工程基礎及控制 15

第二章控制系統的數學模型Lecture3物理系統的線性逼近Laplace變換線性系統的傳遞函數04August20262of50Whatwewilllearntoday物理系統的線性逼近疊加性齊次性線性系統：同時滿足疊加性和齊次性的系統04August20263of50y=x2是線性還是非線性？

非線性，因為不滿足疊加性和齊次性。04August20264of50物理系統的線性逼近y=mx+b

是線性還是非線性?

非線性，因為不滿足疊加性和齊次性。

然而，在工作點x0、y0附近，對于微小變化Δx和Δy，可視為線性關系04August20265of50物理系統的線性逼近04August20266of50物理系統的線性逼近若x=x0+Δx時，y=y0+Δy，則y=mx+b或y0+Δy=mx0+mΔx+b考慮到y0=mx0+b，有Δy=mΔx滿足疊加性和齊次性線性逼近:

用線性模型近似輸出和輸入之間的關系。Taylorseries（泰勒級數）04August20267of50物理系統的線性逼近04August20268of50ThedisplacementofmassMfromthepositionofzerospringforce工作點是彈簧的彈力與重力平衡時的平衡位置，即：小偏差線性模型是：物理系統的線性逼近04August20269of50質量塊M產生的力矩平衡位置為：線性化模型為：物理系統的線性逼近用傳遞函數建模線性時不變系統將微分方程轉變成代數方程操作計算方便04August202610of50Laplace變換IsLaplaceTransformUseful?函數f(t)的Laplace變換定義為：反Laplace變換定義為：聯系04August202611of50Laplace變換Laplace變換的特性線性特性時延04August202612of50時間縮放頻率偏移04August202613of50Laplace變換的特性微分積分04August202614of50Laplace變換的特性卷積04August202615of50Laplace變換的特性初值定理終值定理04August202616of50Laplace變換的特性時間函數乘積時間函數與時間乘積04August202617of50Laplace變換的特性示例求函數f(t)=5u(t)+3e-2t的拉氏變換解:04August202618of5004August202619of50求F(s)=5/(s2+3s+2)的反拉氏變換解:04August202620of50示例求F(s)=(2s+3)/(s3+2s2+s)的反拉氏變換解:04August202621of50示例在零初始條件下，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比稱為系統的傳遞函數。04August202622of50傳遞函數傳遞函數的時間常數表達式K為穩態增益04August202623of50傳遞函數傳遞函數的零極點表達式04August202624of50Kr為增益因子，若為開環傳遞函數，則稱為根軌跡增益傳遞函數傳遞函數的性質傳遞函數只與系統或元件本身內部結構參數有關，與輸入量、初始條件等外部因素無關常規系統的傳遞函數分母的階次大于等于分子的階次傳遞函數不能反映系統或元件的物理組成，物理性質截然不同的系統或元件，可以由相同的傳遞函數04August202625of50傳遞函數傳遞函數的拉氏反變換就是系統的單位脈沖響應。反之，系統單位脈沖響應的拉氏變換是系統的傳遞函數。傳遞函數僅適用于線性定常系統或元件04August202626of50傳遞函數方法一列寫元件或系統的微分方程在零初始條件下對方程進行拉氏變換取輸出與輸入的拉氏變換之比方法二利用頻率特性法，以實驗進行測定04August202627of50傳遞函數的求取方法方法三

利用系統的單位脈沖響應求系統的傳遞函數測量系統的單位脈沖響應對單位脈沖響應作拉氏變換，即得系統傳遞函數04August202628of50傳遞函數的求取方法04August202629of50Spring-mass-dampersystem微分方程：Laplace變換傳遞函數傳遞函數的求取方法04August202630of50RCnetwork基爾霍夫電壓方程：傳遞函數為:傳遞函數的求取方法微分方程的一般形式

傳遞函數為特征方程為04August202631of50傳遞函數的求取方法求解微分方程

，初始條件04August202632of50解:方程兩邊取Laplace變換，得：部分分式分解，得：由反拉氏變換得：傳遞函數的求取方法04August202633of50Operationalamplifiercircuit由基爾霍夫電流定律可得：傳遞函數為：傳遞函數的求取方法04August202634of50Input:r(t)output:v1(t)由牛頓第二定律可得：傳遞函數的求取方法04August202635of50DCmotor傳遞函數的求取方法電磁力矩為：

這里Ia

為電樞電流，Km

為電磁力矩常數。.由基爾霍夫電壓定律可得：負載力矩方程由牛頓第二定律可得：04August202636of50Fieldcurrentcontrolledmotor傳遞函數的求取方法Td(s)=0時，傳遞函數為：方塊圖為：04August202637of50傳遞函數的求取方法電磁力矩為：

由基爾霍夫電壓定律可得：反電勢為：由牛頓第二定律可得：04August202638of50Armature-controlledmotor傳遞函數的求取方法Td(s)=0時，傳遞函數為：方塊圖04August202639of50傳遞函數的求取方法比例環節特點：輸出量與輸入量成比例，無失真和時間延遲實例：電子放大器、齒輪、電位計、杠杠機構04August202640of50典型環節傳遞函數慣性環節特點：含有一個儲能元件，對突變的輸入其輸出不能立即復現，輸出無振蕩。實例：04August202641of50典型環節傳遞函數微分環節特點：輸出量正比于輸入量變化的速度，能預示輸入信號變化的趨勢實例：測速發電機輸出電壓與輸入角度間的傳遞函數關系04August202642of50典型環節傳遞函數積分環節輸出量與輸入量的積分成比例，當輸入消失后輸出仍具有記憶能力實例：電動機角速度與角度04August202643of50典型環節傳遞函數振蕩環節特點：有兩個獨立的儲能元件，并可進行能量交換，其輸出出現振蕩實例：RLC網絡04August202644of50典型環節傳遞函數純時間延遲環節特點：輸出量能準確復現輸入，但需延遲一個固定的時間實例：管道的溫度、流量等04August202645of50典型環節傳遞函數檢測元件

電位計：用于把角位移或線位移轉換成電壓。采用兩個完全相同的電位計可以檢測位移差。04August202646of50

自整角機：由一個發送器和一個接收