2026暑假新高三數學暑假精講精練專題10導數與函數的極值、最值（教師版）

高二數學暑假作業(yè)精講精練（新人教A版2019）

專題10導數與函數的極值、最值

基礎知識復習

1．函數的極值

(1)函數的極小值：

函數y＝f(x)在點x＝a的函數值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數值都小，f′(a)＝0；而且在點x＝a附

近的左側f′(x)＜0，右側f′(x)＞0，則點a叫做函數y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數y＝f(x)的極小值．

(2)函數的極大值：

函數y＝f(x)在點x＝b的函數值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數值都大，f′(b)＝0；而且在點x＝b附

近的左側f′(x)＞0，右側f′(x)＜0，則點b叫做函數y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數y＝f(x)的極大值．

極小值點、極大值點統(tǒng)稱為極值點，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.

2．函數的最值

(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．

(2)若函數f(x)在[a，b]上單調遞增，則f(a)為函數的最小值，f(b)為函數的最大值；若函數f(x)在[a，b]上單

調遞減，則f(a)為函數的最大值，f(b)為函數的最小值．

3常用結論

1.對于可導函數f(x)，“f′(x0)＝0”是“函數f(x)在x＝x0處有極值”的必要不充分條件.

2.求最值時，應注意極值點和所給區(qū)間的關系，關系不確定時，需要分類討論，不可想當然認為極值就是最

值.

3.函數最值是“整體”概念，而函數極值是“局部”概念，極大值與極小值之間沒有必然的大小關系.

典型習題強化

1．已知函數，下列說法錯誤的是（）

?

?(?)=ln?

A．在x=e處的切線方程為y=eB．函數的單調遞減區(qū)間為

C．?(?)的極小值為eD．方程?(?)有2個不同的(解0,e)

【答?案(?】)B?(?)=3

【解析】

函數定義域為，求導得：，

?ln??1

2

?(?)=ln??'(?)=(ln?)

對于A，，而(0,1)∪(，1,則+函∞數)在x=e處的切線方程是，A正確；

對于B，當?'(e)=0或?(e)=e時，?(?)，則的單調遞減?區(qū)=間e為，，B不正確；

0<?<11<?<e?'(?)<0?(?)(0,1)(1,e)

對于C，當時，，由選項B的信息知，當時，取得極小值e，C正確；

對于D，令?>e?'(?)>，當0時，，?恒=有e?(?)，

由選項B，C?(知?)，=函?(數?)?3在0<上單?<調1遞減，?在(?)<0上單?調(?遞)增<，0，

min

而?，(即?)存在(1,e]，使[e,+∞，又)?(?)，存=在e?3<0，使

2

2e2

1122

，?(e)=2e?3>0?∈(e,e)?(?)=0?(e)=2?3>0?∈(e,e)?(?)=

0因此函數有2個零點，則方程有2個不同的解，D正確.

故選：B?(?)?(?)=3

2．若函數（）=有大于零的極值點，則的取值范圍為（）

???

A．??e+e???B．?

C．0,+∞D．?∞,，0

【答案e,】+∞A?∞e

【解析】

原命題等價于有大于零的零點，顯然在上單調遞增，又因為時，

???

，?所'以?=e?e??，所以?'??∈0,+∞?→+∞

?故'選?：→A+.∞?'0=??<0?>0

3．已知函數，若是的極小值點，則實數的取值范圍是（）

2?

A．??=??B?．4?+1?+4?+3Ce．?=2??D．?

21

32

【答案?∞】,B,+∞?∞,0?1,+∞

【解析】

由得，令

2???

??=???4?，+1?+4?+3e?'(?)=???1??2e?'(?)=???1??2e>0?

若???1，?則?2>0，此時在單調遞增，在單調遞減，這與

111

???

?<是0的??極?小1值?點?矛2盾>，0故?舍去<.?<2<?<2?>2,?<

?若=2，?可?知是的極大值點，故不符合題意.

若?=0，?=2??，此時在單調遞增，在單調遞減，

1111

2???

可知>?>0是???的1極大?值?點2，>故0不?符?合<題2,意?>.?(?)?<2,?>2<?<

當?=，2，??，此時在單調遞增，在單調遞減，

1111

2???

可知?>是???的1極?小?值2點>，0符?合?題>意2.,?<?(?)?>2,?<2>?>

?=2??

若，在定義域內單調遞增，無極值，不符合題意，舍去.

1

?=2?(?)

綜上可知：

1

2

故選：B?>

4．定義在R上的函數的導函數為，且的圖像如圖所示，則下列結論正確的是（）

'

?(?)?(?)??'(?)

A．函數在區(qū)間上單調遞減B．函數在區(qū)間上單調遞減

C．函數?(?)在(處?取1,0得)極大值D．函數?(?)在(?處1,5取)得極小值

【答案】?D(?)?=5?(?)?=?1

【解析】

由圖像知：當時，，當時，，當

時，?∈?∞,?1，??'(?)>0,?'(?)<0?∈?1,0??'(?)<0,?'(?)>0?∈0,5∪

則5,函10數?在?'區(qū)(?間)<0,?'(?上)<單0調遞增，A錯誤，B錯誤；

函數?(在?)區(qū)間(?1,0)上單調遞減，C錯誤；函數在單減，在上單增，在

處取得?(?極)小值，(D0,正5)確,(5.,10)?(?)?∞,?1(?1,0)?=?1

故選：D.

5．已知，，若，則當取得最小值時，所在區(qū)間是（）

?

A．??=ln??B?．=e??=??C．???D．??

11111

3ee22

【答案,】D,ln2,1,ln2

【解析】

令，即，

?

∴?(?)=，?(?)=?，e=ln?=?>0

?

∴?=ln??=e，

?

???=e?ln?(?>0)

令，則，

??1

??=e?ln??'?=e??

令，則，

11

??2

??=e???'?=e+?

∴在上單調遞增，且，

1

∴存?在?唯一0,+∞使得，?1=e?1>0?2=e?2<0

0

當?=時?，?'，?=0，當時，，，

?1?1

00

∴0<?<?，e<??'?<0?>?e>??'?>0

即???取??得=最?小(?0值)時，，

0

由零??點?的存在定理驗證?(?)=?=?的根的范圍，

?01

e??0=0

當時，，當時，，

1?01?01

?0=2e??0<0?0=ln2e??0>0

故，

1

0

故選?：∈(．2,ln2)

6．如圖D，在邊長為3的正方形ABCD中，E，F，G分別是邊AB，AD，CD上的動點（不含端點），若

△???

，則的最大值為（）．?=

??

?△???=3??

A．B．C．D．

32176416

81278127

【答案】C

【解析】

設，，則．

6

??=???=???=?

因為，即，解得，又，

6

所以0<??<．30<?<3?>2?<3

由圖知2：<?<3，，，

6

??=3????=3????=3??

由，得，

161

?△???=?△???=32×3??+3??×3+2×3??×?=3

則，所以．

1218???121862??3

2233

?=?????=?=???=?

令，，則，

62??369?4?

34

??=?2<?<3?'?=?

當時，單調遞增，當時，單調遞減，

99

?∈2,4???∈4,3??

則，即的最大值為．

964??64

max481??81

故選??：C=?=

7．若函數最小值為，最小值為，則+=（）

??2

?e

A．-2??=?e?Bl．n?0???2?C．?2?=?+ln???D．-4???

【答案】A

【解析】

由題意知：、定義域均為；

????0,+∞，

?1??+1?1

?'?=?+1e???1=?+1e??=?+1e??

在上單調遞增，在上單調遞減，

?1

∵?=e0,+∞?=?0,+∞

在上單調遞增，

?1

∴?=e??0,+∞

又當時，，當時，，

1

?=2?=e?2<0?=1?=e?1>0

，使得，此時，，

1?11?11

11111

∴當??∈2,1時，e??；=當0e=?時，ln?=??；

∴?∈在0,?1上單?調'?遞<減0，在?∈?1,+上∞單調遞增?'，?>0

∴??0,?1?1,+∞；

?1

min111111

∴?=??=??=?e?ln??；??2=1+????2=?1

??2??2

??1e1??1e??

22

令?'?=?+，??則1=?，令，解得：，令，解得：

??2??2

??在=e上?單?調遞?減'，?在=e?1上單調?'遞?增>，0?>2?'?<00<?<2

又∴??0,2，2,+∞，，，

?212

?0=e，>0?1=，e?使1得<0?3，=e?3<0，?4=e?4>0

∴即??2∈0,1，??3∈3,4，??2=0，??3=0；

?2?2?3?2

e=?2e=?3∴?2?2=ln?2?3?2=ln?3

當時，單調遞減；當時，單調遞增；當時，單調遞減；當

∴時?，∈0,?2單調遞?增?；?∈?2,1???∈1,?3???∈?3,+

∞的?極?小值，，

?2?2?3?2

ee

222333

∴????；=?2+ln???=?1??=?3+ln???=?1

∴?=??min.=?1

∴故?選+：?A=.?2

8．已知函數在上有最小值，則實數的取值范圍為（）

?2

A．??=e+B．??+2???∈0,+C∞．D．?

1e11

2222

【答案,】+D∞?,??1,0?∞,?

【解析】

解：，

?2

∵?(?)=e+??+，2??

?

∴若?函'(數?)=e在+2??+2?上有最小值，

即在?(?)?∈先(0遞,+減∞再)遞增，

即?(?)在(0,+∞)先小于0，再大于0，

'

令?(?)(0，,+得∞)，

?

令?'(?)<0，e<?2?(?+1)，

?

只需?(?)=的e斜率?(?)=大?于2?過(?+1)的的切線的斜率即可，

設切點?(?是)，?2，?(?1,0)?(?)

?0

則切線方程(?0是：e)，

?0?0

將代入切?線?方e程=得e：(???，)

故切(?點1是,0)，切線的斜率是?01=，0

只需(0,1)即可，解得，即，

11

22

故選：?2D?．>1?<??∈?∞,?

9．已知是函數（且）的3個零點，則

???3

的取值范?1圍,?2是,?（3?1<）?2<?3?(?)=??+1+???1?∈??≠0?+?1

A．B．

C．[1,+∞)D．(1,+∞)

【答(案2,】+B∞)[2,+∞)

【解析】

因為，設，

則?0=0??0=0

??0??0??0?0?0

???0=??0?.+1+???1=???01+?+?1??

??0

=因?為???0=0，所以，，

所以?1<?2<?3.?2=0?3=??1>0

?3?3

設?+?1=???3，，

??

所以??=在????>為0增函?數'?，即=??1>0.

所以??0的,+取∞值范圍是?，?>?0=1

?3

故選：?B+?11,+∞

10．已知函數若，且，則的最大值是（）

?

e?1,??0,

??=?<???=?????

A．?B+．11,?<0,C．2D．

【答ln案2】Bln3

【解析】

作出圖象，如圖，

?

e?1,??0,

??=

?+1,?<0,

設，則，由，得，

?

所以??=?+1=??=??.1??=e?1=??=ln?+1

設???=ln?+1???1，則，

?

?+1

所以??=在ln?+上1單?調?遞?減1，,?則∈0,1?'?=?.<0

故選：?B?0,1?(?)max=?0=1

11．對于函數，下列說法正確的是（）

ln?

2

??=?

A．在處取得極大值

1

2?

B．??有兩?=個不?同的零點

C．??

D．?若2<?π在<?3上恒成立，則

1?

2

??>2

【答案?】?AC<D??0,+∞

【解析】

【解】A選項，，定義域為，，令，解得，

ln?1?2ln?

23

當時?，?=?，函數0,+在∞∴上?'單?調=遞增?，?'?=0?=?

當0<?<時，??'?，>0函數∴在??0,?上單調遞減，

函?數>在??'時?取<得0極大∴值也是??最大值?,+∞，故A對，

1

∴?=???=2?

B選項，時，，，當時，如下圖所示：

1

∵0<?<1??<0?1=0?(?)max=??=2?>0?>1??>0

函數有且只有唯一一個零點，故B錯，

C∴選項?，?當時為單調遞減函數，，

∵?>???，∴?π<?3，故C對，

ln2ln2

∵?2=2=4=?(2)<?(π)∴?2<?π<?3

D選項，，故，由于函數在上恒成立，

11ln?+1

222

∵??<????>??+?=?0,+∞

，設，定義域為，則，

ln?+1ln?+1?2ln??1

223

∴?>?max??=?0,+∞?'?=?

設，解得，單調遞增，單調遞減，

11

?'?=0?=?∴?∈(0,?),?'?>0,?(?)?∈(?,+∞),?'?<0,?(?)

，故，故D對.

1???

∴??max=??=??2=2?>2

故選：ACD.

12．對于函數，下列選項正確的是（）

ln?

??=?

A．函數極小值為，極大值為

11

???ee

B．函數單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)為

C．函數??最小值為為，最?∞大,值?e∪e,+∞?e,0∪0,e

D．函數??存在兩個零?點e1和e

【答案】?A?D?1

【解析】

的定義域為，

ln?

??=?(?∞,0)?(0,+∞)

所以，

ln??ln?

?(??)=??=??=??(?)

所以為奇函數，

ln?

??=?

當時，，，

ln?1?ln?

2

令?>0，?解?得=?，?'(?)=?

當?'(?)=0時，?=e，則為單調遞增函數，

當?∈(0,e)時?，'(?)>0，?則(?)為單調遞減函數，

因為?∈(e,為+奇∞)函數，?'圖(?象)<關0于原點?(對?)稱，

所以?(?)在上單調遞減，在是單調遞增，

所以?(?)的(極?小∞值,?為e)(?，e極,0大)值為，故A正確；

ln?e1lne1

?eeee

的?(單?)調遞減區(qū)間為?(?e)==?，單調遞增?區(qū)(e)為==，故B錯誤；

?(?)在?∞無,最?值e，,e故,+C∞錯誤；?e,0,0,e

?令?(?∞，,0解)?得(0,+∞)，結合的單調性可得，存在兩個零點1和，故D正確.

故選??：A=D0?=±1?(?)???1

13．已知函數?，下列選項正確的是（）

?

e?e,?≤1

??=

A．點是函數的?,零?>點1

B．0,0??，使

C．函??數1∈0,1的,值??域2為∈1,3??1>??2

?1

D．若關?于?x的方程?e,+∞有兩個不相等的實數根，則實數a的取值范圍是

21

2e

【答案】CD???2???=00,+∞∪?

【解析】

解：對于A，因為，所以是函數的零點，故A錯誤；

對于C，當時?，0=0，?則=0??，

??

當時?，≤1?，?當=?e?'?時，=?+1e，

所以?<函?數1在?'?<0上遞?1減<，?在<1上?'遞?增>，0

所以???∞,?1，?1,1

?1

又當??min=時?，?1=?e，，

故當?→?∞時，??→0??，e=e

?1

當?≤時1，??∈，?則e,e，

??

ee??1

2

所以?>函1數?在?=?上?遞?增，=?>0

故??1,，+∞

故當??>?時1，=e，

綜上所?>述1，函數??∈的值e,域+為∞，故C正確；

?1

???e,+∞

對于B，由C可知，函數在上遞增，在上遞增，

則，??0,11,3

所以??不1存<在e,??2>e，使，故B錯誤；

對于D，關于?1x∈的0方,1程,??2∈1,3??1>有?兩?個2不相等的實數根，

2

即關于x的方程???2??有?兩=個0不相等的實數根，

所以或?????2?，=0

由C?知?，方=程0???2只?有=一0個實數根，

所以方程??=0也只有一個實數根，

即函數???與2?函=數0的圖象只有一個交點，

如圖，畫?=出?函?數?=的2簡?圖，

則或?=?，?

1

2?=?e2?>0

所以或，

1

?=?2e?>0

所以實數a的取值范圍是，故D正確.

1

2e

故選：CD.0,+∞∪?

14．若函數在內有且只有一個零點，則在上的最大值與最小

32

值的和為__?__?___=．2?????1?∈R?∞,0???1,1

【答案】

【解析】3

當時，由可得，令，其中，

11

22

?<0??=0?=2?????=2????<0

則，由，可得，列表如下：

3

22?+1

33

?'?=2+?=??'?=0?=?1

??∞,?1?1?1,0

?'?+0?

增極大值減

???3

如下圖所示：

因為在內有且只有一個零點，則，

32

所以，??=2?????1?，∈則R?∞,0，?=?3

322

當??=2時?，+3??1，此?時'函?數=6?單+調6?遞=減6，??+1

當?1<?<0時，?'?<0，此時函數??單調遞增，

則當0<?<1時，?'?>0?，?

又因為?∈?1,1，??min=，?所0以=，?1，

因此，??1在=0?上1的最=大4值與最小?值?的m和ax為=4.

故答案為??：.?1,1?1+4=3

15．若函數3在區(qū)間上有最大值，則實數的取值范圍是__________.

32

【答案】?(?)=??3?(??12,?)?

【解析】?1,2

，

32

∵令?(?)=??解3得?∴?'(?)=；3?令?3，解得或

由此?'(可?)得<0在?1<?<上1時增?函'(?數)，>在0?上>是1減函?數<，?在1上是增函數，

故函數在?(?)(處?有∞極,?大1)值，在處有(極?小1,值1)，(1,+∞)

?=?1?=1

2，解得

??12<?1

∴?>?1?1<?≤2

故答?(案?)為≤：?(?1)

16．已知函數?1,2的定義域是，關于函數給出下列命題：

?

①對于任意??=e?，?函ln數?存在最小0,值+；∞??

②對于任意?∈0,+∞，函數??是上的減函數；

③存在?∈?∞，,使0得對于任??意的0,+∞，都有成立；

④存在?∈?∞,0，使得函數有?兩∈個0零,+點∞.??>0

其中正確?∈命題0,的+序∞號是______.??

【答案】①④

【解析】

解：定義域為，．

???

∵??=e??ln?(0,+∞)∴?'?=e??

當時單調遞增，值域為R，所以存在，使，

??

0

當?∈(0,+∞時)?'?=e，??時，所以在?上∈單0,調+遞∞減，在?'?=0上單調遞增，則

0<為?函<數?的0最?小'?值，<故0①?正>確?0；?'?>0?(?)(0,?0)(?0,+∞)

?若(?最0)小值，即，又，即，即時函數

?0?0?0?0

有兩個零點?(?，0)<0e??ln?0<0?=?0ee??0eln?0<01??0ln?0<0??

令，則，當時，當時，

11

??=?ln??'?=1+ln?0<?<e?'?<0?>e?'?>0

所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，

1111

eeminee

所以存?在?使0得,，即存在,+∞，使得函數??有兩=個?零點，=?故④正確.

當?0時?0，ln?0>1恒成立?，∈故0,+∞是上的?增?函數，故②錯誤；

因為?∈(?∞，,0當)?'?>時0，當?(?)0,+∞時，則，且當時，

?+

所以不e存>在10<?<，1使得ln對?于<任0意的?∈(?∞,0)，都??有>0??成ln立?，<故0③錯誤?；→0ln?→?∞

故答案為：?①∈④．?∞,0?∈0,+∞??>0

17．已知函數，．

1??2

(1)若，求??=的e最小+值?；??1?∈R

1

?=2??

(2)若當時，恒成立，求a的取值范圍．

1

?

【答案】?>(1)11??>+ln?

(2)

1

【解2析,+】∞

(1)當時，，

11??12

所以?=2?(?)=e，易+知2?單?1調遞增，且，

1??'

當?'(?)=?e時，+?，?(當?)時?，'(1)=0，

所以?∈(?在∞,1)?上'(單?)調<遞0減，?在∈(1,+∞上)單調?遞'(?增)>，0

所以?(?)的(最?小∞值,1為)．(1,+∞)

(2)設?(?)?(1)=1，由題意對任意恒成立．

1??21

?(?)=e+???1???ln??(?)>0?∈(1,+∞)

，

11

1??2

?'(?)=?e+2??+???

若，則，則存在，使得當時，，

1

00

所以?<2在?'(1)上=單2?調?遞1減<，0?>1?∈1,??'(?)<0

故當?(?)(1,?時0)，，不符合題意．

0

若?∈，1由,??(?)知<當?(1)=時0，，所以，

1???11??1

?≥2?>?+1?>0e>?>0e<?

當時，，

32

1??11111??2?+1??2?+1

2222

因此?>1在?'(?)=上?單e調遞+增2?．?又+???>?，?+?+???=?>?>0

所以當?(?)(1時,+，∞)．?(1)=0

綜上，?的>取1值范圍?(是?)>0．

1

2

18．已知?函數,+∞．

?

(1)當時，?求?函=數e????的1極?值∈；R

(2)若函?=數1?=??在無零點，求實數a的取值范圍．

【答案】(?1()極?)小=值?(為?)+，ln無?極?大e值1,+∞

(2)2

【解?∈析】?∞,e+1

(1)由題知，當時，，

?

∴?=，1令?(?)=，e?(．??1)?∈R

?

∴?'?=e?時1，?'?=，0?=單0調遞減；

?∈?∞,0時，?'?<，0??單調遞增．

?∈0,+∞?'?>0??

∴是的極小值點，∴的極小值為，無極大值．

(2)?由=題0知?????0=2，

?

∴?(?)=?(?，)+ln?；?e令=e??(??1)+，ln??e?>1

?1?1

?'?=e??+??>1??=e??+??>1

∴，∵，∴恒成立，

1

?2

∴?'?單=調e遞?增?，即?>1單調遞?增'?．>0

①?當?時，∴?'?，∴單調遞增

∴?≤e+1恒?成'立?，>即?'1在=e+1??上≥無0零點，?∴?．

②?當?>?1時=，0令?，?1，,+∞，又?∈?單∞調,e遞+增1，

∴?>e+時1，?'?，=0?=?0?時0，∈1,+∞，?'?

∴?∈在1,?0?'時?單<調0遞減?∈，?0,+∞時?'，?單>調0遞增，

∴???∈1,?0，又?∵∈?0,+∞時，

∴??min=??0，<?1=0，即?→在+∞?上?有零→+點∞，不合題意；

綜上??所1∈述?0,+∞??1．=0??1,+∞

19．已知函?∈數?∞,e+1，其中且

32

(1)當時，?求?函=數??+的?極?值??；?∈R?≠0

(2)求函?=數1??的單調區(qū)間；

??3

??

(3)若存在??=?，ln使?函數，在處取得最小值，試求

的最大值.?∈?∞,?1??=??+?'??∈?1,??>?1?=?1?

【答案】(1)極大值為，極小值為

15

327

(2)答案見解析??1=1?=?

(3)

17?1

【解析2】

(1)當時，，則，

32'2

當?=1??=?+?時?，???；=當3?+2??時1=，3??1；?+1

11

∴?∈?∞,?1?3,+∞?'?>0?∈?1,3?'?<0

在，上單調遞增，在上單調遞減，

11

∴???∞,?13,+∞?1,3

的極大值為