2026高二數學暑假提升講義（滬教）復習專題07 向量的坐標表示與應用(原卷版)

復習專題07向量的坐標表示與應用

知識點1向量a關于向量i與j的線性組合

設i與j分別是x軸與y軸正方向上的單位向量，把向量aOA在i與j的方向上作投影

OP與OQ．其中，P(x,0)與Q(0,y)分別是點A在x軸與y軸上的投影．顯然

OPxi,OQyj，而且OPAQ是一個矩形，OA是對角線，如圖．

于是我們把a表示成了向量i與j的線性組合aOAxiyj.

知識點2向量基本定理

條件e1,e2是平面上兩個不平行的向量

對于該平面上的任意向量，a都可唯一地表示為e1與e2的線性組合，即存在唯一的一

結論

對實數,，使得ae1e2

若

基e1,e2不共線，我們把e1,e2這組向量稱為平面向量的一個基

平面向量基本定理闡述兩方面的含義:

一是存在性，即存在實數、，使得ae1e2；二是唯一性，即對于任意一個向量a，存在

唯一的一對實數、，使得ae1e2.

知識點3向量的正交分解與坐標表示

分解與把向量a寫成所在平面上兩個不平行向量e1與e2的線性組合的過程稱為a關于e1與

正交分

解e2的分解．在e1e2情況下進行向量的分解，這種分解稱為向量的正交分解.

向量a

在平面直角坐標系中任意一個向量a關于x軸與y軸正方向上的單位向量i與j的分

的坐標

解axiyj就是一個正交分解．這個正交分解稱為向量a在這個平面直角坐標系中的坐標

分解，而有序實數對（x，y)則稱為向量a的坐標，并直接表示成a(x,y)．向量的

這種表示法稱為它的坐標表示，并可以直接用向量的坐標(x,y)代表一個向量

在向量a的坐標表示中，先要作出從坐標原點O出發的向量OAa，才能用點A的坐

位置向

量標(x,y)表示向量a的坐標．為此，把向量OA稱為a的位置向量．位置向量終點的坐標

才是所給向量的坐標

知識點4向量線性運算的坐標表示

設向量a(x,y),bx1,y1,cx2,y2,R,則有下表：

運算文字描述數字表示

加法兩個向量的和的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和bcx1x2,y1y2

減法兩個向量的差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的差bcx1x2,y1y2

實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應

數乘a(x,y)

坐標

模a的模就是a的位置向量所對應有向線段的長度|a|x2y2

（1）當向量確定以后，向量的坐標就是唯一確定的，因此向量在平移前后，其坐標不變.

（2）求一個點的坐標時,可以轉化為求該點相對于坐標原點的位置向量的坐標

知識點5向量數量積與夾角的坐標表示

1.向量數量積的坐標表示

給定兩個坐標表示的向量ax1,y1與bx2,y2，它們的數量積是abx1x2y1y2．

兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積的和

2.向量夾角的坐標表示

ab

給定兩個非零向量與，則

ax1,y1bx2,y2cosáa,b?

|a||b|

xxyy

1212.

2222

x1y1x2y2

設向量ax1,y1與bx2,y2的夾角為．

（1）[0,]．

（2）當x1x2y1y20時，,;

2

當x1x2y1y20時，（此時ab）；

2

當x1x2y1y20時，0,．

2

知識點6向量平行與垂直的充要條件

給定向量ax1,y1與bx2,y2，則

（1）ab的充要條件是x1x2y1y20；

（2）a//b的充要條件是x1y2x2y1．

描述兩個向量平行的三種方法

（1）幾何表示法：若非零向量a與b共線，則存在唯一實數，使得ba．它體現了向量a

與b的長度及方向之間的關系．

（2）代數表示法：設ax1,y1，bx2,y2，則當a與b共線時，x1y2x2y10．用它

解決平面向量共線問題的優點在于不需要引入參數，從而減少了末知數的個數，而且它使問題的解決

具有代數化的特點和程序化的特征．

（3）比例形式表示法：設ax1，y1,bx2,y2，則當a與b共線時，

x1y1

x2,y20．比例形式的表示可借助直線的斜率相等來理解記憶．這種形式不易出現搭配錯誤，

x2y2

但有x2,y20的限制．

知識點7定比分點公式

如圖，已知P是直線PP12上一點，且PP1PP2(為實數，且1)，那么我們就說P分有

向線段PP12的比為，其中叫做定比,點P叫做分點.

定比分點公式：已知兩點P1x1,y1,P2x2,y2，點P是直線PP12上的一點，且PP1PP2(1)，

xx

x12,

1

設點P坐標為(x，y)則

yy

y12.

1

這個公式稱為線段的定比分點公式。

xx

x12,

2

特別地，當1時，P為線段PP12的中點，其坐標為

yy

y12.

2

這個公式稱為線段中點公式．

知識點8三角形面積公式的向量表示

在ABC中，設CAa,CBb，記ABC的面積為S．

1

（1）S|a|2|b|2(ab)2；

2

1

（2）若ax,y,bx,y，則Sxyxy．

112221221

知識點9向量在平面幾何中常用應用

設ax1,y1,bx2,y2.

解題方法

問題類型

幾何法坐標法

a//bab

平行或共線

xyxy0

問題,全等、相似問題(R,b0)1221

垂直問題abab0x1x2y1y20

abx1x2y1y2

夾角問題cosáa,b?

cosáa,b?2222

|a||b|x1y1x2y2

22

|a|x1y1或

22

|AB|x2x1y2y1

長度問題|a|a2

Ax1,y1,Bx2,y2

知識點10相關定理的證明

證明時所用到的向量有關運算律與公式:

（1）向量加法：abba;(ab)ca(bc)．

（2）設a、b和c是向量，是實數，則向量數量積的交換律：a－bba；

向量數量積對數乘的結合律：(a)ba(b)(ab)；向量數量積對加法的分配律：

a(bc)abbc．

（3）ab|a||b|cosáa,b?．

知識點11向量在物理中的應用

類型向量方法說明

力的合成與分解向量的線性運算力的合成與分解就是向量的加減法

加速度、速度、位速度、加速度與位移的合成和分解,實質就是向量的加減

向量的線性運算

移問題法運算

動量涉及物體的質量m,物體運動

動量問題向量的數乘運算

的速度v

物理上力做功的實質是力在物體前進方向上的分力與

功的問題向量的數量積

物體位移的乘積,它可正、可負、也可為零

用向量法解決物理問題時，正確作出相應的幾何圖形有助于我們建立數學模型.向量在物理中的應用，如求

力的合力與力的分解，力做的功等,實際上是把物理問題轉化為向量問題，然后用向量運算解決向量問題，

最后用得到的結果解釋物理現象.

題型一．平面向量的基底

1（春?普陀區校級期中）若，是平面內的一組基底，則下列四組向量不能作為平面向量的基底

例2023e1e2

的是()

．和．和

Ae1e2e1e2B3e12e26e14e2

．和．和

Ce12e22e1e2De2e1e2

1-1（2022春?青浦區校級期末）下列向量組中能作為表示它們所在平面內所有向量的基底的是()

A．a(0,0)，b(1,2)B．a(1,2)，b(2,4)

C．a(3,5)，b(6,10)D．a(2,3)，b(6,9)

1-2（春?浦東新區校級期末）若不平行，則下列向量中不能作為平面的一個基的是

2024e1,e2()

．與．與

Ae1e2e1e2Be12e22e1e2

．與．與

C3e1e22e26e1De2e1e2

1-3（春?寶山區期末）若向量能作為平面內所有向量的一組基底，則的取值范圍

2024e1(2,),e2(1,3)

為．

題型二．用平面向量的基底表示平面向量

2（春?嘉定區校級期中）已知是平面上兩個不平行的向量，則以下可以作為平面向量的一個基

例2024e1,e2

的一組向量是()

11

A．a2ee,beeB．a4e2e,b2ee

1221421212

．．

Ca3e13e2,be1e2Dae12e2,b2e14e2

2-1（2025春?寶山區期末）平行四邊形ABCD中，DE2EC，F是BC的中點，記ABa,ADb，則

EF．（用a,b表示）

2-2（2025春?長寧區校級期中）在平行四邊形ABCD中，E是對角線AC上靠近點C的三等分點，設

aAB,bAC，則用a,b表示BE為．

11

2-3（2024春?嘉定區校級期中）在△ABC中，ADAB,CECD．記ABa,ACb，用a,b表示

22

AE．

題型三．平面向量數乘和線性運算的坐標運算

例3（2025春?浦東新區校級期中）若向量a(1,1)，b(1,1)，則a2b．

3-1（2024春?浦東新區校級期中）已知點A(2,3)，B(6,3)，若點P滿足AP3AB，則點P的坐標為．

3-2（2024春?嘉定區校級期中）已知向量a(1,1),b(2,3)，則ab．

3-3（2023春?閔行區校級期中）已知向量a(1,2)，b(0,1)，則a2b的坐標為．

題型四．平面向量數量積的坐標運算

例4（2025?廣東校級模擬）設平面向量a(4,2)，b(m,1)，若a與b不能作為平面向量的一組基底，則

ab()

A．2B．10C．6D．0

4-1（2025春?徐匯區校級月考）若向量a(1,2)，b(1,2)，則ab在ab方向上的投影的坐標為．

4-2（2025春?浦東新區校級期中）已知a(2,1)，b(3,4)，則b在a方向上的投影為．

4-3（2025春?楊浦區校級期末）若a(1,1)，則|a|．

題型五．平面向量共線（平行）的坐標表示

例5（2025春?浦東新區校級期中）已知向量m(,1)，n(3,2)，若m與n共線且反向，則實數的

值為()

A．3B．1C．1D．1或3

5-1（2025春?浦東新區期末）已知向量a(1,2)，b(m,1)，且(a2b)//(2ab)，則實數m．

5-2（2025春?浙江期中）設向量m(3,5)，n(2,a)，若m與n共線，則實數a的值為．

5-3（2025春?上海校級期中）已知a(x,x1)，b(3,6)，若a//b，則x．

題型六．數量積表示兩個平面向量的夾角

例6（2024春?閔行區校級期末）已知向量a(,1)，b(2,3)，若a與b的夾角是銳角，則實數的取

值范圍是()

33

A．(,￥)B．[,￥)

22

322322

C．(,)(,￥)D．(,)(,￥)

23U323U3

6-1（2025春?浦東新區期末）設向量a，b滿足|a|1，|b|2，且(ab)a，則a，b．

6-2（2025春?閔行區期末）已知向量a(,1)，b(2,3)，若a與b的夾角是銳角，則實數的取值范圍

是．

6-3（2025春?松江區校級月考）已知向量a(m,2)，b(3,5)，且a與b的夾角為銳角，則實數m的取

值范圍是．

6-4（2025春?長寧區校級期中）已知兩個向量a和b滿足ab(2,8),ab(6,4)．

（1）求a的模；

（2）求a和b的夾角．

6-5（2025春?徐匯區校級期中）已知a，b的夾角為60°，且|a|1,|b|2，設m3ab,nta2b．

（1）若mn，求實數t；

（2）若m//n，求實數t；

（3）t2時，求m與n的夾角的余弦值．

題型七．數量積判斷兩個平面向量的垂直關系

例7（2024春?閔行區校級期末）已知向量a(x,1)，b(2,2)，若ab，則實數x．

7-1（2025春?浦東新區期末）已知向量a(0,1),b(1,2)．

（1）求|3a2b|；

（2）若(ka2b)(ba)，求實數k的值．

7-2（2025春?浦東新區期末）已知△ABC中A、B、C三點的坐標分別是(2,3)、(2,2)、(3,7)，

（1）求AB，BC；

（2）求證：△ABC為直角三角形．

7-3（2025春?浦東新區校級月考）已知a(2,0)，b(1,y)，且a和b的夾角為45°，設mab，nab．

（1）求：y的值；

（2）若mn，求：實數的值．

題型八．平面向量在物理中的應用

8（春?浦東新區校級期中）作用于同一點的三個力平衡，已知，，

例2024F1,F2,F3|F1|30N|F2|50NF1

與F之間的夾角是，則F的大小是N．

233

8-1（2022春?虹口區校級期末）高一學生將質量為20kg的物體用兩根繩子懸掛起來，如圖（1）（2），兩根

繩子與鉛垂線的夾角分別為和，則拉力與大小的比值為．

45°30°f1f2

題型九．平面向量的綜合題

例9（2025春?閔行區期末）在平面直角坐標系中，可以用有序實數對表示向量．類似的，可以把有序復數

對，，看作一個向量，記，則稱為復向量．類比平面向量的相關運算法則，對

(z1z2)(z1z2C)a(z1,z2)a

于，，，，，，規定如下運算法則：

a(z1,z2)b(z3,z4)z1z2z3z4C

①；

ab(z1z3,z2z4)

②；

ab(z1z3,z2z4)

③；

abz1z3z2z4

④|a|aa．

則下列結論錯誤的是()

A．若a(i,1i)，b(2,2i)，則ab15i

B．若|a|0，則a(0,0)

C．abba

D．a(bc)abac

9-1（2025春?寶山區校級期中）已知集合M{(x,y)||x||y|1}，N{(x,y)|x2y24}，若對任意向量

aM，均存在b、cN滿足|bc|￡d，使得ab(1)c，則d的最小值為．

9-2（2024春?虹口區校級期末）如圖，已知點P為ABC所在平面內一點，|ABAC|8，|AC|3|AB|，

定義點集1，，若存在點，使得對任意，有恒

D{P|AP3ABACR}P0DPD|AP|…|AP0|

3

成立，那么當的面積取得最大值時，．

ABC12|AP0|

9-3（2025春?浦東新區校級期末）定義函數f(x)asinxbcosx的“積向量”為m(a,b)，向量m(a,b)

的“積函數”為f(x)asinxbcosx．

（1）若a1，b3，求f(x)最大值及對應x的取值集合；

f()

13b

（2）若向量m(a,b)的“積函數”f(x)滿足7tan，求的值；

9

f()42a

14

（3）已知m(2cosa,2sina)，n(2cosb,2sinb)，設OPmn(0,0)，且OP的“積函數”

為g(x)，其最大值為t，求(t2)()的最小值，并判斷此時m，n的關系．

9-4（2025春?上海校級期中）如圖，點G是△OAB重心，P、Q分別是邊OA、OB上的動點，且P、G、

Q三點共線．

（1）設PGPQ，將OG用、OP、OQ表示；

11

（2）設OPxOA，OQyOB，問：是否是定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由；

xy

T

（3）在（2）的條件下，記△OAB與△OPQ的面積分別為S、T，求的取值范圍．

S

9-5（春?普陀區校級期末）已知集合，，，為坐標原點，若

2024S2{a|a(x,y)xN*yN*}O

，，，，、，定義點、之間的距離為．

OA(x1y1)OB(x2y2)OAOBS2ABd(A,B)|x1x2||y1y2|

（1）若OA(3,2)，OB(1,x)，d(A,B)?3，求x的值；

（）記，若，，為常數），求的最大值，并寫出一組此時滿足

2OI(1,1)S2d(IA)d(IB)p(pd(A,B)

條件的向量OA、OB；

（）若，，試判斷“存在，使”是，，，”的

3OC(x3y3)S20ABBCd(AB)d(BC)d(AC)

什么條件？并證明．

（春?長寧區校級期末）已知向量，，若，則的單位向量的坐標

1.2022a(6,1)b(3,2)c2a3bcc0

為．

2.（2025春?黃浦區校級期中）已知AB(1cosa)，BC(2,0)，CD(2,2sina)，若A，B，D三點共

線，則tana．

3.（2025春?寶山區校級期中）已知a(1,2),b(t,3)，若a與b夾角為銳角，則t的取值范圍為．

4．（2025春?黃浦區校級期中）已知向量a(1,2)，b(2,x)，c(y,3)，且a//b，ac．

（1）求b與c；

（2）求向量2ab與ca的夾角．（結果用反三角表示）

（春?青浦區校級期末）如圖所示，為線段外一點，若，，，，，中任意

1.