2026年全國高中數(shù)學聯(lián)賽預(yù)賽試題-北京市

PAGE10頁/2872026年全國高中數(shù)學聯(lián)賽預(yù)賽試題-

1a

，且0。

32x13x23x

的最小 正三棱錐底面邊長為2，側(cè)棱長為3，求其內(nèi)切球半 已知復(fù)數(shù)z，z1，求z33z1的最大 Pxyz2xyz2d1OPd2Px2y2z0 d29d2的最小

6 已知橢

的最大值 已知a

2

32026，則ab除以19的余數(shù) 有一個凸20邊形，這個凸20邊形的對角線沒有形內(nèi)三線共點，則這個凸20邊形所有的邊與對角 2026aa,

，滿足a

1，則

的最小值

4a2 4a2 4a a，已知a1

2,

a1則

已知橢圓xy1，直線y 與橢圓交于A,B兩點，過橢圓的右焦

F2 M,N兩點，則四邊形MANB的面積最大時直線的斜率 MDME

ACAB

FGMFMG

DEGF求證:MDAMCn3,

xk,maxx1x2

1,minx1x2

1k

D

1k xk1nn“專一數(shù)作如下定義:i1in1ini1S102026“專一數(shù)”的和,S17nn1個格，將此格所有硬幣分配至鄰格:21個硬幣。已知操作可以無限進行下2026年全國高中數(shù)學聯(lián)賽預(yù)賽試題-北京市-

1a

，且0。

1tjFt1t10131t10131t21013Ft 1解:

32x13x23x

的最小 解解t3x0,3t29t15ttt由均值不等式,t113t1t2276等號當t1 3，即t 310，可取到36正三棱錐底面邊長為2，側(cè)棱長為3，求其內(nèi)切球半 解解:2S0 R2h 32R2 9464669 3r3VV1rS,S 3322 3612321223,3,2的等腰三角形,23V1Sh13已知復(fù)數(shù)z，z1，求z33z1的最大 Gu096 2u22u10,G19,G11解zeit,ucost1,1Gu24u224u12122u22u8u312u212uz33z1112cos3t6cos2t996

Pxyz2xyz2d1

d2P

x2y2z0 d29d 解:

的最小

x2y2z03

apbd2bk,由柯西不等式

d29d2p2bp2 2akbpkbp 4akb2k2k3,

akb

k210k212k6 1010412Q5P7 1

3

12 , 6 62xyz2,

6 已知橢

的最大值 解一:

X

,Yy

X2Y21,06

2 5

3在單位圓中,設(shè)弦ABdP,0d21

,

AB21d2121d21d1d

1d2fd1d

1d2fd

1d2d1d0d

上為正,d

12

1

7

21721 5

33721637 解二:若AB

x0,

63AB6,點到該直線的最大距離為3,下面設(shè)AB所在直線非豎直,

16

33將其代入橢圓方程

l:ykx6 6 x

AB,

k23x212kx189 , 25k2xx Δ k2

k21k225k2

1k

xx l

5k2xy

kxy6 y

x

y2kxy23k 3k29 3k2 3 9Cl

3k29kxy

3k2

3k29 51k于是當ABk時,

25k263

3k296Sk k2uk233,r1 2512r236r,0r1 5 Gr

2512r2 6r3 53 30123r144rGr .2512r0r123r144r21248 Gr處取得,

在區(qū)間上單調(diào)遞增,

ru3,k33 32163733637 3254AB:y6已知a

2

32026，則ab除以19的余數(shù) 解解1923,274474329756323mod19523231mod1923mod19ab2mod有一個凸20邊形，這個凸20邊形的對角線沒有形內(nèi)三線共點，則這個凸20邊形所有的邊與對角 解:任一三角形由三條邊或?qū)蔷€兩兩相交形成。按這三條線段共涉及的原多邊形頂點數(shù)分類。設(shè)選出的原頂點數(shù)為k,3k6。k3:3個頂點,1個三角形,33 k4:在一個凸四邊形中,必須取兩條對角線和一條邊,4個三角形,444 k5:在一個凸五邊形中,5個這樣的三角形,555 k6:在一個凸六邊形中,三條線段必須兩兩相交,只能取三條“相對”的連線,1個,66 3 4 5 62043 4 5 6 3 4201140,3 4 5 62015504,5 6 2026aa

，滿足a

1，則

的最小值

4a2 4a2 4a2解:對任意t0, 14t

1t2t1

14t

1

aiaiai11aiai把下標按奇偶分組,

i11

Xa1a3a2025,Ya2a4a20262026為偶數(shù)

XY

aiai1XY 11 a

1,a 時,

1/ 1/2113

對于數(shù)列a，已知a1,a2, a1,則

解an1an,an

1

a3331

n 先證下界 a2026a2a3,a103,

an

11a291 3an3n2n10,an2,3131

n11,an3,31311

83202491201516337 18a2026a2026已知橢圓x2y21，直線y 與橢圓交于A,B兩點，過橢圓的右焦點F作一條直線交橢圓 M,N兩點，則四邊形MANB的面積最大時直線的斜率 解:a221,b211,F2k,

F2

10,ykx10

MN

22211k21121k MANBMNAB,且AB固定,AB1。因此面積最大等價于最MNsin 4 tank sin

k 4 21k2

k11k1121kk121k2Hk 1121k221k3k231k117k22k110,kk1MDME

ACAB

FGMFMG

DEGF求證:MDAMC解一解一:r2a2b2AM設(shè)CMF,ttanFACGAB,MFMG,MFt,MG1ACbX1aYb邊ABbXa1YbF , ,b1atb1atG bta1bta1

X2YX2Y

XX

r2ar2a

YYE

MDMFF2

r2a

yFxFMEMG

xG

r2a

yGDEGF四點共圓,MDFMEG共線,由割線定理MDMFMEr2 r2FG坐標,

yFxFxG

yG交叉相乘并整理

r2atb r2abt bta1r21bt22atbt0,

bt22atbtar b rcosa,sinb tan sin b/ 0,

1

1a/ r CMF1

DMF共線,MD

MBMCm,AMr,AMCxFAC,0xMGMF,GAB,DEFG四點共圓,MDF共線,MEG共線,MDMFMEMF用面積公式可得如下常用結(jié)論MUp,MVq,UMVPUV,

MF

MD

mcosxrcosx

ABMD

DB在直線AMAMDAMF由正弦定理

中的正弦定理化簡,

rsinx 同理,

ACME四點共圓,AECM同側(cè),

ME

由13456,消去公共因子,交叉相乘,

r2m2

,

r2m2sinxxsin2x0x180°,2xxCMF1DMF共線,MDAMCn3,

xk,maxx1x2

1,minx1x2

1k

D

1k xk1解:設(shè)

Sk

xk,

Sk0Ak11kAk0,10SkDS001kn1xk1xkSk1SkSkSk1Sk12SkSk0Sjj,Sk12SkSk1xk1xk2k2nD2n

Sk

xkSkSk1D

2n1i

jn,

Bxi1xjAiA

ji j A

jiBA

xs

Dsr

,

B

r1Aj

maxAk1minAk0,

pq

ApAqDnDnxk

2kn

1knn2n1,綜上nnDA10An1,條件滿足, nk 2r Ank xnn“專一數(shù)作如下定義:i1in1ini1S102026“專一數(shù)”的和,S17解:1“1數(shù)”。一個正整數(shù)n“專一數(shù)”等價于:naab11.011從低位到高位看進位?？傻? 0 00,1,之后始終兩種都可能,0,1數(shù)之1數(shù)之和的數(shù),低位到高位必須是kH20,2。

kn1,0n?？梢宰C明此時不能分解為1數(shù)的只有:因此所有專一數(shù)為兩類2.

210kk0,210k,N20261710161,

N10mod16

NS210kk 10

S22237modSSS1S25712mod綜上S141233395mod2r12r3r3rr r3161,28 r rSE43rE4 3mEmnn1個格，將此格所有硬幣分配至鄰格:21個硬幣。已知