材料力學（I）（第5版）課件 ch7 彎曲變形、ch8 應力應變狀態分析

第

7

章彎曲變形單輝祖：材料力學Ⅰ單輝祖：材料力學Ⅰ2第

7

章彎曲變形

彎曲變形基本方程

計算梁位移的方法

簡單靜不定梁分析

梁的剛度條件與合理設計本章主要研究：單輝祖：材料力學Ⅰ3

§1

引言

§2

撓曲軸近似微分方程

§3

計算梁位移的積分法

§4

計算梁位移的疊加法

§5

簡單靜不定梁

§6

梁的剛度條件與合理設計單輝祖：材料力學Ⅰ4§1引言

彎曲變形及其特點

撓度與轉角單輝祖：材料力學Ⅰ5

彎曲變形及其特點

對于細長梁，剪力對彎曲變形影響一般可忽略不計,變形后橫截面仍保持平面，并與撓曲軸正交

變形很小時，橫截面形心的軸向位移忽略不計撓曲軸

變彎后的梁軸，稱為撓曲軸

撓曲軸是一條連續、光滑曲線

研究彎曲變形的目的，進行梁的剛度計算,分析靜不定梁,為

研究壓桿穩定問題提供有關基礎單輝祖：材料力學Ⅰ6

撓度與轉角撓度與轉角的關系（小變形）撓度－橫截面形心在垂直于梁軸方位的位移－撓度方程轉角－橫截面的角位移－轉角方程（忽略剪力影響）（rad）撓度方程也是撓曲軸方程(忽略截面形心軸向位移時)單輝祖：材料力學Ⅰ7§2

梁變形基本方程

撓曲軸微分方程

撓曲軸近似微分方程單輝祖：材料力學Ⅰ8

撓曲軸微分方程（純彎）（推廣到非純彎）

w－彎矩引起的撓度

－撓曲軸微分方程單輝祖：材料力學Ⅰ9

撓曲軸近似微分方程小變形時：－撓曲軸近似微分方程

小變形

坐標軸

w

向上應用條件：坐標軸

w

向下時：單輝祖：材料力學Ⅰ10

例題例題

圖示梁,EI為常數,已知

w=ax3,試分析梁的外力。解：1.內力分析2.外力分析截面B-存在剪力與彎矩，桿端B一定存在外力與外力偶桿端微段受力如圖示,畫剪力與彎矩圖于是得單輝祖：材料力學Ⅰ11§3

計算梁位移的積分法

梁位移分析的邊界條件

積分法求梁位移

撓曲軸的繪制

例題單輝祖：材料力學Ⅰ12

梁位移分析的邊界條件約束處位移應滿足的條件梁段交接處位移應滿足的條件－位移邊界條件－位移連續條件利用位移邊界條件與連續條件確定積分常數單輝祖：材料力學Ⅰ13

積分法求梁位移

qA=?EI=常數

建立撓曲軸近似微分方程并積分

利用邊界條件確定積分常數由條件

(1),(2)

與式

(b)

，得

計算轉角（

）單輝祖：材料力學Ⅰ14

撓曲軸的繪制繪制依據

滿足基本方程

滿足位移邊界條件與連續條件繪制方法與步驟

畫

M圖

由位移邊界條件確定撓曲軸的空間位置

由

M

圖的正、負、零點或零值區,確定撓曲軸的

凹、凸、拐點或直線區,即確定撓曲軸的形狀單輝祖：材料力學Ⅰ15

例題例題

用積分法求梁的最大撓度，EI

為常數解：1.建立撓曲軸近似微分方程并積分AC段CB段單輝祖：材料力學Ⅰ163.最大撓度分析（

）當

a>b

時位移邊界條件：位移連續條件：2.確定積分常數最大撓度發生在AC段最大撓度：單輝祖：材料力學Ⅰ17例

題

建立撓曲軸微分方程,寫出邊界條件,EI

為常數解：單輝祖：材料力學Ⅰ18例

題

建立撓曲軸微分方程，寫出邊界條件，EI

為常數解：1.建立撓曲軸近似微分方程AB段:CB段:2.邊界條件與連續條件位移邊界條件：位移連續條件：單輝祖：材料力學Ⅰ19F=qa例題繪制撓曲軸的大致形狀F=qa單輝祖：材料力學Ⅰ20§4

計算梁位移的疊加法

疊加法逐段軟化法

兩種方法比較

例題單輝祖：材料力學Ⅰ21

疊加法分解載荷分別計算位移

求位移之和

當梁內應力不超過比例極限，且變形很小，則任一橫截面的總位移，等于各載荷單獨作用時在該截面引起的位移的代數和或矢量和，稱為計算梁位移的疊加法。

疊加法不僅可用于計算位移,也可用于計算內力與應力等；不僅可用于梁,也可用于拉壓桿、軸及其組成結構。單輝祖：材料力學Ⅰ22疊加法進一步論述小變形,形心軸向位移忽略不計小變形,比例極限內于是得

當梁上同時作用幾個載荷時,撓曲軸近似微分方程的解,等于各載荷單獨作用時撓曲軸近似微分方程的解之和。當F=0,q=0時，wF=wq=0,w=0，故c=d=0單輝祖：材料力學Ⅰ23

逐段軟化法

分解梁

AB段變形所致位移w1

求總位移逐段分析各梁段變形在需求位移處引起的位移并求其和

BC段變形所致位移w2這時,AB段為剛體,截面B對梁BC的約束,相當于固定端AB段與BC段在分析梁段

i變形所致位移wi

時,其余梁段均視為剛體單輝祖：材料力學Ⅰ24

疊加法

逐段軟化法(或逐段軟化求和法)

注意：兩種方法的應用條件不同；實際求解時,常將疊加法與逐段軟化法聯合應用,因此,通常將二者統稱為疊加法。

當梁或剛架內應力不超過比例極限,且變形很小,則任一橫截面的總位移,等于各載荷單獨作用時在該截面引起的位移的代數和或矢量和。

當梁或剛架的變形很小時,任一橫截面的總位移,等于各桿段變形在該截面引起的位移的代數和或矢量和。

兩種方法比較單輝祖：材料力學Ⅰ25

例題例題q(x)=q0cos(px/2l)，利用疊加法求

wB解：(

)(

)根據附錄Ｅ之２單輝祖：材料力學Ⅰ26例題

圖示階梯形梁,求WC解：(

)(

)(

)單輝祖：材料力學Ⅰ27例題

圖示組合梁，EI=常數，求

wB與qA(

)(

)解：單輝祖：材料力學Ⅰ28例題圖示剛架,求截面

C

的鉛垂位移解：單輝祖：材料力學Ⅰ29例題圖示簡支梁,試用疊加法計算截面C的撓度dC。

解：

梁段AC剛性轉動,截面C位移至C’

；梁段CB為固定在截面C的懸臂梁,在力FBy作用下發生彎曲變形。

設梁段AC的轉角為q，則單輝祖：材料力學Ⅰ30例題

求自由端位移d位移方位與載荷方位一般不重合一般情況下解：單輝祖：材料力學Ⅰ31§6

簡單靜不定梁

靜不定度與多余約束

簡單靜不定梁分析方法

例題單輝祖：材料力學Ⅰ32

靜不定度與多余約束多余約束

對于維持梁平衡或限制其剛體位移非必須約束多余反力

與多余約束相應的支反力或支反力偶矩靜不定度

＝未知支反力(力偶)數－獨立平衡方程數靜不定度＝多余約束數5-3

=

2度靜不定靜不定梁

支反力(含力偶)數超過獨立平衡方程數的梁單輝祖：材料力學Ⅰ33

簡單靜不定梁分析方法－變形協調條件－物理方程－補充方程－平衡方程算例綜合考慮三方面求梁的支反力,EI=常數選FBy

為多余力1度靜不定受力與原靜不定

梁相同的靜定梁,稱為相當系統單輝祖：材料力學Ⅰ34

判斷梁的靜不定度

計算相當系統在多余約束處的位移，并根據變形協調條件建立補充方程

由補充方程確定多余力

通過相當系統計算支反力、內力、位移與應力等靜不定梁分析方法與步驟相當系統相當系統相當系統有多種選擇,關鍵是確定多余支反力

用多余力代替多余約束作用，構建相當系統單輝祖：材料力學Ⅰ35

例題例題

求支反力解：1.

問題分析2.

求解靜不定水平反力忽略不計,2多余未知力單輝祖：材料力學Ⅰ36例題懸臂梁

AB,用短梁

DG

加固,試分析加固效果解：1.靜不定分析單輝祖：材料力學Ⅰ372.加固效果分析（剛度）減少62.5%減少39.9%3.加固效果分析（強度）單輝祖：材料力學Ⅰ38例題

圖示桿梁結構,試求桿

BC

的軸力解：梁截面形心的軸向位移一般忽略不計單輝祖：材料力學Ⅰ39例題直徑為d的圓截面梁,支座

B

下沉

d，smax=?解：兩個多余未知力單輝祖：材料力學Ⅰ40例題一單位長度重量為q、EI為常數的細長直梁,放置在水平剛性平臺上,在載荷F作用下,部分梁段離開臺面,求分離段長度a。

解：在接觸段DA與BG,因此,在分離截面A與B處,可見,分離梁段AB可簡化為簡支梁,且單輝祖：材料力學Ⅰ41例題梁AB、CD與剛性圓柱相連組成系統,在Me作用下,圓柱轉動。

已知EI為常數,d=l/2,求圓柱轉角q。解：

系統變形與受力如圖示包含兩未知力,一度靜不定

圓柱的平衡方程為

系統的補充方程

單輝祖：材料力學Ⅰ42例題圖示結構,AB與CD為銅片,EI為常數,桿BD為剛體,求水平位移。解：

6個約束力,3度靜不定

忽略軸力影響,兩銅片彎曲變形相同,桿BD水平移動,故考慮桿BD水平平衡,且FSB=FSD=F/2

確定多余力

變形條件為MB=MDFSB=FSD

桿BD水平位移為單輝祖：材料力學Ⅰ43§7

梁的剛度條件與合理設計

梁的剛度條件

梁的合理剛度設計

例題單輝祖：材料力學Ⅰ44

梁的剛度條件最大位移控制指定截面的位移控制例如滑動軸承處單輝祖：材料力學Ⅰ45

梁的合理剛度設計

合理截面形狀

合理選材使用較小的截面面積

A，獲得較大慣性矩

I

的截面形狀，例如工字形與盒形等薄壁截面影響梁剛度的力學性能是

E

，為提高剛度，宜選用E

較高的材料注意：各種鋼材（或各種鋁合金）的

E

基本相同單輝祖：材料力學Ⅰ46

合理選取跨度跨度微小改變，將導致撓度顯著改變例如

l

縮短

20％，dmax

將減少

48.8%單輝祖：材料力學Ⅰ47

合理安排約束與加載方式q=F/l增加約束，制作成靜不定梁單輝祖：材料力學Ⅰ48

例題例

題已知

F

=

35

kN，l

=

4

m，[s

]=

160

MPa，[d

]=l/500，E

=

200

GPa，試選擇工字鋼型號。解：選№22a第

8

章應力應變狀態分析單輝祖編著：材料力學Ⅰ第

8

章應力應變狀態分析

單輝祖：材料力學Ⅰ50本章主要研究：

應力狀態分析基本理論

應變狀態分析基本理論

應力應變一般關系

平面應力狀態應力電測

復雜應力狀態應變能

復合材料應力應變關系簡介

§1

引言

§2

平面應力分析

§3

應力圓

§4

極值應力與主應力

§5

復雜應力狀態的最大應力

§6

平面應變分析

§7

廣義胡克定律

§8

電測應力與應變花

§9

復雜應力狀態應變能

§10

復合材料應力應變關系簡介單輝祖：材料力學Ⅰ51§1

引言

實例

應力與應變狀態

平面與空間應力狀態單輝祖：材料力學Ⅰ52

實例單輝祖：材料力學Ⅰ53微體A

單輝祖：材料力學Ⅰ54

應力與應變狀態單輝祖：材料力學Ⅰ55構件內一點處所有微截面的應力總況或集合，稱為該點處的應力狀態應力狀態應變狀態構件內一點處沿所有方位的應變總況或集合,稱為該點處的應變狀態研究方法環繞研究點切取微體，因微體邊長趨于零，微體趨于所研究的點，故通常通過微體，研究一點處的應力與應變狀態研究目的研究一點處的應力、應變及其關系，目的是為構件的應力、變形與強度分析，提供更廣泛的理論基礎

平面與空間應力狀態單輝祖：材料力學Ⅰ56僅在微體四側面作用應力，且應力作用線均平行于微體的不受力表面－平面應力狀態平面應力狀態的一般形式微體各側面均作用有應力－空間應力狀態空間應力狀態一般形式§2

平面應力分析

斜截面應力分析

例題單輝祖：材料力學Ⅰ57

斜截面應力分析單輝祖：材料力學Ⅰ58問題：建立sa,

ta

與sx,

tx,sy,

ty

間的關系問題正負符號規定：

方位角

a

－以x軸為始邊、者為正

切應力t－以企圖使微體沿旋轉者為正方位用a

表示；應力為

sa,

ta斜截面：//z

軸；單輝祖：材料力學Ⅰ59斜截面應力公式單輝祖：材料力學Ⅰ60由于tx

與

ty

數值相等，同時上述關系建立在靜力學基礎上，故所得結論既適用于各向同性與線彈性情況，也適用于各向異性、非線彈性與非彈性問題

例題單輝祖：材料力學Ⅰ61例題計算截面

m-m

上的應力解：§3

應力圓

應力圓

應力圓的繪制與應用

例題單輝祖：材料力學Ⅰ62

應力圓單輝祖：材料力學Ⅰ63應力圓原理在s-t坐標面內，sa與ta的關系曲線為圓,稱為應力圓圓心位于s

軸單輝祖：材料力學Ⅰ64應力圓的繪制結論：所畫圓，確為所求應力圓問題

：畫相應應力圓作圖法：由坐標(sx,tx)與(sy,ty)確定D與E點；以DE為直徑畫圓單輝祖：材料力學Ⅰ65應力圓求a截面應力同理可證：畫相應應力圓D點對應x截面D點轉2a得H點，即

a截面證明：單輝祖：材料力學Ⅰ66點、面對應關系

轉向相同,轉角加倍

互垂截面,對應同一直徑兩端應力圓上的a點

~

微體中的截面A應力圓上的b點

~

微體中的截面B

例題單輝祖：材料力學Ⅰ67例題利用應力圓求截面

m-m

上的應力解：1.畫應力圓2.由應力圓求sm與tmA點對應截面

x,B點對應截面

y由A點（截面

x

）順時針轉60o至D點（截面

m-m）§4

極值應力與主應力

平面應力狀態的極值應力

主平面與主應力

主應力跡線

例題單輝祖：材料力學Ⅰ68

平面應力狀態的極值應力單輝祖：材料力學Ⅰ69極值應力大小單輝祖：材料力學Ⅰ70極值應力方位

極值正應力方位：smax與smin所在截面正交t極值與s極值所在截面,成

45°

夾角上式有兩個解,且相差90°應力圓:D到A,-2a0：微體:x截面到smax截面,-a0

極值切應力方位：

主平面與主應力單輝祖：材料力學Ⅰ71主平面－切應力為零的截面微體不受力表面切應力為零,也是主平面主應力－主平面上的正應力主應力符號與規定－主平面微體－相鄰主平面相互垂直,構成一正六面形微體（按代數值）s1s2s3單輝祖：材料力學Ⅰ72應力狀態分類

單向應力狀態：僅一個主應力不為零的應力狀態

二向應力狀態：兩個主應力不為零的應力狀態

三向應力狀態：三個主應力均不為零的應力狀態二向與三向應力狀態，統稱復雜應力狀態

主應力跡線單輝祖：材料力學Ⅰ73－

主拉應力跡線－主壓應力跡線鋼筋主要沿主拉應力跡線排列

例題單輝祖：材料力學Ⅰ74解：1.主應力大小與方位角

例題

圖示應力狀態，試確定主應力的大小與方位單輝祖：材料力學Ⅰ752.主應力方位判斷

由坐標（-70,50）與（0,-50）確定D與E點sA=s1，

sB=s3

以DE為直徑畫圓

D點對應x截面，A點對應主平面s1a01對應主應力s1方位§5

復雜應力狀態的最大應力

三向應力圓

最大應力

例題單輝祖：材料力學Ⅰ76

三向應力圓單輝祖：材料力學Ⅰ77與任一截面相對應的點，位于應力圓上，或由應力圓所構成的陰影區域內

最大應力單輝祖：材料力學Ⅰ78最大切應力位于與

s1及

s3均成45

的截面上

例題單輝祖：材料力學Ⅰ79例題

已知

sx=80MPa，tx=35MPa，sy=20MPa，sz=－40MPa，求主應力、最大正應力與最大切應力解：sz

z平面為主平面,對應E點

由(sx,tx)與(sy,ty)

由E,D與C,畫三向應力圓畫應力圓,得D與C單輝祖：材料力學Ⅰ80

例題

圖示純剪切狀態，試求最大正應力與最大切應力,

并對圓軸扭轉失效進行分析。主平面微體位于45°方位解：1.純剪切應力分析由O,A,B三點,畫三向應力圓單輝祖：材料力學Ⅰ812.圓軸扭轉失效分析滑移與剪斷發生在tmax的作用面斷裂發生在smax

作用面§6

平面應變分析

平面應變狀態

任意方位的應變

應變圓

最大應變與主應變單輝祖：材料力學Ⅰ82

平面應變狀態單輝祖：材料力學Ⅰ83構件內一點處的變形均發生在同一平面內時的應變狀態，稱為平面應變狀態

任意方位的應變單輝祖：材料力學Ⅰ84要求：已知應變ex,ey與gxy,求a方位的應變ea與ga

使左下直角增大之

g為正規定：

方位角

a

以

x軸為始邊,為正方法：先分析ex,ey與gxy分別引起的變形,然后相疊加問題單輝祖：材料力學Ⅰ85應變與角位移分析單輝祖：材料力學Ⅰ86應變ea與ga公式單輝祖：材料力學Ⅰ87上述分析建立在幾何關系基礎上,所得各公式適用于任何小變形問題,而與材料的力學特性無關。結論

一點處任意方位應變：

一點處互垂方位的應變：

應變圓單輝祖：材料力學Ⅰ88

最大應變與主應變單輝祖：材料力學Ⅰ89切應變為零方位的正應變－主應變主應變位于互垂方位主應變表示：e1

e2

e3§7

廣義胡克定律

平面應力胡克定律

三向應力胡克定律

主應力與主應變的關系

例題單輝祖：材料力學Ⅰ90

平面應力胡克定律單輝祖：材料力學Ⅰ91適用范圍：各向同性材料，線彈性范圍內

三向應力胡克定律單輝祖：材料力學Ⅰ92平面與三向應力胡克定律，統稱為廣義胡克定律

主應力與主應變的關系單輝祖：材料力學Ⅰ93

當切應力為零時,相應切應變也為零,因此,

最大、最小主應變分別發生在最大、最小主應力方位

最大拉應變發生在最大拉應力方位如果

s10，且因

m<1/2，則主應變與主應力的方位重合

例題單輝祖：材料力學Ⅰ94例題已知

E

=

70

GPa,m=

0.33,求

e45。解：1.應力分析2.e45。計算單輝祖：材料力學Ⅰ95例題

對于各向同性材料，試證明：證：1.利用幾何關系求e45。2.利用廣義胡克定律求e45。3.比較單輝祖：材料力學Ⅰ96例題邊長

a

=10

mm正方形鋼塊,置槽形剛體內,

m

=