山東省濟南市鋼城區2026屆初中學業水平考試模擬（一）數學試卷（含解析）

2026年山東省濟南市鋼城區初中學業水平考試九年級數學模擬試題（一）一、單選題1．下列實數中，是無理數的是（

）A． B． C．0.2626 D．2．中國歷史文化悠久，瓷器文化是中國極具代表性的文化，如圖是醴陵出產的釉下彩瓷杯子，它的主視圖是（

）A． B． C． D．3．科幻巨作《三體》中所描述的三體文明距地球大約光年，它們之間被大量氫氣和暗物質紐帶連接，看起來似乎是連在一起的“三體星系”．其中數字用科學記數法表示為（）A． B． C． D．4．下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（

）A． B． C． D．5．下列計算正確的是（

）A． B．C． D．6．若實數，在數軸上的對應點的位置如圖所示，在下列結論中，正確的是（

）A． B． C． D．7．如圖，在3×3的正方形網格中，點，，，，均在各小正方形頂點處，下列說法正確的是（

）A． B．C． D．8．盒中有四張卡片，分別印有孤島槐林、黃河入海口、紅色劉集、孫子文化園圖案，它們的形狀和大小完全相同．兩名同學先后從中隨機抽取一張卡片（抽完后放回），則他們抽到的卡片圖案相同的概率為（

）A． B． C． D．9．如圖，分別以，為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧分別交于點，，作直線，分別與，交于點，，再以點為圓心，的長為半徑畫弧，與交于點，連接．若，，則是（

）A． B． C． D．10．定義：二次函數與軸有兩個交點，將其位于軸下方的圖象沿軸向上翻折，與原軸上方的圖象合稱為該函數的“型函數”．已知拋物線（為常數），記其對應的“型函數”為，有如下結論：①當取任意實數值，的函數圖象一定關于直線對稱；②當時，的函數圖象與直線有個公共點；③當時，的最小值為；④若的函數圖象與直線（為常數）有個公共點，則的取值范圍是；⑤當時，的值隨的增大而減小．則正確結論的個數為（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個二、填空題11．因式分解：___________．12．在一個不透明的袋子里裝有紅球、黃球共20個，這些球除顏色外都相同．小明通過多次試驗發現，摸出紅球的頻率穩定在左右，則袋子中黃球的個數可能是_____個．13．如圖，兩條平行線l1、l2分別經過正五邊形ABCDE的頂點B、C．如果∠1＝20°，那么∠2＝_____．14．人工智能的發展使得智能機器人送餐成為時尚．如圖，某餐廳的機器人甲和乙從廚房門口出發，準備給相距的客人送餐，甲比乙先出發，且速度保持不變，乙出發一段時間后將速度提高到原來的3倍．設甲行走的時間為，甲和乙行走的路程分別為，，，與之間的函數圖象如圖所示，則甲給客人送餐需要_____s．15．如圖，四邊形為矩形，已知，，E為上一點，，F為上動點，將矩形沿向下折疊，當點C恰好落在邊上時，的長度為_____．三、解答題16．計算：17．解不等式組，并寫出它的整數解．18．如圖，在菱形中，E、F是對角線上兩點，，連接、．求證：．19．某學校開展綜合實踐活動，如圖，，為兩棟樓房，山坡長為，，樓房位于山坡頂部平地上，底部A到E點的距離為．樓房底層窗臺P處至地面C處的高度為，在點P處觀察點B的仰角為，底部C距F處距離為．圖中所有點均在同一平面內，．(1)求山坡的垂直高度；(2)求樓房的高度．（參考數據：，，，，結果精確到）20．如圖，內接于，是的直徑，點是上一點，交的延長線于點，點是上一點，連接，．(1)求證：是的切線；(2)若，點是的中點，求的長．21．“呵護眼睛，從小做起”，每年6月6日為全國愛眼日．某學校九年級共1400名學生，為了解該年級學生的視力情況，從中隨機抽取40名學生的視力數據作為樣本，根據數據繪制了如下的表格和統計圖：等級視力（）頻數百分比A4B12CDE10合計40其中等級C，D的相關數據：4.6，5.0，4.5，4.9，4.5，4.9，5.0，4.8，4.6，4.9，4.5，4.5，5.0，5.0．根據上面提供的信息，回答下列問題：(1)請補全條形統計圖；(2)若將調查結果制作成扇形統計圖，則等級D所對應的圓心角為______；(3)等級C中數據的眾數是______，抽取的這40名同學視力的中位數是______；(4)若視力不低于4.8為“良好”，根據抽樣調查結果，請估計該校九年級學生視力為“良好”的有多少人？22．濟南市鋼城區素有“中國蜜桃之鄉”的美譽，蜜桃果肉飽滿、口感香甜．某水果店購進一批數量相等的A、B兩種蜜桃，其中購買A蜜桃用了480元，購買B蜜桃用了720元．已知每千克A蜜桃的進價比B蜜桃便宜4元．(1)求每千克A蜜桃、B蜜桃的進價各是多少元?(2)若該水果店再次購進A、B兩種蜜桃共100千克，且總費用不超過1100元．A蜜桃每千克售價12元，B蜜桃每千克售價18元．請設計進貨方案，使得售完后利潤最大，并求出最大利潤．23．已知反比例函數的圖象與正比例函數的圖象交于點，點在線段的延長線上．(1)求反比例函數的表達式；(2)如圖1，過點作軸的平行線，與的圖象交于點，與軸交于點，當時，求點的坐標；(3)在（2）的條件下，如圖2，連接并延長交軸于點，點為軸上一點，且滿足，請求出所有符合條件的點坐標．24．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過點，與x軸交于點和點，直線與軸正半軸交于點．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，若點在第四象限對稱軸右側拋物線上，點在坐標平面內，四邊形是面積為3的平行四邊形，求點的坐標；(3)如圖2，拋物線與軸交于點，拋物線的對稱軸與拋物線交于點，與軸交于點．若點為拋物線對稱軸上一點，點為軸上任意一點，且，當點在線段（含端點）上運動時，求的取值范圍．25．如圖，四邊形為矩形，，，分別為、邊上的中點．以，為邊構造矩形．(1)線段與的數量關系是_______，直線與直線的位置關系是_______．(2)將圖1所在的矩形繞點順時針旋轉，連接，，直線、交于點．則（1）中的結論是否成立？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由．(3)將圖1的矩形繞點旋轉，連接，，直線、交于點．若，則在矩形旋轉的過程中，求的最小值．參考答案1．B解：，，0.2626，中，只有是無理數，其余均是有理數.2．D【詳解】從杯子正面看，會看到梯形，選項D符合從正面看到的形狀．故選：D．3．D解：．故選：D．4．B解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；B、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；D、是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形.5．C解：∵，∴A錯誤.∵，，與不是同類項，不能合并，∴B錯誤.∵，∴C正確.∵，∴D錯誤.6．C解：由數軸可得，，，∴，，，∴，故選項錯誤，選項正確．7．D解：設每個小正方形的邊長為1，根據題意，得，，都是銳角，，不平行，故選項A不符合要求；，，，故選項B不符合要求；根據題意，得，都是銳角，且，，故選項C不符合要求；連接，根據勾股定理，得，且是等腰直角三角形，，，，，，∴，∴，，，四邊形是平行四邊形，，，．8．D解：記印有孤島槐林、黃河入海口、紅色劉集、孫子文化園圖案的卡片分別為a，b，c，d，列表如下：abcdabcd由表格可知，共有16種等可能的結果，其中他們抽到的卡片圖案相同的結果有4種，∴所求概率為，故選：D．9．A解：連接，由作圖知，垂直平分，，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴．10．B解：的函數圖象與拋物線函數圖象的對稱軸為同一直線，由拋物線，其對稱軸為直線，故的函數圖象一定關于直線對稱，結論①正確；當時，拋物線表達式為，的函數圖象與直線的交點個數即為拋物型的圖象與的交點個數，故可得方程，當時，解得或；當時，解得或；該方程有四個不相等的實數解，即的函數圖象與直線的交點個數為個，故結論②正確；當時，，當或時，最小，其最小值為，故結論③錯誤；對于拋物線，其對稱軸為直線，當時，，故頂點坐標為，翻折后中間部分頂點為，故可判斷當時，的函數圖象與直線（為常數）恰有個公共點，當時，的函數圖象與直線（為常數）有個公共點，當時，的函數圖象與直線（為常數）有個公共點，當是，的函數圖象與直線（為常數）也有個公共點，恰好位于軸上，故或，故結論④錯誤；∵，所以函數與軸的交點為，，當時，函數值隨的增大而增大，經翻折后，該部分的函數值隨的增大而減小，即當時，的值隨的增大而減小，故結論⑤正確；綜上，正確的結論有①②⑤，共個．11．解：，故答案為．12．15解：∵摸出紅球的頻率穩定在左右，∴摸出紅球的概率為，∴袋子中紅球的個數為（個），∴袋子中黃球的個數為（個），故答案是：15．13．92°解：∵正五邊形ABCDE的一個內角是108°，∴∠3＝108°﹣∠1＝108°﹣20°＝88°，∵l1∥l2，∠3＝88°，∴∠2＝180°﹣88°＝92°，故答案為：92°．14．45解：由題意，乙機器人剛出發時的速度為，則段乙機器人的速度為，∴乙機器人送餐所用時間為，∴點坐標為，即，∴甲機器人的速度為，∴甲給客人送餐需要．15．/解：如圖，過點E作交于點G，在矩形中，，，，∵，∴，由折疊的性質可知，,，，，，∵，∴四邊形是矩形，∴，，在中，，∴，設，則，在中，，∴，解得，∴，在中，．16．解：原式．17．不等式組的解集為，整數解為解：，解不等式①得，解不等式②得，所以不等式組的解集為：，所以不等式組的所有整數解為：．18．見解析【詳解】證明：∵四邊形是菱形，∴，∴，∵，∴，即，在和中，，∴，∴．19．(1)山坡的垂直高度約為(2)樓房的高度約為（1）解：在中，，，，∴，∴山坡的垂直高度約為．（2）解：如圖，延長交直線于點Q，則，過點P作于點G，∴四邊形和四邊形都是矩形，∴，，，，在中，，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，∴樓房的高度約為．20．(1)見解析(2)6（1）證明：連接，∵，∴，∵，∴，∵于點D，∴，∴，∴∴，即又∵是的半徑，∴是的切線．（2）解：∵，∴，∵點D是的中點，∴，∴，∵，∵，∵是的直徑，∴，又∵，∴，∴，∴．即的長是6．21．(1)見解析(2)(3)4.5，4.55(4)630人（1）解：由題意可知：C等級人數為6人，D等級人數為8人，補全條形圖如圖：（2）解：；（3）解：C等級中出現次數最多的數據為4.5，故眾數為4.5；將數據排序后，第20個數據和第21個數據分別為4.5和4.6，∴中位數為；（4）解：（人）∴估計該校九年級學生視力為“良好”的學生有630人．22．(1)每千克A蜜桃8元，則每千克B蜜桃為12元(2)再次購進A蜜桃25千克，B蜜桃75千克，售完后獲最大利潤550元（1）解：設每千克A蜜桃為x元，則每千克B蜜桃為元，由題意得解得經檢驗是所列方程的根，且符合題意．∴答：每千克A蜜桃8元，則每千克B蜜桃為12元．（2）解：設購進A蜜桃m千克，則購進B蜜桃千克，由題意得，解得．設總利潤為w元，由題意得∵，∴w隨m增大而減小．∴當時，，此時．∴再次購進A蜜桃25千克，B蜜桃75千克，售完后獲最大利潤550元．23．(1)(2)(3)點G坐標為或（1）解：將代入，得，∴；將代入，得，∴；（2）解：設點，則，∴，，∵，∴，∴，（舍），∴．（3）解：設直線的解析式為，把，，代入得：，解得，∴直線的解析式為：，∴當時，解得，∴；①點G在x軸正半軸，∵，，∴，∴．設，則∴，（舍）∴．②點在x軸負半軸，此時，，∴過點A作軸于點，則是中點，∴；綜上所述，點G坐標為或．24．(1)(2)(3)（1）解：由題意可得解得∴．（2）連接，過點作軸交于點四邊形是平行四邊形，且面積為∴∴．設直線的解析式為代入，，得解得：∴的解析式為：∴．設，則∴，∴（舍），∴∵四邊形是平行四邊形，又，，∴即．（3）解：當時，∴，∵∴，依