高中數學 加練 專題8　第73練　雙曲線

第73練雙曲線(分值：40分)一、單項選擇題(每小題5分，共10分)1.已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)滿足ba=52，且與橢圓x2A.x24-y25=1 B.C.x25-y24=1 D.答案A解析由橢圓的標準方程為x212+y可得12-3=3，因為雙曲線C與橢圓x212+y23=1有公共焦點，所以在雙曲線C又雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)滿足ba=則由a2+b2=c2，得a2+52a2=9，解得a2=4，可得b所以雙曲線C的方程為x24-y2.已知雙曲線Γ：x2-y23=1的左焦點為F，點A，B在Γ的右支上，且|AB|=6，則|FA|+|FB|的最小值為(A.4 B.6 C.10 D.14答案C解析由題意得a2=1，則a=1.設雙曲線的右焦點為F2，由雙曲線的定義可知，點A在雙曲線的右支上，則|FA|-|F2A|=2，即|FA|=|F2A|+2；同理，點B在雙曲線的右支上，則|FB|-|F2B|=2，即|FB|=|F2B|+2.所以|FA|+|FB|=(|F2A|+2)+(|F2B|+2)=|F2A|+|F2B|+4.易知|F2A|+|F2B|≥|AB|，當且僅當A，B，F2三點共線時，等號成立.又|AB|=6，則|F2A|+|F2B|+4≥|AB|+4=6+4=10，即|FA|+|FB|≥10.所以|FA|+|FB|的最小值為10.二、多項選擇題(每小題6分，共12分)3.若P是雙曲線C：x2-y2=2上一點，F1，F2分別為C的左、右焦點，則下列結論中正確的是()A.雙曲線C的虛軸長為2B.若PF1⊥PF2，則△PF1F2的面積為2C.PF1的最小值是D.雙曲線C的焦點到其漸近線的距離是2答案BC解析由雙曲線C：x2-y2=2，得雙曲線C：x22-y設雙曲線C的實半軸長為a，虛半軸長為b，半焦距為c，則a=2，b=2，c=2.選項A，雙曲線C的虛軸長為22，故A錯誤；選項B，F1F2=4，又PF1⊥則P得PF1故△PF1F2的面積為12PF1選項C，易知PF1min=c-a=2-2選項D，易得雙曲線C的焦點坐標為±2，0，漸近線方程為x±所以雙曲線C的焦點到其漸近線的距離為22=2，故D錯誤4.已知O為坐標原點，F1，F2分別為雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦點，C的一條漸近線l的方程為y=3x，且F1到l的距離為33，P為C在第一象限上的一點，點Q的坐標為(2，0)，PQ為∠F1A.雙曲線C的方程為x29-B.雙曲線C的離心率為2C.|PF1|=3|PF2|D.點P到x軸的距離為3答案ABD解析對于A，由F1(-c，0)到漸近線y=3x的距離為33，得3c2=33，解得c由漸近線方程為y=3x，得ba=3，結合a2+b2=c2可得a=3，b=33則雙曲線C的方程為x29-y227對于B，e=ca=2，故B對于C，由PQ為∠F1PF2的平分線，可得PF1|PF2|=對于D，由雙曲線定義可得|PF1|-|PF2|=6，則|PF1|=12，|PF2|=6，在△PF1F2中，cos∠F1PF2=122+62-1222×12×6=設點P到x軸的距離為d，則S△PF1F2=12·|F1F2|·d=12|PF1|·|PF2即12×12×d=12×12×6×154，解得d=315三、填空題(共5分)5.過雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的焦點且斜率不為0的直線交雙曲線C于A，B兩點，D為AB中點，O為坐標原點，若kABkOD=答案6解析由雙曲線的對稱性，可設過雙曲線C的焦點且斜率不為0的直線為y=k(x-c)，k≠0，令A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯立x2a2-y2b2=1，y=k(x-c)，整理得(b2-a2k2)x2+2a2k2cx-(a2k2c2+a則x1+x2=2a2k2ca2k又D為AB的中點，所以Da2則kOD=kb2c由kABkOD=12，可得b2a2則a2=2b2，即3a2=2c2，則雙曲線C的離心率e=ca=6四、解答題(共13分)6.(13分)已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的右焦點為F(2，0)，且雙曲線C的一條漸近線恰好與直線(1)求雙曲線C的方程；(4分)(2)直線l：x=my+1與雙曲線C的右支交于A，B兩點，點D在雙曲線C上，且AD⊥x軸.求證：直線BD過點F.(9分)(1)解由焦點坐標為F(2，0)，得c=2，所以a2+b2=22，又雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)得-ba=-1，即ba=1，所以a2=b2所以雙曲線C的方程為x22-y(2)證明由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，所以m≠0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則D(x1，-y1)，由(1)可知，雙曲線C的漸近線為y=±x，又直線l與雙曲線C的右支交于A，B兩點，則1m>1，即0<|m|<1聯立x=my+1，x2-y2=2，消去x得則Δ=4m2+4(m2-1)=4(2m2-1)>0，得22<|m|<1由根與系數的關系得y1+y2=-2mm2-1，y1y2=-1m2-1，則y1+y又F(2，0)，所以FB=(x2-2，y2)