.直線平面D.三棱錐的外接球表面積的最小值為答案：BC解析：思路：對于A選項，連接，由平面，即直線上任意點到平面的距離相等；對于B選項，為正三角形，則當且僅當在中點時，，即可判斷；對于C選項，證明平面即可，對于D選項，當為中點時，外接球半徑最小，計算即可.解答過程：對于A選項，因為，所以平面，所以，為定值，即A錯誤；對于B選項，因為為正三角形，與所成角的范圍為，即B正確；對于C選項，易知，，，，，則平面平面，可知平面，平面，即C正確；對于D選項，易知當為中點時，外接球半徑最小，此時設的中心為，的中心為，的中點為，則，，，則易知，所以最小球即為以為球心，半徑，表面積，即D錯誤．故選：BC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知非零向量，滿足，且在向量方向上的投影向量為，則，的夾角為_____.答案：解析：思路：先根據向量垂直性質得到與的關系，再由投影向量得出與的關系，進而求出與的關系，最后根據向量夾角公式求出夾角.解答過程：因為，所以，即，因為在方向上的投影向量為，所以，聯立，可得，所以，又因為，所以，所以，的夾角為.13.如圖，在圓錐PO中，，B，C為圓O上的點，且，，若D為PC的中點，E為OB的中點，則異面直線DE與PB所成角的余弦值為______答案：##解析：思路：取CO的中點G，取PO的中點F，連接EG，EF，DF，DG，找到異面直線所成的角或其補角即，然后找線面位置關系，求相關線段長，再利用余弦定理求解即可.解答過程：如圖，取CO的中點G，取PO的中點F，連接EG，EF，DF，DG，則，且，，則就是異面直線與所成的角或其補角．易知平面，所以平面，所以.因為，，所以，所以由勾股定理得，又，，所以在△中，由余弦定理得，故異面直線與所成角的余弦值為．14.如圖，在中，∠BAC＝，，P為CD上一點，且滿足，若的面積為，則的最小值是______答案：##解析：思路：設，，先由的面積求出，，再根據平面向量的線性運算求出，進而得到，求出，再利用基本不等式即可求出的最小值.解答過程：由S△ABC=所以AB?由，可得．因為P為CD上一點，所以設，，則AP=因為，所以λ=m23?2則|AP|當且僅當14AC=所以的最小值是．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖所示，直三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，點E，F分別是棱，上的點，點M是線段AC的中點，．（1）求證平面AEF；（2）若，求多面體的體積答案：（1）證明見解析（2）解析：思路：（1）取的中點，連接；證明，根據線面平行判定定理證明平面.（2）求出四棱錐及三棱柱的體積，再利用割補法求出多面體的體積.（1）取AE的中點O，連接OF，OM，由O，M分別為AE，AC的中點，得，，而，且，則，且，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，所以平面．（2）在棱柱中，取BC中點G，連接AG，則AG為四棱錐的高，而AG=3,SBCEF由，得CC1=3，三棱柱的體積V所以多面體的體積為．16.如圖，四邊形中，，，，且為銳角．（1）求；（2）求的面積．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由三角形面積公式求得，利用余弦定理求得，分析可知BD是四邊形外接圓的直徑，再利用正弦定理可求解；（2）由面積公式即可得解.（1）由已知，∵是銳角，∴．由余弦定理可得，則．∵，∴BD是四邊形外接圓的直徑，∴BD是外接圓的直徑，利用正弦定理知（2）由，，，，則,,又，則，因此，故的面積為．17.如圖，在四棱錐中，四邊形是平行四邊形，交于點，點是棱上的一點，且平面．（1）求證：點是的中點；（2）在棱上是否存在點，使得平面平面？若存在，請加以證明，并寫出的值；若不存在，請說明理由．答案：（1）證明見解析（2）點為棱BC的中點時，平面平面，解析：思路：（1）根據線面平行的性質定理證得，再根據四邊形是平行四邊形得點是的中點，從而得結論；（2）若平面平面，根據面面平行的性質定理，得線面平面，再由線面平行的性質定理得，從而可確定點在棱上的位置.（1）因為平面，平面平面，又平面，所以，因為四邊形是平行四邊形，所以點是的中點，則點是的中點；（2）當點為棱BC的中點時，平面平面，理由如下：若平面平面，由于平面，所以平面，又平面平面，則，又點是的中點，所以點是的中點，故點為棱BC的中點時，平面平面，則.18.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）求角B；（2）如圖，的角平分線交于點D，且，，（i）求的長度；（ii）若邊上的中線與相交于點F，求的余弦值．答案：（1）（2）（i）；（ii）解析：思路：（1）利用正弦定理邊化角，再利用余弦定理求出即可得解.（2）（i）根據角平分線性質和三角形面積的分割關系列出等式，求解BD的長度.（ii）易知為向量的夾角，利用中線向量運算得，結合角平分線定理利用向量線性運算得，然后利用平面向量的夾角公式求解余弦值即可.（1）在中，由及正弦定理，得，即，由余弦定理得，而，所以.（2）（i）已知的角平分線交于