第08講 應用一元二次方程-【暑假自學課】新九年級數學暑假課（北師大版）（原卷版）

第08講應用一元二次方程【學習目標】1.通過分析具體問題中的數量關系，建立方程模型并解決實際問題，總結運用方程解決實際問題的一般步驟；2.通過列方程解應用題，進一步提高邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力.【基礎知識】一．由實際問題抽象出一元二次方程在解決實際問題時，要全面、系統地審清問題的已知和未知，以及它們之間的數量關系，找出并全面表示問題的相等關系，設出未知數，用方程表示出已知量與未知量之間的等量關系，即列出一元二次方程．二．一元二次方程的應用1、列方程解決實際問題的一般步驟是：審清題意設未知數，列出方程，解所列方程求所列方程的解，檢驗和作答．2、列一元二次方程解應用題中常見問題：（1）數字問題：個位數為a，十位數是b，則這個兩位數表示為10b+a．（2）增長率問題：增長率＝增長數量/原數量×100%．如：若原數是a，每次增長的百分率為x，則第一次增長后為a（1+x）；第二次增長后為a（1+x）2，即原數×（1+增長百分率）2＝后來數．（3）形積問題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關系列一元二次方程．③利用相似三角形的對應比例關系，列比例式，通過兩內項之積等于兩外項之積，得到一元二次方程．（4）運動點問題：物體運動將會沿著一條路線或形成一條痕跡，運行的路線與其他條件會構成直角三角形，可運用直角三角形的性質列方程求解．【規律方法】列一元二次方程解應用題的“六字訣”1．審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數量關系．2．設：根據題意，可以直接設未知數，也可以間接設未知數．3．列：根據題中的等量關系，用含所設未知數的代數式表示其他未知量，從而列出方程．4．解：準確求出方程的解．5．驗：檢驗所求出的根是否符合所列方程和實際問題．6．答：寫出答案．【考點剖析】一．由實際問題抽象出一元二次方程（共5小題）1．（2020春?嘉興期末）某一皮衣專賣店銷售某款皮衣，其進價為每件750元，經市場調查發現，按每件1100元出售，平均每天可售出30件，每件降價50元，平均每天的銷售量可增加10件，皮衣專賣店若想要平均每天獲利12000元，則每件皮衣定價為多少元？（1）以下是小明和小紅的兩種不同設法，請幫忙填完整：小明：設每件皮衣降價x元，由題意，可列方程：．小紅：設每件皮衣定價為y元，由題意，可列方程：．（2）請寫出一種完整的解答過程．2．如圖，在一塊長為22m，寬為17m的長方形地面上，要修建同樣寬的兩條互相垂直的道路．兩條道路各與長方形的一條邊平行，剩余部分種上草坪．已知草坪的面積為300m2，設道路寬為x（m），寫出關于x的方程．該方程是一元二次方程嗎？如果是，把它化成一元二次方程的一般形式．3．（2021秋?趙縣月考）根據下列問題，列出關于x的方程，并將其化為一般形式．（1）某印刷廠3月份印刷了50萬冊書籍，5月份印刷了72萬冊書籍，如果每月印刷的增長率都相同，求每月印刷的增長率x；（2）一個微信群里共有x個好友，每個好友都分別給其他好友發了一條消息，這樣一共產生132條消息．4．如圖所示，要建一個面積為130平方米的倉庫，倉庫的一邊靠墻（墻長16米），并在與墻平行的一邊開一道1米寬的門．現有能圍成32米長的木板，求倉庫的長和寬．對于這個問題，你能列出方程嗎？試求其解，并與同伴交流一下自己的心得．5．如圖，一塊四周鑲有寬度相等的花邊的地毯，它的長為8m，寬為5m，如果地毯中央長方形圖案的面積為整塊地毯面積的45%，那么花邊有多寬？（只需列方程）二．一元二次方程的應用（共5小題）6．（2022?寶安區校級開學）某商店準備銷售一種多功能旅行背包，計劃從廠家以每個30元的價格進貨，經過市場發現當每個背包的售價為40元時，月均銷量為280個，售價每增長2元，月均銷量就相應減少20個．（1）設每個背包的售價為x元，則月均銷量為個．（2）在（1）的條件下，當該種書包銷售單價為多少元時，銷售利潤是3120元？7．（2022春?西湖區校級月考）某花圃需要綠化的面積為52000米2，施工隊在綠化了28000米2后，將每天的工作量增加為原來的1.5倍，結果提前4天完成了該項綠化工程．（1）該項綠化工程原計劃每天完成多少米2？（2）該項綠化工程中，如圖有長為2米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為14米），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃，為了方便出入，在建造籬笆花圃時，在BC上用其他材料造了寬為1米的兩個小門，此時花圃的面積剛好為45米2，求此時花圃的長和寬．8．（2022春?番禺區校級期中）隨著人們節能意識的增強，節能產品的銷售量逐年增加．某地區高效節能燈的年銷售量2019年為10萬只，預計2021年將達到12.1萬只．求該地區2019年到2021年高效節能9．（2021秋?淮安區期末）用一段長為30m的籬笆圍成一個靠墻的矩形菜園，墻的長度為18m．（1）設垂直于墻的一邊長為xm，則平行于墻的一邊長為m（用含x的代數式表示）；（2）若菜園的面積為100m2，求x的值．10．（2021秋?海陵區校級期末）流行病學中有一個叫做基本傳染數R0的數字，簡單來說，就是一個人在一個周期內會感染幾個人，有一個人感染了新冠病毒，經過兩個周期的傳染后共有36人感染，求新冠病毒的基本傳染數R0．【過關檢測】一．選擇題（共6小題）1．（2022?蘭山區一模）臨沂一體彩銷售中心今年開業，一月份總銷售額12000元，三月份銷售額為14520元，且從一月份到三月份，每月銷售額的平均增長率相同，則每月銷售額的平均增長率為（）A．8% B．9% C．10% D．11%2．（2022?肥東縣二模）合肥市政府為堅持“房子是用來住的，不是用來炒的”的定位，于2021年4月正式頒布實施“房地產新政八條”，當年6月、7月連續兩個月全市二手房均價都有所下降，7月份下降的百分率是6月份的一半，設6月份下降的百分率為x，如果5月底全市二手房均價為每平方米m元，7月底均價為每平米n元，那么下列關系式成立的是（）A．n＝m?x?x B．n＝m?（1+x）?（1+x） C．n＝m?（1+x）2 D．n＝m?（1﹣x）?（1﹣x）3．（2022?貴港模擬）某運動品牌的一雙運動鞋，春節過后進行兩次特價處理，使每雙的價格由280元降至220元，求兩次平均降價的百分率，設平均每次降價的百分率為x，可列方程為（）A．280（1﹣x）+280（1﹣x）2＝220 B．280（1﹣x）2＝220 C．220（1+x）2＝280 D．280（1﹣x）×2＝2204．（2022?溫州模擬）某口罩廠平均每天可生產20萬只口罩，廠家引進新技術，經過連續兩次增速后，平均每天可生產30萬只．若兩次的增長率都為x，則可得方程（）A．（20+x）2＝30 B．20（1+x）2＝30 C．20（1+2x）＝30 D．20（1+x）+20（1+x）2＝305．（2022?福州模擬）我國南宋數學家楊輝在《田畝比類乘除捷法》中記錄了這樣的一個問題：“直田積八百六十四步，只云長闊共六十步，問長多闊幾何？”其大意是：矩形面積是864平方步，其中長與寬和為60步，問長比寬多多少步？若設長比寬多x步，則下列符合題意的方程是（）A．（60﹣x）x＝864 B． C．（60+x）x＝864 D．（30+x）（30﹣x）＝8646．（2022?泰安一模）華為某型號手機經過2次降價后的價格是2次降價前價格的，則每次降價的百分比是（）A．10% B．15% C．20% D．25%二．填空題（共5小題）7．（2022春?西湖區校級期中）如圖，在寬為25m，長為40m的長方形耕地上修建同樣寬的三條道路（橫向與縱向垂直），把耕地分成若干塊，作為小麥試驗田，假設試驗田面積為912m2，求道路的寬為多少？設道路的寬為xm，可列出的方程是．（化為一般形式）8．（2022春?柯橋區月考）電影《長津湖》于2021年9月30日在中國大陸上映，某地第一天票房約2億元，以后每天票房按相同的增長率增長，三天后票房收入累計達7億元，若把增長率記作x，則方程可以列為．9．（2022?蕪湖一模）為推進“書香蕪湖”建設，讓市民在家門口即可享受閱讀和休閑服務，某社區開辦了社區書屋.2021年9月份書屋共接待了周邊居民200人次，11月份共接待了648人次，假定9月至11月每月接待人次增長率相同設為x，則可列方程．10．（2021秋?峽江縣期末）某校九（1）班的學生互贈新年賀卡，共用去1560張賀卡，則九（1）班有名學生．11．（2021秋?朝陽縣期末）為增強學生身體素質，某校開展籃球比賽，賽制為單循環形式（每兩隊之間賽一場）．現計劃安排36場比賽，應安排多少個球隊參賽？設安排x個球隊參賽，根據題意，可列方程為．三．解答題（共5小題）12．（2022?西安二模）直播購物逐漸走進人們的生活．某電商在抖音上對一款標價為400元/件的商品進行直播銷售，為了盡快減少庫存，直播期間，經過兩次降價后的價格為324元/件，并且兩次降價的百分率相同．求該種商品每次降價的百分率．13．（2022?內黃縣模擬）某縣生態果園2019年冬桃產量為80噸，2021年冬桃產量為115.2噸，若該生態果園冬桃產量的年平均增長率相同．（1）求該生態果園冬桃產量的年平均增長率．（2）若下一年冬桃產量的年增長率不變，請預估2022年該生態果園冬桃產量．14．（2021秋?驛城區期末）新型冠狀病毒肺炎是一種急性感染性肺炎．2020年2月7日，國家衛健委決定將“新型冠狀病毒感染的肺炎”命名為“新型冠狀病毒肺炎”，簡稱“新冠肺炎”．2021年10月30日，張文宏教授表示，未來全國和全世界都接種疫苗后，人們還是應該盡量減少聚集，在室內擁擠的地方戴口罩，加強通風．2020年1月，武漢某小區有一人患了新冠肺炎，經過兩輪傳染后共有169人患了新冠肺炎，求每輪傳染中平均一個人傳染了多少人？15．（2021秋?喀什地區期末）某校學生會組織周末愛心義賣活動，義賣所得利潤將全部捐獻給希望工程，活動選在一塊長40米、寬28米的矩形空地上．如圖，空地被劃分出6個矩形區域，分別擺放不同類別的商品