江蘇省南京市鼓樓區名校聯盟2026屆九年級下學期中考二模數學試卷（含解析）

2026年江蘇省南京市鼓樓區名校聯盟二模中考數學試題一、單選題1．畫在圖紙上的某一零件的長度是25，若比例尺是，則該零件實際長度是（

）．A． B． C． D．2．小明把如圖所示的矩形紙板掛在墻上，玩飛鏢游戲（每次飛鏢均落在紙板上），則飛鏢落在陰影區域的概率是（

）A． B． C． D．3．下列說法正確的是（）A．三點確定一個圓 B．三角形的外心到三角形三邊的距離相等C．平分弦的直徑垂直于弦 D．垂直于弦且過圓心的直線平分這條弦4．如圖，夜晚冬冬從點出發沿直線走向點，行進路線經過某路燈的正下方．在此過程中，他的影子會（

）A．一直變長 B．一直變短C．先變長，后變短 D．先變短，后變長5．如圖，是等邊的外接圓，是的直徑，過點D作的切線交的延長線于點E．若，則的長為（

）A．5 B． C．6 D．6．已知函數的圖象過點，，，則下列選項中，對應的a的值最大的是（

）A． B． C． D．二、填空題7．若，則______．8．已知二次函數與x軸有兩個公共點，則實數m的取值范圍是______．9．若關于的方程的兩根分別是2，3，則的值為______．10．某廠工業廢氣年排放量為萬立方米．為改善城市環境質量，決定在兩年內使廢氣年排放量減少到萬立方米．設平均每年廢氣排放量減少的百分率為，則可列方程為______．11．一個圓錐的底面半徑為3，若它的側面展開圖是一個半圓，則其母線長為________．12．若拋物線與軸有兩個公共點，則的值可以是________．（填寫一個即可）13．如圖，在中，C，D分別是和弦的中點，若，，則的半徑是________．14．如圖，在Rt中，，，，是的中點，點在上．若與相似，則________cm．15．在中，，．若是的內切圓，則的半徑的最大值是________．16．如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點C的坐標為，的半徑為2，P為上的一點，軸，垂足為M，則的最小值為______．三、解答題17．解方程：(1)；(2)．18．如圖，已知⊙O中，弦AB與CD相交于點P．求證：PA?PB=PC?PD．

19．按照國家視力健康標準，學生視力狀況分為A，B，C，D四個類別，為了解某校學生視力狀況，調查小組隨機抽取了該校部分學生進行調查，繪制成如下不完整的統計表和統計圖．抽取的學生視力狀況統計表類別ABCD視力視力4.9視力視力健康狀況視力正常輕度視力不良中度視力不良重度視力不良人數160mn56根據以上信息，回答下列問題：(1)______，______，______；(2)抽樣調查數據的中位數所在類別為______類；(3)已知該校共有800名學生，請估計該?！爸卸纫暳Σ涣肌焙汀爸囟纫暳Σ涣肌钡膶W生總人數；為更好保護好視力，結合上述統計數據分析，給出一條合理化的建議．20．如圖，在平面直角坐標系中，的頂點坐標分別為、、．(1)以原點O為位似中心，在y軸的右側畫出的一個位似，使它與的相似比為；(2)將向左平移2個單位，再向上平移1個單位后的，判斷與，能否是關于某一點M為位似中心的位似圖形？若是，請在圖中畫出位似中心M，并寫出點M的坐標．21．射擊訓練班中的甲乙兩名選手在5次射擊訓練中的成績依次為（單位：環）：甲：8，8，7，8，9乙：5，9，7，10，9教練根據他們的成績繪制了如下尚不完整的統計圖表：選手平均數眾數中位數方差甲8a8c乙89b根據以上信息，請解答下面的問題：(1)______，______，______；(2)教練根據這5次成績，決定選擇甲參加射擊比賽，教練的理由是什么？(3)選手乙再射擊第6次，由于發揮失常，命中的成績僅是5環，則選手乙這6次射擊成績的方差與前5次射擊成績的方差相比會______．（填“變大”、“變小”或“不變”）．22．甲袋子中裝有2個相同的小球，它們分別寫有數字1和3；乙袋子中裝有3個相同的小球，它們分別寫有數字1，2和4，先從甲袋子中隨機取出1個小球，再從乙袋子中隨機取出2個小球．(1)取出的3個小球上所寫數字沒有4的概率是____________；(2)取出的3個小球上所寫數字都不相同的概率是多少？23．已知拋物線的對稱軸是．(1)求的值及拋物線的頂點坐標．(2)當時，的取值范圍是___________．(3)若，請畫出的函數圖象（不列表），記作．當直線與恰有3個交點時，則的值為___________．24．已知二次函數（為常數）．(1)求證：該函數的圖像與軸總有公共點；(2)當該函數圖像的頂點縱坐標的值最大時，的值為________．25．如圖，有一座拋物線形拱橋，在正常水位時水面寬為，當水位上升時，水面寬為．(1)把橋拱看作一個二次函數的圖像，以所在的直線為軸，以的中點為原點建立如圖①所示的平面直角坐標系，求這個函數的表達式；(2)有一艘裝滿貨物的船，露出水面部分的高為，寬為（橫斷面如圖②），以的速度向此橋徑直駛來，當船距離此橋時，橋下水位正好在處，之后水位每小時上漲，如果該船的速度不變，那么它能否安全通過此橋？說明理由．26．如圖，在中，，過，兩點的交于點，．(1)求證：與相切；(2)若，，①求的長；②的半徑為________．27．平行線是研究三角形相似的基本工具．(1)【初步嘗試】如圖，在中，點在邊上，，在邊上求作點，使．（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，寫出必要文字說明．）(2)【深入研究】如圖，在和中，，分別邊，上一點，，，，求證．(3)【應用拓展】如圖，已知，直線．在圖中，求作，使點分別在，，上，且．（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，寫出必要文字說明．）設在中所作的的邊與交于點，發現隨著形狀的變化，的長度也隨之變化．若，，之間的距離為，，之間的距離為，則的最小值是．參考答案1．C解：根據比例尺＝圖上距離：實際距離．設零件的實際長度為x，；解得：（）；故選C．2．C解：如圖，四邊形是矩形，交于點，過點，∴,，∴，∵，∴，又∵，,∴，∴，∴，∴飛鏢落在陰影區域的概率是；故選：C．3．D解：∵不在同一直線上的三點確定一個圓，選項A未排除共線情況，故A錯誤；∵三角形的外心是外接圓圓心，到頂點的距離相等，但到三邊的距離不一定相等，故B錯誤；∵平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，但選項未限定弦非直徑，故C錯誤；∵垂直于弦且過圓心的直線平分這條弦（垂徑定理），故D正確．故選D4．D解：如圖，夜晚冬冬從點走向點，他的影子會先變短，再變長．故選：D．5．C解：連接，是等邊三角形，，是的直徑，與相切于點，交的延長線于點，，，，，，，，，故選：C．6．D解：∵圖象經過點，，，將這三點坐標代入，得，∴，∴，∵∴隨的增大而減小，∵,∴當時，a的值最大，故選：D．7．2解：∵，∴，，∴．故答案為：2．8．解：∵二次函數與x軸有兩個公共點，∴方程有兩個不相等的實數根，∴，解得，故答案為：．9．6解：由題知，因為關于的方程的兩根分別是2，3，所以，則．故答案為：6．10．解：設平均每年廢氣排放量減少的百分率為x，根據題意列方程得，故答案為：．11．6解：設圓錐的母線長為，圓錐底面周長：，側面展開圖半圓的弧長：，由底面周長等于側面展開圖弧長，得：，∴．故答案為：．12．（答案不唯一）解：拋物線方程為，展開得，∵拋物線與x軸有兩個公共點，即方程有兩個不相等的實數根，∴，解得．因此k可取任意負數，例如．故答案為：（答案不唯一）．13．5解：連接，，，∵C，D分別是和弦的中點，，∴，，，∴O、D、C共線，設半徑，則，由勾股定理得，即解得，故的半徑是5，故答案為：5．14．或【詳解】在Rt中，，，，是的中點，，，當，，即，解得；當，，即，解得，或，故答案為：或．15．1解：設的內切圓的半徑為r，與、、分別相切于D、E、F，連接、、，則，，，，，，．，．，，，平分．．，．．當r最大時，最大．延長至，使，連接則．，，，點在以為弦，所對圓周角為的圓弧上運動，作的外接圓，當為的直徑，即點A與點重合時，的值最大，此時，，，為等邊三角形．．．．的內切圓的半徑為r的最大值為1，故答案為：116．解：設，則∴設，則∵點C的坐標為，的半徑為2，P為上的一點，軸，根據勾股定理可得代入，得，整理得當時直線與相切，則取的最小值，∴解得：∴當切點在點的左側時，取得最小值，即的最小值為故答案為：．17．(1)(2)1）解：，，，，∴；（2）解：，，，，，，∴．18．見解析【詳解】連接AC、BD．∵∠A＝∠D，∠C＝∠B，∴△ACP∽△DBP，∴，∴PA?PB＝PC?PD．

19．(1)64，120，30(2)(3)人，建議合理即可（1）解：，∴，，，∴，故答案為：64，120，30；（2）解：總人數人，則中位數為第和人視力的平均數，而組人，組人，∴中位數在組，故答案為：；（3）解：（人），學?？梢远ㄆ诮M織視力檢查，增加戶外活動時間，培養正確的讀寫姿勢和用眼習慣等．20．(1)見解析(2)是，圖見解析，M的坐標為（1）解：所作如圖所示：（2）解：如上圖畫出，與是關于某一點M為位似中心的位似圖形，如圖，M的坐標為．21．(1)8，9，；(2)見解析；(3)變大．（1）解：甲選手的成績中8環出現了3次，出現次數最多，甲選手的成績眾數為8，即，，即；把乙選手的成績按由小到大排列為5，7，9，9，10，乙選手的成績的中位數為9；故答案為：8，9，；（2）解：教練的理由為：甲乙的平均數相同，甲的方差小于乙的方差，所以成績比較穩定，所以教練根據這5次成績，決定選擇甲參加射擊比賽；（3）第6次為5環，與平均數相差比較大，選手乙這6次射擊成績的方差與前5次射擊成績的方差相比會變大．故答案為：變大．22．(1)(2)（1）解：畫樹狀圖如下：共有6種等可能的結果，其中取出的3個小球上所寫數字沒有4的結果有2種，取出的3個小球上所寫數字沒有4的概率為．故答案為：．（2）解：由樹狀圖可知，共有6種等可能的結果，其中取出的3個小球上所寫數字都不相同的結果有4種，取出的3個小球上所寫數字都不相同的概率為．23．(1)，拋物線的頂點坐標為，(2)(3)b的值為0或（1）的對稱軸是直線，，，，拋物線的頂點坐標為，（2）拋物線開口向上，拋物線的對稱軸為直線，當時，取得最小值為，∵∴當時取得最大值，當時，的取值范圍是（3）解：函數W的圖象如圖所示，∵，頂點坐標為；是由平移得到的且過；由圖可知，①當時，恰與W有3個交點；②將的圖象向上平移后與只有一個交點時，與恰有三個交點，令，整理得，與只有一個交點，，，綜上，當直線與W恰有3個交點時，b的值為0或．24．(1)見解析(2)（1）解：令，則，∵，，，∴，∴方程有實數根，∴該函數的圖像與軸總有公共點；（2）解：∵，∴該函數圖像的頂點縱坐標為，設，∵，∴當時，有最大值，最大值為0．故答案為：．25．(1)(2)船不能安全通過此橋，見解析（1）解：為16m，的中點為原點，點，的坐標分別是，．可設此函數的表達式為，當水位上升時，水面寬為，點的坐標為，把，代入，，解得．此函數的表達式為，即．（2）解：船不能安全通過此橋．把，代入，得，當船行至橋時水位上升高度為，船頂距高為．，船不能安全通過此橋．26．(1)見解析(2)①；②（1）證明：如圖，在優弧上取一點E，連接，，，，設，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，又為的半徑，∴與相切；（2）解：①∵，∴，又，∴，∴，∵，，∴，解得（負值已舍去）∴；②過A作于H，于F，設半徑，則，∴四邊形是矩形，∴，，∵，，∴，∴，在中，，，由勾股定理得，即，解得，即的半徑為．27．(1)見解析(2)見解析(3)①見解析；②（1）解：如圖，作，與交于點E，點E即為所求．∵，∴，∵