吉林省吉林市蛟河市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2025-2026學(xué)年高二第二學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

蛟河實(shí)驗(yàn)高中2025---2026學(xué)年度高二第二學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.如圖，在某城市中兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，是道路網(wǎng)中的一個(gè)交匯處，小明要從道路網(wǎng)的處出發(fā)，途經(jīng)處到達(dá)處，則小明可以選擇的最短路徑條數(shù)為（）A.6 B.9 C.12 D.18【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理及組合計(jì)數(shù)問(wèn)題，列式計(jì)算即得.【詳解】依題意，從到的最短路徑是共行3段，向右2段向上1段，有種方法，同理從處到達(dá)處有種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得小明可以選擇的最短路徑條數(shù)為.故選：B2.函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，下列數(shù)值排序正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知函數(shù)的圖象，先判斷它的單調(diào)性，然后根據(jù)函數(shù)圖象斜率的變化，從而求解．【詳解】觀察函數(shù)的圖象知：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，隨著逐漸增大，函數(shù)圖象由陡逐漸變緩，，，，而（即點(diǎn)B）處切線的傾斜角比（即點(diǎn)A）處的傾斜角小，且均為銳角，，又是割線AB的斜率，顯然，所以.故選：B3.在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為（）A.?160 B.?60 C.60 D.160【答案】C【解析】【詳解】通項(xiàng)，令

得，常數(shù)項(xiàng)為.4.袋中裝有10個(gè)紅球、5個(gè)黑球.每次隨機(jī)抽取1個(gè)球后，若取得黑球則另?yè)Q1個(gè)紅球放回袋中，直到取到紅球?yàn)橹?若抽取的次數(shù)為X，則表示“放回5個(gè)紅球”事件的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先根據(jù)題意得到“放回5個(gè)紅球”表示的含義，由此即可得到答案.【詳解】因?yàn)椤胺呕?個(gè)紅球”表示前次摸到的都是黑球，第次摸到紅球，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查離散型隨機(jī)變量，明確放回紅球的數(shù)量與抽取的次數(shù)之間的關(guān)系為解題的關(guān)鍵，屬于簡(jiǎn)單題.5.已知A，B，C，D四組成對(duì)樣本數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的線性相關(guān)系數(shù)分別為，，，，則樣本數(shù)據(jù)中變量間呈負(fù)相關(guān)且線性相關(guān)程度最強(qiáng)的是（）A.A組 B.B組 C.C組 D.D組【答案】B【解析】【詳解】當(dāng)時(shí)，變量之間呈負(fù)相關(guān)；越接近于1，變量的線性相關(guān)程度越強(qiáng).由已知條件得，，，，因此負(fù)相關(guān)的為A組、B組，排除C、D選項(xiàng)；計(jì)算得，，可知更接近1，即B組的負(fù)相關(guān)線性程度最強(qiáng).6.某村莊對(duì)該村內(nèi)50名村民每年是否體檢的情況進(jìn)行了調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：每年體檢（人）每年未體檢（人）合計(jì)（人）老年人7年輕人6合計(jì)50已知抽取的村民中老年人、年輕人各25名，則對(duì)列聯(lián)表數(shù)據(jù)的分析錯(cuò)誤的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意先得出的值，進(jìn)而再得的值，進(jìn)而可知的值.【詳解】因?yàn)槌槿〉拇迕裰校夏耆擞?5名，年輕人有25名，所以，所以，A、B對(duì)；所以，則對(duì)；則錯(cuò).故選：.7.一個(gè)盒子中裝有個(gè)完全相同的小球，將它們進(jìn)行編號(hào)，號(hào)碼分別為、、、、、，從中不放回地隨機(jī)抽取個(gè)小球，將其編號(hào)之和記為.在已知為偶數(shù)的情況下，能被整除的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】記“能被整除”為事件，“為偶數(shù)”為事件，求出事件包括的基本事件數(shù)和事件包括的基本事件的個(gè)數(shù)，由條件概率公式可得答案.【詳解】記“能被整除”為事件，“為偶數(shù)”為事件，事件包括的基本事件有，，，，，共6個(gè).事件包括的基本事件有、共2個(gè).則，故選:B.8.為了更好地適應(yīng)市場(chǎng)需求，某企業(yè)根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研得到研發(fā)投入（億元）與產(chǎn)品收益（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：12345672357889參考公式：，．則下列選項(xiàng)不正確的是（

）A.B.由散點(diǎn)圖知變量和正相關(guān)C.用最小二乘法求得關(guān)于的線性回歸直線方程為D.如果研發(fā)投入億元，估計(jì)產(chǎn)品收益為億元【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件求出，，即可求解判斷選項(xiàng)A；畫(huà)出散點(diǎn)圖即可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)公式求出回歸方程即可判斷選項(xiàng)C；結(jié)合選項(xiàng)C，將代入計(jì)算即可判斷選項(xiàng)D．【詳解】對(duì)于A，依題意得，，故A正確；對(duì)于B，由圖表可得散點(diǎn)圖如下，由散點(diǎn)圖知變量和正相關(guān)，故B正確；對(duì)于C，由，，，，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，結(jié)合選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，，故D正確．二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知隨機(jī)變量X的分布列為X13579P0.20.1m0.30.1則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】由隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)可得，進(jìn)而判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】由隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，知，解得，故A正確；，故B錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤；，故D正確．故選：AD．10.在一個(gè)袋中裝有質(zhì)地、大小均一樣的6個(gè)黑球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取4個(gè)小球，設(shè)取出的4個(gè)小球中白球的個(gè)數(shù)為X，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布C.隨機(jī)變量X服從超幾何分布D.【答案】ACD【解析】【分析】利用二項(xiàng)分布、超幾何分布的意義判斷BC；求出的所有可能值的概率即可判斷AD作答.【詳解】隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3，4，，因此隨機(jī)變量X服從超幾何分布，B錯(cuò)誤，C正確；，，，，，A正確；，D正確.故選：ACD11.已知函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的有（）A.的極大值點(diǎn)是 B.在上單調(diào)遞增C.當(dāng)時(shí)， D.是的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心【答案】ABC【解析】【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得到單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn)，再結(jié)合三次曲線對(duì)稱(chēng)中心需滿(mǎn)足的條件、區(qū)間最小值判定，依次驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng)是否正確.【詳解】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則的極大值點(diǎn)是，所以選項(xiàng)A，B正確；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故是上的最小值，故選項(xiàng)C正確；若是的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，則需滿(mǎn)足，而，知不是的對(duì)稱(chēng)中心，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，則__________.【答案】【解析】【分析】對(duì)給定等式兩邊求導(dǎo)，賦值求出，進(jìn)而求出，最后求出即可.【詳解】由，求導(dǎo)得，則，解得，即，故.13.在某次數(shù)學(xué)測(cè)試中，學(xué)生成績(jī)?chǔ)畏恼龖B(tài)分布，若在內(nèi)的概率為，則任意選取兩名學(xué)生的成績(jī)，恰有一名學(xué)生成績(jī)不高于80的概率為_(kāi)_____.【答案】【解析】【詳解】因?yàn)棣畏恼龖B(tài)分布，且在內(nèi)的概率為，所以，，所以恰有一名學(xué)生成績(jī)不高于80的概率為.14.某班一天上午有節(jié)課，下午有節(jié)課，該班一天中語(yǔ)文、英語(yǔ)、政治、體育各有一節(jié)課，數(shù)學(xué)有兩節(jié)課.現(xiàn)安排一個(gè)課程表，要求兩節(jié)數(shù)學(xué)課相鄰（上午最后一節(jié)和下午第一節(jié)算不相鄰），體育課不能排在上午第一節(jié)，則不同的排法共有________種.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】先排體育課，結(jié)合分類(lèi)即可求解.【詳解】若體育排在上午第二節(jié)，則兩節(jié)數(shù)學(xué)可以排在上午的第三四節(jié)和下午的一二節(jié)，有兩種選擇，剩余三節(jié)課任意排，故有,若體育排在上午第三節(jié)，則兩節(jié)數(shù)學(xué)可以排在上午的第一二節(jié)和下午的一二節(jié)，有兩種選擇，剩余三節(jié)課任意排，故有,若體育排在上午第四節(jié)，則兩節(jié)數(shù)學(xué)可以排在上午的第一二節(jié)，或者上午的二三節(jié)，以及下午的一二節(jié)，有3種選擇，剩余三節(jié)課任意排，故有,若體育排在下午第一節(jié)，則兩節(jié)數(shù)學(xué)可以排在上午的第一二節(jié)，或者上午第二三節(jié)或者上午的三四節(jié)，有3種選擇，剩余三節(jié)課任意排，故有,若體育排在下午第二節(jié)，則兩節(jié)數(shù)學(xué)可以排在上午的第一二節(jié)，或者上午第二三節(jié)或者上午的三四節(jié)，有3種選擇，剩余三節(jié)課任意排，故有,綜上可得總共有種方案.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知的展開(kāi)式中的所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為32．（1）求n的值；（2）求展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和；（3）求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng)．【答案】（1）5（2）（3），，【解析】【分析】（1）根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和的公式求；（2）利用賦值法求各項(xiàng)系數(shù)的和；（3）根據(jù)通項(xiàng)公式，求有理項(xiàng)．【小問(wèn)1詳解】由題意有，解得；【小問(wèn)2詳解】時(shí)，，則展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為；【小問(wèn)3詳解】二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)項(xiàng)是有理項(xiàng)，所以展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng)為，，．16.為了解使用手機(jī)是否對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)有影響，某校隨機(jī)抽取50名學(xué)生，對(duì)學(xué)習(xí)成績(jī)和使用手機(jī)情況進(jìn)行了調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示：

使用手機(jī)不使用手機(jī)總計(jì)學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)秀52025學(xué)習(xí)成績(jī)一般151025總計(jì)203050（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)計(jì)算是否有99.9%的把握認(rèn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)與使用手機(jī)有關(guān)；（2）現(xiàn)從上表不使用手機(jī)的學(xué)生中按學(xué)習(xí)成績(jī)是否優(yōu)秀分層抽樣選出9人，再?gòu)倪@9人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中“學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)秀”的人數(shù)為X，試求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】（1）沒(méi)有99.9%的把握認(rèn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)與使用手機(jī)有關(guān)（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)和題中信息可完善列聯(lián)表，計(jì)算出的觀測(cè)值，結(jié)合臨界值表可得出結(jié)論；（2）由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、、，計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，可得出隨機(jī)變量的分布列，進(jìn)而可求得隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望值.【小問(wèn)1詳解】零假設(shè)：學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)與使用手機(jī)無(wú)關(guān)，因，所以，沒(méi)有的把握認(rèn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)與使用手機(jī)有關(guān)；【小問(wèn)2詳解】人中學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)秀的人有人，學(xué)習(xí)成績(jī)一般的有人，可能的取值有、、、，，，，.所以，隨機(jī)變量的分布列為.【點(diǎn)睛】求解隨機(jī)變量分布列的基本步驟：（1）明確隨機(jī)變量的可能取值，并確定隨機(jī)變量服從何種概率分布；（2）求出每一個(gè)隨機(jī)變量取值的概率；（3）列成表格，對(duì)于抽樣問(wèn)題，要特別注意放回與不放回的區(qū)別，一般地，不放回抽樣由排列、組合數(shù)公式求隨機(jī)變量在不同取值下的概率，放回抽樣由分步乘法計(jì)數(shù)原理求隨機(jī)變量在不同取值下的概率.17.設(shè)某批產(chǎn)品中，編號(hào)為1，2，3的三個(gè)廠生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占、、，各廠產(chǎn)品的次品率分別為、、．現(xiàn)從中任取一件，（1）求取到的是次品的概率；（2）經(jīng)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)取到的為次品，問(wèn)該次品來(lái)自哪個(gè)廠的可能性最大．【答案】（1）（2）編號(hào)為2的工廠【解析】【小問(wèn)1詳解】事件A表示“取到的是一件次品”，事件表示“取到的產(chǎn)品是由第i家工廠生產(chǎn)的”（），顯然，，是樣本空間S的一個(gè)劃分，且有，，，，，．由全概率公式得．【小問(wèn)2詳解】由貝葉斯公式得，，．所以，發(fā)現(xiàn)取到的為次品，該次品由編號(hào)為2的工廠生產(chǎn)的可能性最大．18.某工廠在試驗(yàn)階段大量生產(chǎn)一種零件．這種零件有A、B兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)需要檢測(cè)，設(shè)各項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)與否互不影響．若A項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為，B項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為，按質(zhì)量檢驗(yàn)規(guī)定：兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)都達(dá)標(biāo)的零件為合格品．（1）一個(gè)零件經(jīng)過(guò)檢測(cè)至少一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率；（2）任意依次抽取該種零件4個(gè)，設(shè)表示其中合格品的個(gè)數(shù)，求分布列及．【答案】（1）；（2）分布列見(jiàn)解析，.【解析】【分析】（1）設(shè)M：一個(gè)零件經(jīng)過(guò)檢測(cè)至少一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)，則：A，B都不達(dá)標(biāo)；故，即可得出結(jié)果；（2）依題意知，得出的概率分布和數(shù)學(xué)期望即可．【詳解】（1）設(shè)M：一個(gè)零件經(jīng)過(guò)檢測(cè)至少一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)，則：A，B都不達(dá)標(biāo)；故，所以一個(gè)零件經(jīng)過(guò)檢測(cè)至少一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為；（2）依題意兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)都達(dá)標(biāo)的概率為，所以，，，，，，的概率分布為：01234P，故的期望值為．【點(diǎn)睛】本題考查了離散型隨機(jī)變量及其分布列、離散型隨機(jī)變量的期望與方差和相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，是中檔題．19.已知函數(shù)（1）若在處有極小值，求；（2）若，求在區(qū)間上的最值.【答案】（1）（2）最小值為，最大值為.【解析】【分析】（1）由函數(shù)在處取得極小值，得，求出或，根據(jù)函數(shù)極值的概念