2026暑假新高三數學暑假精講精練專題03函數及其表示（教師版）

高二數學暑假作業精講精練（新人教A版2019）

專題03函數及其表示

基礎知識復習

1．函數與映射

函數映射

兩個集合

設A，B是兩個非空數集設A，B是兩個非空集合

A，B

如果按某一個確定的對應關系f，使

如果按照某種確定的對應關系f，使對

對應關系對于集合A中的任意一個元素x，在

于集合A中的任意一個數x，在集合B

f：A→B集合B中都有唯一確定的元素y與之

中都有唯一確定的數f(x)和它對應

對應

稱f：A→B為從集合A到集合B的一稱f：A→B為從集合A到集合B的一

名稱

個函數個映射

函數記法函數y＝f(x)，x∈A映射：f：A→B

2.函數的有關概念

(1)函數的定義域、值域

在函數y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函

數值，函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域．

(2)函數的三要素：定義域、對應關系和值域．

(3)函數的表示法

表示函數的常用方法有解析法、圖象法和列表法．

3．分段函數

若函數在其定義域的不同子集上，因對應關系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數稱為分段函

數．

分段函數的定義域等于各段函數的定義域的并集，其值域等于各段函數的值域的并集，分段函數雖由幾個

部分組成，但它表示的是一個函數．

【知識拓展】

簡單函數定義域的類型

(1)f(x)為分式型函數時，定義域為使分母不為零的實數集合；

(2)f(x)為偶次根式型函數時，定義域為使被開方式非負的實數的集合；

(3)f(x)為對數式時，函數的定義域是真數為正數、底數為正且不為1的實數集合；

(4)若f(x)＝x0，則定義域為{x|x≠0}；

(5)指數函數的底數大于0且不等于1；

π

x≠kπ＋，k∈Z

(6)正切函數y＝tanx的定義域為x|2.

典型習題強化

1．若函數的定義域為R，則a的范圍是（）

2

A．??=?????+1B．

C．0,4D．0,4

【答案0,4】D0,4

【解析】

若的定義域為R，則當時，滿足題意；

當??時，?=，0解得：??=1；

?>0

?≠020<?≤4

當時，無Δ法=滿?足?定4義?≤域0為R．

綜上?<所0述：，D正確．

故選：D0≤?≤4

2．已知是定義在R上的奇函數，且，當時，，則（）

?

A．2??B．－2?(?+C4．)=0?(?)?∈(0,2)D．?(?)=2??2021=

【答案】B2

【解析】

由題意，的周期為4，又是定義在R上的奇函數，

所以????．

故選：?(B?．2021)=??(2021)=??(4×505+1)=??(1)=?2

3．下列四組函數中，表示相等函數的一組是（）

A．，B．，

222

??=???=???=???=?

C．，D．，

2

??12

【答?案?】=A??1??=?+1??=?+1???1??=??1

【解析】

對于A，與定義域均為，，與為相等函數，A正確；

2

對于B，∵??定義?域?為，定R義域?為=?∴，???與?不是相等函數，B錯誤；

對于C，∵??定義域為R??，定義0,域+為∞，∴??與??不是相等函數，C錯誤；

∵????≠1??R∴????

對于D，定義域為，定義域為，與不是相等函數，D錯

誤.∵??1,+∞???∞,?1∪1,+∞∴????

故選：A.

4．函數定義域為（）

0

???1

A．??=lne?B2．+2??C．D．

【答案1,2】Cln2,2ln2,1∪1,2ln2,1∪1,2

【解析】

解：因為，

0

???1

??=lne?2+2??

所以?，解得且，

e?2>0

??1≠0ln2<?<2?≠1

所以函2數?的?>定0義域為；

故選：Cln2,1∪1,2

5．下列各組函數中，表示同一函數的是（）

A．與B．與

2

?+?2

?(?)=?+1?(?)=??1??=2???=4?

C．與D．與

222

【答?案?】=B???=??=?+1??1?=??1

【解析】

A中，的定義域為，的定義域為R，故A錯誤；

B中，?(?){?|?≠?1}，B?(正?)確；

2

C中，??的=定義4?域=為2R?，=?(?的)定義域為，故C錯誤；

D中，?(?)的定?(義?)域為[0，,+由∞)可得的定義域為

22

，D?錯=誤.?+1??1[1,+∞)??1≥0?=??1(?∞,?1]∪[1,+

∞故)選：B

，

6．已知函數，則的值是（）

，

log2??>01

??=???4

3?≤0

A．B．C．D．

11

99

【答?案9】D9?

【解析】

解：由題知，，.

111?21

4244

故選：D?=log=?2??=??2=3=9

7．已知，若，則（）

1

?2??1=2?+3??=5?=

A．B．C．D．

1111

4422

【答?案】C?

【解析】

設，因為

11

所以2??1=?，?2??1=2?+3

又?(?)=，4所?+以7，

所以??=5.4?+7=5

1

2

故選：?=C?.

．已知函數，則方程的實數根的個數為（）

8?

2?1,?≤2

??=2???=1

??1,?>2

A．B．C．D．

【答7案】B532

【解析】

令，則，

①?當(?)=時?，?(?)=1，，，即，

|?||?|

②當??2時，2?1=，1∴2，=2∴|?|=1?=±1

2

畫出函?>數2的??圖1象=，1如∴圖?所=示3，

?(?)

若，即，無解；

若?=?，1直線?(?)=?1與的圖象有3個交點，即有3個不同實根；

若?=1，直線?=?=1與?=?(?)的圖象有2個交點，即???=1有2個不同實根；

綜上?=所3述，方程?=?=3?的=實?(數?)根的個數為5個，???=1

故選：．?[?(?)]=1

9．擬定B從甲地到乙地通話m分鐘的話費（單位：元）由函數給出，其

3.71,0<?≤4

??=

中是不小于m的最小整數，例如，，那么從甲地到1.乙06地×通0話.55?分+鐘1的,話?費>為4（）

A．?3.71元B．4.24元2=2C1．.241.7=元2D．7.95元

【答案】B

【解析】

由是不小于的最小整數可得，

所以??5.2=6，

故從甲?(5地.2到)=乙1地.0通6話×(50.分5×鐘6的+話1費)=為14.0.264×元4．=4.24

故選：.

10．已知B，，若，則的最值是（）

2??,??≥??

??=3?2???=??2???=??

A．最大值為3，最小值B．最大值為??,??，無<最?小?值C．最大值為3，無最小

值D?．1無最大值，最小值為7?27

【答案】B?1

【解析】

，

解：根據已知條件，可以求出，，

3+2??≤2?7

2，

??=??2?2?7<?<3

如圖所示，在A處取得最大值，沒3有?最2小?值.?≥3

由?(?)得.

2

所以3+有2最?大=值??2??，?無=最2?小值7.,∴??=3+2??=7?27

故選：B．7?27

11．已知符號函數，下列說法正確的是（）

1,?>0

sgn?=0,?=0

A．函數是奇函數?1,?<0

B．函數?=sgn?是奇函數

?

C．函數?=2sgn?的值域為

?

D．函數?=2sgn?的值域為?1,0∪1,+∞

?

【答案】?A=C2sgn?1,+∞

【解析】

對于A，由題意的圖象關于原點對稱，是奇函數，故A正確，

?=sgn?

對于B，因為?，當時，，當時，，所以函數

?2,?>01?

?=2?sgn?=0,??=0?=1?=2?=?1?=?2?=2?sgn?

不是奇函數，故B錯誤；?2,?<0

對于C，D，因為當時，，時，，時，所以函數

的值域為?∈0,．+故∞C正確?，∈D1,錯+誤∞?∈?∞,0?∈?1,0?=0?=0

故選：AC?1,0∪1,+∞

12．已知函數，則（）

?

??1,?≥?,

??=2?∈R

A．任意，函數?(?的+值1域),為?<?

B．任意?∈R，函數??都有零點R

C．任意?∈R，存在?函?數滿足

D．當?∈R時，任?意????=??

【答案?】∈BD?∞,?4?1≠?2,?1??2??1???2>0

【解析】

設函數和的左右兩交點坐標為，

?2

對于選項?=A?，由?1圖像?可=知?，(?當+1)時，的值域不為(?1,，?1故)A(?錯2,誤?2)

對于選項B，由圖像可知，無論?<a?取1何值?，(?函)數都有?零點，故B正確

對于選項C，當時，??由圖像可知

所以不存在函數?>0滿足?(??)=?(??)?(???)=?(??)?(??)≠?(?)

對于選項D，若??，???，因=為??為增函數，所以對于任意

2

成立?1<??2<??=?(?+1)?1≠?2,?1??2??1?

?若?2>，0因為為增函數，所以對于任意成立

?

當?1，>?不?在2同>一?區間?時=，?因?為1，所以?1≠?2,?1?的?圖2像?在?1???2>0的圖

?2

?1?2?∈?∞,?4?=??1(?>?)?=?(?+1)(?<?)

像的上方，所以也滿足對于任意成立

故D正確?1≠?2,?1??2??1???2>0

故選：BD

13．高斯是德國著名數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號，他和阿基米德，牛頓并列為世

界三大數學家，用表示不超過x的最大整數，則稱為高斯函數，例如，.則

下列說法正確的是（[?]）?=[?][?2.1]=?3[2.1]=2

A．函數在區間（）上單調遞增

B．若函數?=??[?]，則[?,?+1)?的∈值Z域為

sin?

???

e?e

C．若函數?(?)=?=[?(?)]，則{0}的值域為

D．，?(?)=|1+sin2??1?sin2?|?=[?(?)]{0,1}

【答?案∈】RAC?≥[?]+1

【解析】

對于A，，，有，則函數在上單調遞增，A正確；

?∈[?,?+1)?∈Z[?]=??=??[?]=???[?,?+1)

對于B，3?，則，B不正確；

3?sin213?

3?3?3?3?

?(2)=2?2=?2?2∈(?1,0)[?(2)]=?1

對于C，e?ee?e，

22

?)1?sin2?

當?(?)=(時，1+sin2?1?sin2?，=2?2，有=2?，2|cos2?|

1

0≤|cos2?|≤21≤2?2|cos2?|≤21≤?(?)≤2[?(?)]=1

當時，，，有，的值域為，C正

1

確；2<|cos2?|≤10≤2?2|cos2?|<10≤?(?)<1[?(?)]=0?=[?(?)]{0,1}

對于D，當時，，有，D不正確.

故選：AC?=2[?]+1=32<[2]+1

14．已知函數是增函數，則實數a的取值范圍是______．

2????1,?≤5

??=??5

【答案】?,?>5

8

【解析】5,2

解：∵是定義域R上的增函數，

??

∴，

2??>0

?>10

2??×5?1≤?

即，解得：，

?<28

?>815≤?<2

5

∴實?數≥a的取值范圍為．

8

5,2

故答案為：．

8

5,2

15．設．若，則__________．

?,0<?<2

??=??=??+2?=

【答案】3??2,?≥2

1

【解析】9

由在上遞增，在上遞增，

所以?=，由?(0,2)，?則=3(??2)，(2,+∞)

故?，?可=得??+.20<?<2

1

?=3??=9

故答案為：

1

9

16．已知為定義在上的增函數，且任意，均有，則_____.

11

?(?)(0,+∞)?>0???+?=???(1)=

【答案】

1?5

【解析】2

設，

令?(1)=得?：；

11

?=1??1+1=?1???+1=?

令得：，

1111

因為?=?+為1定義在???+1上+的?增+1函=數?，?+1???+?+1=?=?1

所以?(?)(0,+∞)，

111±5

?+?+1=1??=2

當時，由或矛盾.

1+51

?1=?=21+?>1??1+?>?1??>???<?10<?<1

故.

1?5

?1=?=2

故答案為：

1?5

17．已知函數2.

2

(1)若函數定義?域(?為)=，求???的取+2值?范+圍5；

(2)若函數值域為?，?求的取值范圍.

[0,+∞)?

【答案】(1)

1

(?∞,?5]

(2)

1

【解?析5】,0

(1)函數定義域為，

∵?對任意都成立，

2

∴當???+時2，?+5?0顯然?不∈恒R成立，不合題意；

當?=0時，由2?二+次5?函0數的性質可知，需滿足，解得，

1

??>0

?≠0???5

綜上，實數的取值范圍為Δ=4+20??0

1

5

(2)函數值域?為，(?∞,?]

∵[0,+∞)能取遍所有正數，

2

1∴：?(?)=???+2?，+解5得，

1

??>0

?5??<0

2：Δ=4，+20??0符合題意

實?數=的0取?值(?范)圍=為2?+5

1

∴??5,0

18．已知函數.

1

?+2

(1)求函數的定?義(?域)；=?+3+

(2)求的值；

2

3

(3)當??時，求，的值．

【答案?>】(01)??且???1

(2){?|?≥?3?≠?2}

213

3+4

(3)，

11

【解?析+】3+?+2?+2+?+1

(1)由題意，解得且,

?+3≥0

?≥?3?≠?2

函數的?+定2義≠域0為且.

(∴2)??{?|?≥?3.?≠?2}

221213

2

??3=3?3+2?3=3+4

(3)，．

111

??=?+3+?+2???1=??1+3+??1+2=?+2+?+1

19．已知且，，，.

1

????=?

(1)求?>0?≠1的?定?義=域lo；g1+???=log1??

(2)已知??+?，?請+比?較?與?的大小關系.

【答案】?0(1∈)?；??0??0

(2)當時0，,1；當時，.

【解析?>】1??0>??00<?<1??0<??0

(1)依題意，應滿足，解得，

1+?>0

?1??>00<?<1

∴函數?>0的定義域D=；

(2)當??+?時?，+有??，0,1

①當?0∈時0,1，函數1+?0>單1調?遞?增0，∴；

②當?>1時，?函=數log??單調遞減?，?∴0>??0．

20．已0知<函?<數1