浙江省91高中聯盟2022-2023學年高三上學期11月期中聯考數學試題

第頁，共頁浙江省91高中聯盟2022-2023學年高三上學期11月期中聯考數學試題一、單選題（本大題共8小題）1.已知集合，，則（

）A． B． C． D．2.已知復數滿足，則（

）A． B． C． D．13.過原點且傾斜角為的直線被圓所截得的弦長為（

）A．1 B． C．2 D．4.從2位男生，4位女生中安排3人到三個場館做志愿者，每個場館各1人，且至少有1位男生入選，則不同安排方法有（

）種.A．16 B．20 C．96 D．1205.雷峰塔又名黃妃塔?西關磚塔，位于浙江省杭州市西湖區，地處西湖風景區南岸夕照山（海拔46米）之上.是吳越國王錢俶為供奉佛螺髻發舍利?祈求國泰民安而建.始建于北宋太平興國二年（977年），歷代屢加重修.現存建筑以原雷峰塔為原型設計，重建于2002年，是“西湖十景”之一，中國九大名塔之一，中國首座彩色銅雕寶塔.李華同學為測量塔高，在西湖邊相距的?兩處（海拔均約16米）各放置一架垂直于地面高為米的測角儀?（如圖所示）.在測角儀處測得兩個數據：塔頂仰角及塔頂與觀測儀點的視角在測角儀處測得塔頂與觀測儀點的視角，李華根據以上數據能估計雷鋒塔的高度約為（

）（參考數據：，）A．70.5 B．71 C．71.5 D．726.已知中，點為邊中點，點為所在平面內一點，則“”為“點為重心”（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要7.已知函數的定義域為，且是偶函數，是奇函數，則（

）A． B． C． D．8.已知，，，則（

）A． B． C． D．.二、多選題（本大題共4小題）9.已知函數，其中，為實數，則下列條件能使函數僅有一個零點的是（

）A．， B．， C．， D．，10.已知函數，則（

）A．函數的值域為B．點是函數的一個對稱中心C．函數在區間上是減函數D．若函數在區間上是減函數，則的最大值為11.已知袋子中有個紅球和個藍球，現從袋子中隨機摸球，則下列說法正確的是（

）A．每次摸個球，摸出的球觀察顏色后不放回，則第次摸到紅球的概率為B．每次摸個球，摸出的球觀察顏色后不放回，則第次摸到紅球的條件下，第次摸到紅球的概率為C．每次摸出個球，摸出的球觀察顏色后放回，連續摸次后，摸到紅球的次數的方差為D．從中不放回摸個球，摸到紅球的個數的概率是12.已知棱長為1的正方體，以正方體中心為球心的球與正方體的各條棱相切，點為球面上的動點，則下列說法正確的是（

）A．球在正方體外部分的體積為B．若點在球的正方體外部（含正方體表面）運動，則C．若點在平面下方，則直線與平面所成角的正弦值最大為D．若點??在球的正方體外部（含正方體表面）運動，則最小值為三、填空題（本大題共4小題）13.的展開式的中間一項的系數是.（用數字作答）.14.已知正實數，滿足，則的最小值為.15.我們知道用平面截正方體可以得到不同形狀的截面，若棱長為的正方體被某平面截得的多邊形為正六邊形，以該正六邊形為底，此正方體的頂點為頂點的棱錐的最大體積是.16.已知橢圓上兩點，（為長半軸長），點為橢圓右焦點，點是線段中點，、、軸恰好圍成以為頂點的等腰三角形，則橢圓的離心率為.四、解答題（本大題共6小題）17.已知數列的前項和為，若，(1)求數列的通項公式；(2)證明：.18.已知的內角、、所對的邊長分別為、、，且，若，，求：(1)求的值；(2)求的最大值.19.已知棱長均為2的平行六面體，，頂點的投影為棱中點.(1)求三棱錐的體積；(2)求平面與平面所成角的余弦值.20.直播電商帶貨的模式近年來發展勢頭迅猛，我國直播電商模式不僅規模上實現增長，在影響力上也發展成為重要的電商消費模式，包括直播活躍程度、覆蓋商品類型、主播類型等都實現延展.每年的“雙十一”購物節成為各直播電商里關注的節點.某直播公司為增加銷售額，準備采取新舉措，將原本單一的直播團隊拆分為甲?乙兩個直播團隊，相互競爭.該公司記錄了新舉措實施前天的全公司的日均總銷售額和新舉措實施后天的日均總銷售額的天數頻數分布表，如表所示：新舉措實施前天全公司的日均總銷售額日均總銷售額（萬元）天數新舉措實施后天全公司的日均總銷售額日均總銷售額（萬元）天數(1)將下面的列聯表補充完整.并回答：在犯錯誤的概率不超過的前提下，能否判斷公司銷售額提高與采取新措施有關；日均總銷售額小于萬元的天數日均總銷售額不小于萬元的天數總計新舉措實施前天新舉措實施后天總計(2)后期該公司還打算對甲、乙兩個直播團隊的表現進行如下考核：選定某周周一至周五的天時間，兩隊進行當天銷售額的比較，若甲團隊的銷售額超過萬元且乙團隊的銷售額未超過萬元，則甲團隊得分，乙團隊得分；若乙團隊的銷售額超過萬元且甲團隊的銷售額未超過萬元，則乙團隊得分，甲團隊得分；若兩團隊的銷售額都超過萬元或都未超過萬元，則兩團隊均得分.根據以往數據，甲、乙兩團隊某天銷售額超過萬元的概率分別為和，某一天的考核中甲團隊的得分記為.（i）若，，求的分布列；（ii）若甲、乙兩團隊在考核開始時都賦予分，兩隊銷售額比較次算一輪，若經過輪比較，甲團隊得分的數學期望超過分，求的取值范圍（用表示）.參考公式及數據：，其中.21.過雙曲線上一點作兩漸近線的垂線，垂足為、，且.(1)求雙曲線方程；(2)過點的直線與雙曲線右支交于、兩點，連接、，直線與、分別交于、，.（i）若，求的值；（ii）求的最小值.22.已知函數.(1)若的導函數為，試討論的單調性；(2)若對任意的恒成立，求實數的取值范圍.

參考答案1.【答案】A【分析】求出集合、，利用并集的定義可求得集合.【詳解】因為，，故.故選：A.2.【答案】D【分析】求出，再求.也可直接用復數模長性質求解.【詳解】解法一：由題意，易得：，∴.解法二：∴.故選：D3.【答案】B【分析】根據題意，求得直線的方程，根據圓的方程，可得圓心為（0,1），半徑，根據點到直線距離公式，可得圓心（0,1）到直線的距離d，代入公式，即可求得答案.【詳解】由題意得：直線的斜率，且直線過原點，所以直線的方程為，圓的方程化為：，即圓心為（0,1），半徑，所以圓心（0,1）到直線的距離，所以直線被圓所截得弦長為.故選：B4.【答案】C【分析】分一男兩女與兩男一女兩類討論.【詳解】若選一男兩女共有：；若選兩男一女共有：；因此共有96種，故選：C5.【答案】C【分析】在中由正弦定理求得，在直角中，，將平面畫成平面圖，以地平線為基準，根據各個高度關系求MN的高度.【詳解】在中，，，所以，由正弦定理得，所以，在直角中，，將平面畫成平面圖如圖所示：由題意知：，，，，故選：C.6.【答案】C【分析】等價于等價于點為重心.【詳解】充分性：等價于：等價于：等價于：所以為的靠近的三等分點，所以點為重心；必要性：若點為重心，由重心性質知，故故選：C7.【答案】D【分析】推導出函數的圖象關于直線對稱，關于點對稱，求得，結合對稱性可判斷各項的正誤.【詳解】因為函數為偶函數，則，令可得，所以，，因為函數為奇函數，則，所以，函數的圖象關于直線對稱，關于點對稱，又因為函數的定義域為，則，則，、、的值都不確定.故選：D.8.【答案】A【分析】利用的單調性比較的大小關系，利用的單調性證明即可比較出的大小關系.【詳解】令，，由得，，由得，，所以在上為增函數，在為減函數.因為，所以，即，故.因為，所以，所以，所以，所以，而，所以故選：A9.【答案】ACD【分析】將的值代入解析式，利用導數分析函數的單調性與極值，結合圖象及零點存在性定理，判斷零點個數.【詳解】由已知可得的定義域為.對于A、當時，，則.當或時，;當時，，故在和上單調遞增，在上單調遞減，故在處取得極大值，在處取得極小值.因為且的圖象連續不斷，故的圖象與軸有且只有一個交點，故此時有且只有一個零點，故該選項符合題意.對于B、當時，，則.當或時，;當時，，故在和上單調遞增，在上單調遞減，故在處取得極大值，在處取得極小值.又因為，且的圖象連續不斷，故的圖象與軸有且只有兩個交點，故此時有且只有兩個零點，故該選項不合題意.對于C、當時，，則在上恒成立，當且僅當時取等號，故在上單調遞增，又因為，且的圖象連續不斷，故的圖象與軸有且只有一個交點，故此時有且只有一個零點，故該選項符合題意.對于D、當時，，則在上恒成立，故在上單調遞增，又因為，且的圖象連續不斷，故的圖象與軸有且只有一個交點，故此時有且只有一個零點，故該選項符合題意.故選:ACD.10.【答案】ABD【分析】利用輔助角公式可得出，利用正弦型函數的值域可判斷A選項；利用正弦型函數的對稱性可判斷B選項；利用正弦型函數的單調性可判斷CD選項.【詳解】因為.對于A選項，函數的值域為，A對；對于B選項，，故點是函數的一個對稱中心，B對；對于C選項，當時，，故函數在區間上不單調，C錯；對于D選項，由題意且函數在上為減函數，當時，，且，所以，，則，解得，故的最大值為，D對.故選：ABD.11.【答案】AD【分析】利用全概率公式可判斷A選項；利用條件概率公式可判斷B選項；利用二項分布的方差可判斷C選項；利用超幾何分布的概率可判斷D選項.【詳解】對于A選項，記事件第一次摸紅球，事件第一次摸藍球，事件第二次摸紅球，則，A對；對于B選項，每次摸個球，摸出的球觀察顏色后不放回，則第次摸到紅球的條件下，第次摸到紅球的概率為，B錯；對于C選項，由題意可知，則，C錯；對于D選項，從中不放回摸個球，摸到紅球的個數的概率是，D對.故選：AD.12.【答案】BD【分析】對于A，結合球的體積和正方體體積公式或利用球缺的體積公式即可判斷；對于B，可取中點，可將利用向量運算轉化為，再結合的范圍即可判斷；對于C，直線與平面所成角最大時直線正好與平面ABCD下方球相切，根據幾何關系即可求出所成角的最大正弦值，即可判斷；對于D，可將轉化為，再利用不等式進行轉化求解，即可判斷.【詳解】對于A，正方體的棱切球的半徑，如下圖所示，球在正方體外部的體積，或者可根據球在平面上方球缺部分的體積，為球缺的高，所以球在正方體外部的體積為，A選項錯誤；對于B，取中點，可知在球面上，可得，所以，點在球的正方體外部（含正方體表面）運動，所以（當為直徑時，），所以，B選項正確；對于C，

若正方體上底面字母為，則直線與平面所成角的正弦值最大時，如上圖所示點位置，此時正弦值最大為1，若正方體下底面字母為，設平面的中心為,直線與平面所成角即為直線與平面所成角，則直線與平面所成角最大時，直線正好與平面下方球相切，過作平面下方球的切線，切點為，將正方體及其棱切球的截面畫出，如下圖所示，可得，，，，，所以，，，所以直線與平面所成角最大時為，，C選項錯誤；對于D，，記向量與向量的夾角為，，因為，且，所以，令，所以上式可化為，當且僅當時等號成立，此時，即時等號成立，根據題意可知此條件顯然成立，D選項正確.故選：BD.13.【答案】【分析】利用二項展開式通項可求得所求項的系數.【詳解】由二項式展開式可知，的展開式的中間一項的系數為.故答案為：.14.【答案】【分析】由題意可得，，由基本不等式性質可得的最小值.【詳解】解：由，可得，可得，故的最小值為15.【答案】##【分析】計算出正六邊形的面積，以及棱錐高的最大值，利用錐體的體積公式可求得結果.【詳解】在棱長為的正方體中，、、、、、分別為對應棱的中點，由正方體的幾何性質可知，六邊形為正六邊形，且其邊長為，正六邊形的面積為.以點為原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、，，，，，，，，，，、平面，平面，當棱錐的頂點為點或時，棱錐的高最大，且該棱錐高的最大值為，因此，此正方體的頂點為頂點的棱錐的最大體積是.故答案為：.16.【答案】【分析】、、軸恰好圍成以為頂點的等腰三角形可知，即可找到的關系求出離心率.【詳解】由題意知，由??軸恰好圍成以為頂點的等腰三角形可知，所以整理得，故故答案為：17.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）仿照與的關系，由求，再求，注意討論是否符合；（2）先裂項求和，再證明不等式.【詳解】（1）當時，相減得當時，符合上式所以.當時，當時，符合上式.故（2）由（1）知：所以18.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理結合余弦定理求出的值，再利用誘導公式可求得的值；（2）解法一：根據結合余弦定理可得出，利用基本不等式可求得的最大值；解法二：由向量的線性運算可得出，利用平面向量數量積的運算可得出，利用基本不等式可求得的最大值.【詳解】（1）解：由已知和正弦定理得，由余弦定理可得，所以.（2）解：法一：，則，由得，即，又中，從而，即，所以（當且僅當時取等號），故的最大值為.法二：由所以，，即，即，所以（當且僅當時取等號），故的最大值為.19.【答案】(1)1(2)【分析】（1）等積轉化，點到面距離等于到面距離，可在等邊中求取；（2）建立空間直角坐標系，用空間向量求解.【詳解】（1）如圖，由底面為菱形，，得正，從而有，又平面，平面，得，又故平面，由已知得，平行六面體知：到面距離等于長因為為中點，，所以為正三角形，故也為正三角形，所以（2）由底面為菱形，，得正，從而有，以為軸，為軸，為軸建立如圖所示的空間直角坐標系.則，，，，從而，設平面的法向量為，則，令，，平面平面，其一個法向量為.所以所以平面與平面所成角的余弦值為20.【答案】(1)列聯表答案見解析，在犯錯誤的概率不超過的前提下，能判斷公司銷售額提高與采取新措施有關(2)（i）答案見解析；（ii）【分析】（1）根據題中信息完善列聯表，計算出的觀測值，結合臨界值表可得出結論；（2）分析可知隨機變量的可能取值有、、，計算出隨機變量在不同取值下的概率，可得出隨機變量的分布列.（i）將，代入可得出隨機變量的分布列；（ii）計算出的值，利用期望的性質可得出，根據題意可得出關于、的不等式，結合概率的范圍可得出結果.【詳解】（1）解：列聯表如下：日均總銷售額小于萬元的天數日均總銷售額不小于萬元的天數總計新舉措實施前天新舉措實施后天總計因為，所以在犯錯誤的概率不超過的前提下，能判斷公司銷售額提高與采取新措施有關.（2）解：的所有可能取值為、、，，，，（i）將已知值，代入，得隨機變量的分布列如下表所示：（ii）由上可知，，又概率，故.21.【答案】(1)(2