第09講 概率的進一步認識-【暑假自學課】新九年級數學暑假課（北師大版）（解析版）

第09講概率的進一步認識【學習目標】1.通過具體情境了解概率的意義，體會概率是描述不確定現象的規律的數學模型，理解概率的取值范圍的意義，能夠運用列舉法（包括列表、畫樹形圖）計算簡單事件發生的概率；2.能夠通過實驗，獲得事件發生的頻率；利用穩定后的頻率值來估計概率的大小，理解頻率與概率的區別與聯系.【基礎知識】一．列表法與樹狀圖法（1）當試驗中存在兩個元素且出現的所有可能的結果較多時，我們常用列表的方式，列出所有可能的結果，再求出概率．（2）列表的目的在于不重不漏地列舉出所有可能的結果求出n，再從中選出符合事件A或B的結果數目m，求出概率．（3）列舉法（樹形圖法）求概率的關鍵在于列舉出所有可能的結果，列表法是一種，但當一個事件涉及三個或更多元素時，為不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用樹形圖．（4）樹形圖列舉法一般是選擇一個元素再和其他元素分別組合，依次列出，象樹的枝丫形式，最末端的枝丫個數就是總的可能的結果n．（5）當有兩個元素時，可用樹形圖列舉，也可以列表列舉．二．利用頻率估計概率（1）大量重復實驗時，事件發生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．（2）用頻率估計概率得到的是近似值，隨實驗次數的增多，值越來越精確．（3）當實驗的所有可能結果不是有限個或結果個數很多，或各種可能結果發生的可能性不相等時，一般通過統計頻率來估計概率。【考點剖析】一．列表法與樹狀圖法（共5小題）1．（2022?商河縣一模）從1、2、3中任取一個數作為十位上的數字，再從余下的數字中任取一個數作為個位上的數字，那么組成的兩位數是4的倍數的概率是【分析】畫樹狀圖展示所有6種等可能的結果數，再找出組成的兩位數是4的倍數的結果數，然后根據概率公式求解．【解答】解：畫樹狀圖為：共有6種等可能的結果數，其中組成的兩位數是4的倍數的結果數為2，所以組成的兩位數是4的倍數的概率＝＝．故答案為．【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果n，再從中選出符合事件A或B的結果數目m，然后利用概率公式計算事件A或事件B的概率．2．（2022?太平區一模）在一個口袋中有4個完全相同的小球，把它們分別標號為1，2，3，4，隨機地摸出一個小球不放回，再隨機地摸出一個小球，則兩次摸出的小球的標號的和為奇數的概率是．【分析】先畫樹狀圖展示所有12種等可能的結果數，再找出其中兩次摸出的小球的標號的和為奇數的結果數，然后根據概率公式求解．【解答】解：畫樹狀圖為：共有12種等可能的結果數，其中兩次摸出的小球的標號的和為奇數的結果數為8，所以兩次摸出的小球的標號的和為奇數的概率＝＝．故答案為．【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果n，再從中選出符合事件A或B的結果數目m，然后利用概率公式計算事件A或事件B的概率．3．（2022?惠州一模）學習習近平總書記關于生態文明建設重要講話，牢固樹立“綠水青山就是金山銀山”的科學觀，讓環保理念深入到學校，某校張老師為了了解本班學生3月植樹成活情況，對本班全體學生進行了調查，并將調查結果分為了三類：A：好，B：中，C：差．請根據圖中信息，解答下列問題：（1）求全班學生總人數；（2）在扇形統計圖中，a＝15，b＝60，C類的圓心角為54°；（3）張老師在班上隨機抽取了4名學生，其中A類1人，B類2人，C類1人，若再從這4人中隨機抽取2人，請求出全是B類學生的概率．【分析】（1）由A類人數及其所占百分比可得總人數；（2）總人數減去A、B的人數求得C類人數，由360°乘以C類所占比例得C類的圓心角度數，分別用B、C的人數除以總人數可得對應百分比；（3）列表得出所有等可能結果，再根據概率公式求解可得．【解答】解：（1）全班學生總人數為：10÷25%＝40（人）；（2）∵C類人數為：40﹣（10+24）＝6（人），∴C類所占百分比為×100%＝15%，C類的圓心角為360°×＝54°，B類百分比為×100%＝60%，∴a＝15，b＝60，54°；故答案為：a＝15，b＝60，54°；（3）列表如下：ABBCABABACABABBBCBBABBBCBCACBCBC由表可知，共有12種等可能結果，其中全是B類學生的有2種結果，∴全是B類學生的概率為＝．【點評】此題考查了列表法與樹狀圖法求概率、條形統計圖與扇形統計圖的知識．用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．4．（2022?廣陵區一模）甲、乙、丙3名醫生志愿報名參加新冠肺炎救治工作．（1）隨機抽取1名，則恰是甲的概率是；（2）隨機抽取2名，求甲在其中的概率．【分析】（1）直接利用概率公式計算；（2）畫樹狀圖展示所有6種等可能的結果數，再找出甲在其中的結果數，然后根據概率公式求解．【解答】解：（1）隨機抽取1名，則恰是甲的概率是；（2）畫樹狀圖為：共有6種等可能的結果數，其中甲在其中的結果數為4，所以甲在其中的概率＝＝．故答案為，．【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有可能的結果求出n，再從中選出符合事件A或B的結果數目m，然后根據概率公式計算事件A或事件B的概率．5．（2021秋?新興縣期末）某學校自主開發了A書法、B閱讀，C繪畫，D器樂四門選修課程供學生選擇，每門課程被選到的機會均等．（1）若學生小玲計劃選修兩門課程，請寫出她所有可能的選法；（2）若學生小強和小明各計劃選修一門課程，則他們兩人恰好選修同一門課程的概率為多少？【分析】（1）利用直接列舉得到所有6種等可能的結果數；（2）畫樹狀圖展示所有16種等可能的結果數，再找出他們兩人恰好選修同一門課程的結果數，然后根據概率公式求解．【解答】解：（1）共有6種等可能的結果數，它們是：AB、AC、AD、BC、BD、CD；（2）畫樹狀圖為：共有16種等可能的結果數，其中他們兩人恰好選修同一門課程的結果數為4，所以他們兩人恰好選修同一門課程的概率＝＝．【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果n，再從中選出符合事件A或B的結果數目m，然后利用概率公式計算事件A或事件B的概率．二．利用頻率估計概率（共5小題）6．（2022?濟南二模）在一個不透明的口袋中，放置6個紅球、2個白球和n個黃球．這些小球除顏色外其余均相同，數學小組每次摸出一個球記錄下顏色后再放回，并且統計了黃球出現的頻率，如圖，則n的值可能是（）A．12 B．10 C．8 D．16【分析】根據統計圖可知，黃球出現的頻率為0.6，再利用頻率估計概率即可得出答案．【解答】解：由統計圖可知，黃球出現的頻率為0.6，∴＝0.6，解得n＝12，故選：A．【點評】本題主要考查了利用頻率估計概率，得出黃球出現的頻率為0.6是解題的關鍵．7．（2021秋?大冶市期末）一個密閉不透明的盒子里有若干個白球，在不許將球倒出來數的情況下，為了估計白球數，小剛向其中放入了8個黑球，攪勻后從中隨意摸出一個球記下顏色，再把它放回盒中，不斷重復這一過程，共摸球400次，其中80次摸到黑球，你估計盒中大約有白球（）A．32個 B．36個 C．40個 D．42個【分析】可根據“黑球數量÷黑白球總數＝黑球所占比例”來列等量關系式，其中“黑白球總數＝黑球個數+白球個數“，“黑球所占比例＝隨機摸到的黑球次數÷總共摸球的次數”．【解答】解：設盒子里有白球x個，根據＝得：＝解得：x＝32．經檢驗得x＝32是方程的解．答：盒中大約有白球32個．故選：A．【點評】此題主要考查了利用頻率估計概率，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系列出方程，再求解，注意分式方程要驗根．8．（2022?邗江區一模）新疆地區氣候干燥，是我國三大棉花產地之一，盛產高品質長絨棉．在某品種長絨棉種子發芽率實驗中，研究所工作人員選取條件基本相同的試驗田，同時播種并核定發芽率，得到如下數據：測試棉花種子粒數10020050010002000500010000發芽粒數98192478953190247589507則該品種長絨棉種子的發芽率約是0.95（結果精確到0.01）．【分析】根據頻率的計算公式直接求解即可．【解答】解：概率是大量重復試驗的情況下，頻率的穩定值可以作為概率的估計值，即次數越多的頻率越接近概率，∵頻率＝，∴長絨棉種子的發芽率約是＝0.9507≈0.95，故答案為：0.95．【點評】本題主要考查利用頻率估計概率，熟練掌握頻率的計算公式是解答此題的關鍵．9．（2022?沈河區校級模擬）在一個不透明的盒子中裝有n個球，它們除顏色外其他均相同，其中有4個紅球，每次摸球前先將例子中的球搖勻，隨機摸出一個球記下顏色后再放回盒中，通過大量重復摸球試驗后發現，摸到紅球的頻率穩定于0.2，那么可以推算出n大約是20．【分析】在同樣條件下，大量反復試驗時，隨機事件發生的頻率逐漸穩定在概率附近，可以從比例關系入手，列出方程求解．【解答】解：由題意可得，＝0.2，解得，n＝20．故估計n大約有20個．故答案為：20．【點評】此題主要考查了利用頻率估計概率，本題利用了用大量試驗得到的頻率可以估計事件的概率．關鍵是根據紅球的頻率得到相應的等量關系．10．（2021秋?高青縣期末）在一只不透明的口袋里，裝有若干個除了顏色外均相同的小球，某數學學習小組做摸球試驗，將球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復．如表是活動進行中的一組統計數據：摸球的次數n1001502005008001000摸到白球的次數m5996b295480601摸到白球的頻率a0.640.580.590.600.601（1）上表中的a＝0.59，b＝116；（2）“摸到白球的”的概率的估計值是0.6（精確到0.1）；（3）如果袋中有12個白球，那么袋中除了白球外，還有多少個其它顏色的球？【分析】（1）利用頻率＝頻數÷樣本容量直接求解即可；（2）根據統計數據，當n很大時，摸到白球的頻率接近0.6；（3）根據利用頻率估計概率，可估計摸到白球的概率為0.6，然后利用概率公式計算其他顏色的球的個數．【解答】解：（1）a＝59÷100＝0.59，b＝200×0.58＝116．故答案為：0.59，116（2）“摸到白球的”的概率的估計值是0.6；故答案為：0.6（3）12÷0.6﹣12＝8（個）．答：除白球外，還有大約8個其它顏色的小球；【點評】本題考查了利用頻率估計概率：大量重復試驗時，事件發生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．【過關檢測】一．選擇題（共6小題）1．（2022?桐柏縣一模）一個不透明的袋子中放入四個除標號外其余均相同的小球，四個小球的標號分別是2，1，0，﹣1，隨機從這個袋子中一次取出兩個小球，取出的兩個小球上數字之積為非負數的概率是（）A． B． C． D．【分析】直接根據題意畫出樹狀圖，再利用概率公式求解即可．【解答】解：畫樹狀圖如圖．則取出的兩個小球上數字之積分別為2，0，﹣2，2，0，﹣1，0，0，0，﹣2，﹣1，0，共有12種等可能的結果，其中取出的兩個小球上數字之積為非負數的結果有8種，∴取出的兩個小球上數字之積為非負數的概率為．故選：C．【點評】本題考查列表法與樹狀圖法，正確得出所有等可能的結果是解答本題的關鍵．2．（2022?信陽模擬）第24屆冬奧會期間，小牛收集到4張卡片，正面圖案如圖所示，它們除此之外完全相同，把這4張卡片背面朝上洗勻后摸出1張，放回洗勻再摸出一張，則這兩張卡片正面圖案恰好是“單板滑雪”和“雙板滑雪”的概率是（）A． B． C． D．【分析】根據題意，可以畫出相應的樹狀圖，從而可以求得這兩張卡片正面圖案恰好是“單板滑雪”和“雙板滑雪”的概率．【解答】解：設單板滑雪用A表示，花樣滑冰用B表示，雙板滑雪用C表示，冰球用D表示，樹狀圖如下：由上可得，一共有16種可能性，其中這兩張卡片正面圖案恰好是“單板滑雪”和“雙板滑雪”的可能有2種，故這兩張卡片正面圖案恰好是“單板滑雪”和“雙板滑雪”的概率是，故選：B．【點評】本題考查列表法與樹狀圖法，解答本題的關鍵是明確題意，畫出相應的樹狀圖．3．（2022?豐臺區二模）同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣，則兩枚硬幣全部正面向上的概率是（）A． B． C． D．【分析】列出所有等可能的結果，再根據概率公式求解即可．【解答】解：畫樹狀圖如圖．∵共有4種等可能的結果，其中兩枚硬幣全部正面向上的結果有1種，∴兩枚硬幣全部正面向上的概率為．故選：D．【點評】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法是解答本題的關鍵．4．（2022?柯橋區一模）學校組織春游，安排給九年級三輛車，小明和小慧都可以從這三輛車中任選輛乘坐，小明和小慧乘坐同一輛車的概率是（）A． B． C． D．【分析】列舉出所有情況，看在同一輛車的情況數占總情況數的多少即可．【解答】解：列表如下（三輛車分別用1，2，3表示）：1231（1，1）（2，1）（3，1）2（1，2）（2，2）（3，2）3（1，3）（2，3）（3，3）所有等可能的情況有9種，其中小明和小慧同車的情況有3種，∴小明和小慧乘坐同一輛車的概率是＝，故選：B．【點評】此題考查了利用樹狀圖求概率；用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．得到在同一輛車的情況數是解決本題的關鍵．5．（2022?東陽市模擬）某班學生做“用頻率估計概率”的實驗時，得到的實驗結果成如圖所示的統計圖，則符合這一結果的實驗可能是（）A．擲一個質地均勻的正六面體骰子，向上的面點數是4 B．扔一枚面額一元的硬幣，正面朝上 C．在“石頭、剪刀、布”的游戲中，某人隨機出的是“剪刀” D．從標有1，2，3，4，5，6的六張卡片中任抽一張，抽到的卡片上標有奇數【分析】根據頻率估計概率分別對每一項進行分析，即可得出答案．【解答】解：A、擲一個質地均勻的正六面體骰子，向上的面點數是4的概率是，不符合這一結果，故此選項不符合題意；B、扔一枚面額一元的硬幣，正面朝上的概率是，不符合這一結果，故此選項不符合題意；C、在“石頭、剪刀、布”的游戲中，某人隨機出的是“剪刀”的概率是，符合這一結果，故此選項符合題意；D、從標有1，2，3，4，5，6的六張卡片中任抽一張，出現奇數的概率是＝，不符合這一結果，故此選項不符合題意；故選：C．【點評】此題考查了利用頻率估計概率，大量反復試驗下頻率穩定值即概率．用到的知識點為：頻率＝所求情況數與總情況數之比．同時此題在解答中要用到概率公式．6．（2022春?南山區校級期中）關于頻率和概率的關系，下列說法正確的是（）A．當實驗次數很大時，概率穩定在頻率附近 B．實驗得到的頻率與概率不可能相等 C．當實驗次數很大時，頻率穩定在概率附近 D．頻率等于概率【分析】大量反復試驗時，某事件發生的頻率會穩定在某個常數的附近，這個常數就叫做事件概率的估計值，而不是一種必然的結果．【解答】解：A、概率是定值，故本選項錯誤，不符合題意；B、可以相同，如“拋硬幣實驗”，可得到正面向上的頻率為0.5，與概率相同，故本選項錯誤，不符合題意；C、當實驗次數很大時，概率穩定在頻率附近，正確，故本選項符合題意；D、頻率只能估計概率，故本選項錯誤，不符合題意；故選：C．【點評】此題考查利用頻率估計概率，大量反復試驗下頻率穩定值即概率．二．填空題（共8小題）7．（2022?賈汪區二模）大數據分析技術為打贏疫情防控阻擊戰發揮了重要作用．如圖是小明同學的健康碼（綠碼）示意圖，用黑白打印機打印在邊長為3cm的正方形區域內，為了估計圖中白色部分的總面積，在正方形區域內隨機擲點，經過大量重復試驗，發現點落入白色部分的頻率穩定在0.4左右，據此可以估計白色部分的總面積約為3.6cm2．【分析】先根據經過大量重復試驗，發現點落入白色部分的頻率穩定在0.4左右，可估計點落入白色部分的概率為0.4，再乘以正方形的面積即可得出答案．【解答】解：∵經過大量重復試驗，發現點落入白色部分的頻率穩定在0.4左右，∴估計點落入白色部分的概率為0.4，∴估計白色部分的總面積約為3×3×0.4＝3.6（cm2），故答案為：3.6．【點評】本題主要考查利用頻率估計概率，大量重復實驗時，事件發生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．8．（2022?金東區二模）若a是從﹣1、0、1中隨機取的一個數，b是從0、2022中隨機取的一個數，則點（a，b）在坐標軸上的概率是．【分析】根據題意列表得出所有等可能的情況數，找出符合條件的情況數，然后根據概率公式即可得出答案．【解答】解：列表如下：﹣1010（﹣1，0）（0，0）（1，0）2022（﹣1，2022）（0，2022）（1，2022）由表知，共有6種等可能結果，其中點（a，b）在坐標軸上的有4種結果，所以點（a，b）在坐標軸上的概率為＝，故答案為：．【點評】此題考查了列表法與樹狀圖法求概率；用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．9．（2022?商城縣二模）將分別標有“一”“起”“向”“未”“來”漢字的5個小球裝在一個不透明的口袋中，這些球除漢字外無其它差別，每次摸球前先攪拌均勻，隨機摸出一球，不放回；再隨機摸出一球，兩次摸出的球上的漢字能組成“未來”的概率是．【分析】將“一”“起”“向”“未”“來”漢字分別記作A、B、C、D、E，列表得出所有等可能結果，從中找到符合條件的結果數，再根據概率公式求解即可．【解答】解：將“一”“起”“向”“未”“來”漢字分別記作A、B、C、D、E，列表如下：ABCDEA（B，A）（C，A）（D，A）（E，A）B（A，B）（C，B）（D，B）（E，B）C（A，C）（B，C）（D，C）（E，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（E，D）E（A，E）（B，E）（C，E）（D，E）由表知，共有20種等可能結果，其中兩次摸出的球上的漢字能組成“未來”的有2種結果，所以兩次摸出的球上的漢字能組成“未來”的概率為＝，故答案為：．【點評】此題考查了列表法與樹狀圖法求概率；用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．10．（2022?興城市一模）從一副普通的撲克牌中取出四張，它們的牌面數字分別是3，4，6，6，將這四張撲克牌背面朝上，洗勻，從中隨機抽取一張，則抽取的這張牌的牌面是3的概率是．【分析】根據題意得出所有等可能的情況數，找出符合條件的情況數，然后根據概率公式即可得出答案．【解答】解：從中隨機抽取一張共有4種結果，其中抽取的這張牌的牌面是3的只有1種結果，所以從中隨機抽取一張，則抽取的這張牌的牌面是3的概率為，故答案為：．【點評】此題考查了列表法與樹狀圖法求概率；用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．11．（2022?東城區二模）不透明布袋中有紅、黃小球各一個，除顏色外無其他差別．隨機摸出一個小球后，放回并搖勻．再隨機摸出一個，則兩次摸到的球中，一個紅球、一個黃球的概率為．【分析】根據題意畫樹狀圖得出所有等可能的情況數，找出符合條件的情況數，然后根據概率公式即可得出答案．【解答】解：畫樹狀圖如圖：共有4個等可能的結果，兩次摸到的球中，一個紅球、一個黃球的有2種結果，所以兩次摸到的球中，一個紅球、一個黃球的概率為＝，故答案為：．【點評】此題考查了列表法與樹狀圖法求概率；用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．12．（2022?錦州一模）在一個不透明的盒子中，裝有若干張完全相同的卡片，從盒子中取出20張卡片并做標記后放回盒中．現將卡片充分搖勻后，隨機摸出一張卡片，記下該卡片是否有標記后再放回盒子中．不斷重復這一過程，統計發現，摸到有標記卡片的頻率穩定在0.02附近，由此估計盒子中卡片的數量為1000張．【分析】根據概率的求法，找準兩點：①全部情況的總數；②符合條件的情況數目；二者的比值就是其發生的概率．【解答】解：根據題意得：20÷0.02＝10009張，答：估計盒子中卡片的數量為1000張，故答案為：1000．【點評】此題考查了利用概率的求法估計總體個數，利用如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現m種結果，那么事件A的概率P（A）＝是解題關鍵．13．（2022?密云區二模）某學習小組進行摸球試驗，在一個暗箱里放了10個只有顏色不同的小球，將小球攪勻后任意摸出一個記下顏色，并放回暗箱再次將球攪勻后任意摸出一個，不斷重復．下表是實驗過程中記錄的摸到白球的相關數據：摸球的次數m20030040050080010002000摸到白球的次數n1151862462964766041198摸到白球的頻率0.5750.6200.6150.5920.5950.6040.599請估計從暗箱中任意摸出一個球是白球的概率為0.60（精確到0.01），并以此推斷暗箱中白球的個數為6．【分析】根據表格中的數據，隨著實驗次數的增大，頻率逐漸穩定在0.6左右，即為摸出白球的概率，然后乘以箱子里總球的個數即可．【解答】解：觀察表格得：通過多次摸球試驗后發現其中摸到白球的頻率穩定在0.60左右，則P白球＝0.60．暗箱中白球的個數為10×0.6＝6（個）；故答案為：0.60，6．【點評】此題考查了利用頻率估計概率，在同樣條件下，大量反復試驗時，隨機事件發生的頻率逐漸穩定在概率附近．14．（2022?富陽區二模）在一個不透明的布袋中，有除顏色外完全相同的4個黑球，若干個白球，每次搖勻后隨機摸出一個球，記下顏色后再放回袋中，通過大量重復摸球試驗后，發現摸到白球的頻率穩定于0.6，由此可估計袋中白球的個數約為6個．【分析】設袋中白球的個數約為x個，根據概率公式列出方程，然后求出x的值即可．【解答】解：設袋中白球的個數約為x個，根據題意得：＝0.6，解得：x＝6，經檢驗x＝6是原方程的解，答：估計袋中白球的個數約為6個；故答案為：6．【點評】此題主要考查了利用頻率估計概率，本題利用了用大量試驗得到的頻率可以估計事件的概率．關鍵是根據白球的頻率得到相應的等量關系三．解答題（共5小題）15．（2022?江北區模擬）為弘揚中華傳統文化，草根一中準備開展“傳統手工技藝”學習實踐活動．校學生會在全校范圍內隨機地對本校一些學生進行了“我最想學習的傳統手工技藝”問卷調查（問卷共設有五個選項：“A一剪紙”、“B一木版畫雕刻”、“C一陶藝創作”、“D一皮影制作”、“E一其他手工技藝”，參加問卷調查的這些學生，每人都只選了其中的一個選項），將所有的調查結果繪制成如下兩幅不完整的統計圖：請你根據以上信息，回答下列問題：（1）補全上面的條形統計圖；（2）求扇形E的圓心角度數；（3）該校共有3600名學生，請你估計該校學生“最想學習的傳統手工技藝”為“A一剪紙”的人數．【分析】（1）用選C的人數除以它所占的百分比得到調查的總人數，再用總人數乘以選D的人數所占的百分比得到選D的人數，然后補全條形統計圖；（2）用360°乘以樣本中選E的人數所占的百分比得到扇形E的圓心角度數；（3）用3600乘以樣本中選A的人數所占的百分比即可．【解答】解：（1）調查的總人數為：90÷30%＝300（人），所以選D的人數為300×25%＝75（人），補全條形統計圖為：（2）扇形E的圓心角度數為360°×＝18°；（3）3600×＝792（人），估計該校學生“最想學習的傳統手工技藝”為“A一剪紙”的人數為792人．【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖展示所有可能的結果求出n，再從中選出符合事件A或B的結果數目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．也考查了統計圖．16．（2022?南關區一模）一個不透明的口袋中裝有2個黃球、1個白球，每個小球除顏色不同外其余均相同．從口袋中隨機摸出1個小球，記下顏色后放回并攪勻，再從口袋中隨機摸出一個小球，用畫樹狀圖（或列表）的方法，求兩次摸出的球至少有一個白球的概率．【分析】根據題意列表得出所有等可能的情況數，找出符合條件的情況數，然后根據概率公式即可得出答案．【解答】解：列表如下：黃黃白黃（黃，黃）（黃，黃）（白，黃）黃（黃，黃）（黃，黃）（白，黃）白（黃，白）（黃，白）（白，白）由表知，共有9種等可能結果，其中兩次摸出的球至少有一個白球的有5種結果，所以兩次摸出的球至少有一個白球的概率為．【點評】此題考查了列表法與樹狀圖法求概率；用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．17．（2022?工業園區模擬）甲、乙、丙3名同學進行羽毛球單打比賽，現需選取2名同學打第一場比賽．（1）若已確定甲打第一場，需再從另2名同學中隨機選取1名，則選中乙的概率為；（2）求隨機選取2名同學，其中有乙同學的概率．【分析】（1）由一共有2種等可能性的結果，其中恰好選中乙同學的有1種，即可求得答案；（2）先求出全部情況的總數，再求出符合條件的情況數目，二者的比值就是其發生的概率．【解答】解：（1）若已確定甲打第一場，需再從另2名同學中隨機選取1名，則選中乙的概率為；故答案為：；（2）從甲、乙、丙，3名同學中隨機選取2名同學，所有可能出現的結果有：（甲、乙）、（甲、丙）、（乙、丙），共有3種，它們出現的可能性相同，所有的結果中，滿足“隨機選取2名同學，其中有乙同學”（記為事件A）的結果有2種，則P（A）＝．【點評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．18．（2022?鞍山一模）小源同學決定利用假期在鞍山本地游玩，鞍山著名景點分別有：A．千山風景區；B．玉佛苑景區；C．湯崗子溫泉；D．海城白云山景區．由于受到時間限制，只能選擇兩個不同），小源同學隨機抽兩次，每次抽一個簽（抽到的簽不放回），每個簽抽到的機會相等．（1）小源第一次恰好抽到“玉佛苑景區