小學六年級數學上冊《構建模型 以簡馭繁-分數除法“解決問題（2）”》教案

小學六年級數學上冊《構建模型以簡馭繁——分數除法“解決問題（2）”》教案一、教學分析（一）教材分析【基礎】本課是義務教育人教版六年級上冊第三單元《分數除法》中的第五課時，教學內容為教科書第36頁例5及相應的練習。在此之前，學生已經掌握了分數乘法的意義，學習了“求一個數的幾分之幾是多少”的分數乘法問題，以及“已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數”的簡單分數除法問題。例5正是在此基礎上，將情境復雜化，引入“比一個數多（或少）幾分之幾”的數量關系。這類問題是整數中小學“和倍問題”、“差倍問題”的延伸，也是后續學習百分數應用題（如“求比一個數多（少）百分之幾的數是多少”）的重要基石，在整個分數、百分數應用體系中具有承上啟下的核心地位。（二）學情分析【重要】六年級學生已具備一定的邏輯思維能力和畫圖分析能力，能從關鍵句中分析數量關系。但“比一個數多（少）幾分之幾”這類表述對學生來說依然是一個認知難點。學生的思維容易停留在對分率的機械記憶上，而難以深刻理解分率所對應的單位“1”以及比較量與單位“1”之間的動態關系。具體表現為：容易找錯單位“1”，混淆具體數量和分率，難以將“比單位‘1’多（少）幾分之幾”轉化為“比較量是單位‘1’的（1±幾分之幾）”。因此，本課的核心任務不在于教授所謂的“解題套路”，而在于幫助學生借助幾何直觀（線段圖）和代數思維（列方程），完成對復雜數量關系的模型建構，實現從“算術思維”到“代數思維”的平滑過渡。二、教學目標1.【基礎】通過自主探究與合作交流，能結合具體情境，理解“比一個數多（少）幾分之幾”的含義，能找準單位“1”，并準確分析數量關系。2.【核心】能借助線段圖分析題目中的數量關系，會用兩種等量關系（乘法關系、和差關系）列出方程解決“已知比一個數多（少）幾分之幾的數是多少，求這個數”的實際問題，體會方程是解決逆向思維問題的優越性。3.【重要】在解決問題的過程中，經歷“閱讀與理解—分析與解答—回顧與反思”的完整步驟，培養幾何直觀、模型意識和應用意識，感受數學與生活的緊密聯系。4.【熱點難點】溝通分數乘法、分數除法及整數加減法之間的內在聯系，感悟轉化思想，構建知識網絡，提升分析問題和解決問題的能力。三、教學重難點（一）教學重點【重要】掌握用方程解決“已知比一個數多（少）幾分之幾的數是多少，求這個數”的問題的方法，能正確找出題中的數量關系。（二）教學難點【難點】深刻理解分率句的含義，能將“比一個數多（少）幾分之幾”正確轉化為“比較量是單位‘1’的幾分之幾”，并用線段圖清晰表達這種關系。四、教學準備多媒體課件、學習任務單、直尺。五、教學過程（一）喚醒經驗，引入新課（預計5分鐘）1.【基礎回顧】課件出示復習題。（1）小明的體重是35kg，他體內水分的質量占體重的4/5。小明體內水分有多少千克？（2）小明的體重是35kg，是爸爸體重的7/15。爸爸的體重是多少千克？學生獨立完成，并指名匯報。【設計意圖】通過兩道簡單的一步應用題，喚醒學生對“求一個數的幾分之幾”和“已知一個數的幾分之幾求這個數”的解題經驗，為新課學習做好知識和方法的鋪墊。2.【制造沖突】課件將第（2）題的條件進行修改：將“是爸爸體重的7/15”改為“比爸爸的體重輕8/15”。引出課題。師：同學們，現在條件變了，題目的意思發生了變化。這里的“輕8/15”是什么意思呢？單位“1”又是誰？今天我們就來繼續研究分數除法的解決問題。（板書課題：解決問題（2））（二）合作探究，建構模型（預計20分鐘）1.閱讀與理解——理清脈絡。（1）課件出示例5：小明的體重是35kg，他的體重比爸爸的體重輕8/15。小明爸爸的體重是多少千克？（2）學生默讀題目，嘗試用自己的話說說題目的意思。（3）聚焦核心問題：師：從“小明的體重比爸爸的體重輕8/15”這句話中，你讀懂了什么？誰是單位“1”？“8/15”表示的是誰的幾分之幾？【學情預設】學生可能會回答：“爸爸的體重是單位‘1’”。“輕8/15”意思是小明的體重比爸爸輕的部分，占爸爸體重的8/15。【非常重要】教師引導學生明確：這里的8/15是兩個數量比較的結果，它是一個分率。它表示把爸爸的體重看作單位“1”，平均分成15份，小明比他輕的正好相當于這樣的8份。2.分析與解答——幾何直觀，代數建模。（1）畫圖分析，化抽象為具體。師：剛才我們通過文字理解了題意，但還不夠直觀。我們能否用線段圖來清晰地表示出“爸爸的體重”、“小明的體重”以及“輕8/15”之間的關系？【核心活動】學生嘗試在學習任務單上畫線段圖，教師巡視指導，尋找典型作品。交流展示：請一名學生上臺展示自己的畫法，并說明理由。【難點突破】教師引導全班討論：為什么先畫爸爸的體重？（因為它是單位“1”）把爸爸的體重平均分成幾份？怎么表示“輕8/15”？小明的體重應該畫多長？師生共同完善線段圖（板書于黑板）：1.3.先畫一條線段表示“爸爸的體重”，并標注“？kg”。2.4.將這條線段平均分成15份。3.5.在上面畫出第二條線段表示“小明的體重”，這條線段要比爸爸的短，短的部分正好對應爸爸的8/15，并在短的部分上標注“輕8/15”。4.6.在小明的體重線段上標注“35kg”。（2）數形結合，探尋等量關系。師：看著這幅線段圖，你能發現小明的體重和爸爸的體重之間有什么等量關系嗎？小組內交流討論，教師參與其中，傾聽學生的想法。全班匯報，根據學生的回答板書不同的等量關系式。【學情預設】學生可能會出現兩種關鍵思路：1.7.思路一（和差關系）：爸爸的體重—小明比爸爸輕的部分=小明的體重。板書：爸爸的體重—爸爸的體重×8/15=352.8.思路二（倍數關系）：小明的體重相當于爸爸體重的（1—8/15）。板書：爸爸的體重×（1—8/15）=35【非常重要】教師追問：為什么小明的體重是爸爸的（18/15）？引導學生結合線段圖理解：從單位“1”中去掉輕的那部分，剩下的就是小明體重對應的分率。（3）嘗試列式，體會方程優越性。師：根據我們找到的等量關系，你能獨立列式解答嗎？試試看。學生獨立嘗試，教師巡視，選擇有代表性的解法在黑板上板演。【學情預設】學生可能出現的方法：1.9.算術法：35÷（1—8/15）=35÷7/15=35×15/7=75（kg）2.10.方程法一：解：設爸爸的體重為xkg。x—8/15x=35（1—8/15）x=357/15x=35x=35×15/7x=753.11.方程法二：解：設爸爸的體重為xkg。（1—8/15）x=35（4）對比優化，聚焦方程思想。組織學生對比三種解法。師：請觀察黑板上的幾種方法，它們之間有什么聯系？你覺得哪種方法更能清晰地表達我們剛才從線段圖中找到的等量關系？【核心歸納】引導學生認識到，算術法雖然書寫簡單，但需要逆向思考，列式時需要先求出小明體重對應的分率（18/15），思維過程是逆向的。而方程法將未知量設為x，直接順著題意把等量關系“翻譯”成方程，思維過程是順向的，更容易理解和把握。特別是對于復雜的分數除法問題，方程是更通用、更有效的解題策略。12.回顧與反思——檢驗模型，完善認知。（1）檢驗結果。師：我們求出的75kg是正確答案嗎？如何檢驗？【學情預設】引導學生從不同角度檢驗：1.13.看爸爸體重的7/15是否等于35kg。75×7/15=35（√）2.14.看小明的體重是否比爸爸輕8/15。（7535）÷75=40÷75=8/15（√）（2）總結解題步驟。師：回顧我們解決這個問題的過程，經歷了哪些步驟？【重要】師生共同小結解決問題的三部曲：a.閱讀與理解：找關鍵句，確定單位“1”，明確問題。b.分析與解答：畫線段圖分析數量關系；根據數量關系列出等量關系式；根據等量關系式列方程（或算式）解答。c.回顧與反思：檢驗結果，寫答語。（三）變式練習，深化模型（預計8分鐘）1.【基礎練習】教材第38頁“做一做”：我國建有雜交水稻試驗田，其中A試驗田的面積是1.2萬平方米，比B試驗田的面積少1/4。B試驗田的面積是多少萬平方米？要求：學生獨立畫圖分析，并用方程解答。指名板演，集體評議。2.【變式練習】將例5中的“輕8/15”改為“重8/15”。師：如果把“比爸爸輕”改為“比爸爸重”，線段圖會有什么變化？等量關系又該怎樣寫？學生口頭改編題目，并嘗試列方程。【熱點】通過正反例的對比，強化學生對“比單位‘1’多（少）幾分之幾”的理解，體會當單位“1”未知時，方程法的普適性。（四）鞏固應用，拓展提高（預計7分鐘）1.【重要練習】教材第40頁“練習八”第7題。題目：一本課外讀物，小紅讀了35頁，還剩下2/7沒有讀。這本課外讀物一共有多少頁？提示：先找到關鍵句，確定單位“1”，再畫出線段圖。重點理解“還剩下2/7沒有讀”意味著讀了（12/7）。2.【拓展練習】教材第40頁“練習八”第8題。題目：在通常情況下，體積相等的冰的質量比水的質量少1/10。現有一塊重9kg的冰，如果有一桶水的體積和這塊冰的體積相等，這桶水有多重？提示：本題信息較多，先要明確比較的對象。引導學生抓住核心句“冰的質量比水的質量少1/10”，理解這里單位“1”是“水的質量”。要求水的質量，可以設水的質量為xkg，列出方程x—1/10x=9。（五）課堂總結，暢談收獲（預計5分鐘）1.師：通過今天這節課的學習，你有什么收獲？【學情預設】引導學生從知識、方法、思想等角度進行總結。1.2.知識上：學會了解決“已知比一個數多（少）幾分之幾的數是多少，求這個數”的問題。2.3.方法上：可以通過畫線段圖幫助理解題意；可以利用方程順向思維解決問題；解決問題的基本步驟是“閱讀與理解—分析與解答—回顧與反思”。3.4.思想上：體會了數形結合、轉化、模型等數學思想。5.教師總結升華：同學們，今天我們面對一個看起來復雜的問題，沒有急于去尋找一個“竅門”或“公式”，而是踏踏實實地通過畫圖理解關系，再用方程把關系“翻譯”出來。這種“以不變應萬變”的方程思想，就是我們解決許多實際問題的“金鑰匙”。六、板書設計解決問題（2）——已知比一個數多（少）幾分之幾，求這個數【線段圖】等量關系：（略）方法一：爸爸體重—爸爸×8/15=小明x—8/15x=35方法二：爸爸×（1—8/15）=小明（1—8/15）x=35解：設爸爸的體重為xkg。（1—8/15）x=357/15x=35x=35×15/7x=75答：小明爸爸的體重是75kg。解題三部曲：閱讀理解→分析解答→回顧反思七、教學反思本課教學設計，力求摒棄傳統的“題型教學”模式，轉而聚焦于數學核心素養的培養，特別是“模型意識”與“幾何直觀”的滲透。1.凸顯幾何直觀，突破認知障礙。將線段圖作為貫穿始終的核心工具，不僅僅是展示，更重要的是引導學生經歷“嘗試畫—修正畫—解讀畫”的過程，讓抽象的“分率”變得可視、可感，從而深刻理解“輕8/15”的真正含義，為尋找等量關系奠定了堅實的基石。2.強化代數思維，實現思維進階。在列式環節，沒有簡單否定算術法，而是通過