材料力學（I）（第5版）課件 ch5 彎曲內力、ch6 彎曲應力

第

5

章彎曲內力單輝祖：材料力學Ⅰ單輝祖：材料力學Ⅰ第

5

章彎曲內力

直梁彎曲內力

載荷與彎曲內力間的微分關系

剛架與曲梁的彎曲內力本章主要研究:單輝祖：材料力學Ⅰ

§1

引言

§2

梁的約束與類型

§3

剪力與彎矩

§4

剪力、彎矩方程與圖

§5

FS,M

與

q

間的微分關系

§6

剛架與曲梁的內力單輝祖：材料力學Ⅰ§1

引言

彎曲實例

彎曲及其特征單輝祖：材料力學Ⅰ

彎曲實例單輝祖：材料力學Ⅰ

彎曲及其特征外力或外力偶矢量垂直于桿軸變形特征桿軸由直線變為曲線彎曲與梁以軸線變彎為主要特征的變形形式－彎曲以彎曲為主要變形的桿件－梁外力特征畫計算簡圖時，通常以軸線代表梁計算簡圖單輝祖：材料力學Ⅰ§2

梁的約束與類型

約束形式與反力

梁的類型單輝祖：材料力學Ⅰ

約束形式與反力主要約束形式與反力

固定鉸支座：支反力

FRx與

FRy

可動鉸支座：垂直于支承平面的支反力

FR

固定端：支反力

FRx,FRy與矩為

M

的支反力偶單輝祖：材料力學Ⅰ

梁的類型

簡支梁：一端固定鉸支、另一端可動鉸支的梁

外伸梁：具有一個或兩個外伸部分的簡支梁

懸臂梁：一端固定、另一端自由的梁常見靜定梁約束反力數超過獨立平衡方程數的梁－靜不定梁單輝祖：材料力學Ⅰ§3

剪力與彎矩

剪力與彎矩

正負符號規定

剪力與彎矩計算

例題單輝祖：材料力學Ⅰ

剪力與彎矩

作用線位于橫截面并通過其形心的內力－剪力矢量位于橫截面的內力偶矩－彎矩分析橫向外力作用下橫截面m-m上的內力橫截面上：一內力，一內力偶。外力向形心C簡化

得主矢F’R與主矩MC單輝祖：材料力學Ⅰ

正負符號規定

使微段沿順時針方向轉動的剪力為正使微段彎曲呈凹形或頂部縮短的彎矩為正單輝祖：材料力學Ⅰ

剪力與彎矩計算

在保留段上,與正FS反向的橫向力為正,與正M反向的力矩為正

解法一

解法二計算橫截面m-m上的FS與M

上述方程表明：剪力等于切開面一側所有橫向外力的代數和；彎矩等于該側所有外力對切開面形心之矩的代數和。

單輝祖：材料力學Ⅰ

例題

例題

試計算橫截面D與A+的剪力與彎矩

解：

支反力計算

截面D的剪力與彎矩

截面A+的剪力與彎矩單輝祖：材料力學Ⅰ§4

剪力、彎矩方程與圖

剪力與彎矩方程

剪力與彎矩圖

例題單輝祖：材料力學Ⅰ

剪力與彎矩方程

FS與M

沿桿軸（x軸）變化的解析表示式－剪力方程－彎矩方程

單輝祖：材料力學Ⅰ

剪力與彎矩圖在x-FS與x-M坐標面內，剪力與彎矩沿梁軸變化的圖線,分別稱為剪力圖與彎矩圖。二次拋物線－直線

剪力方程與圖

彎矩方程與圖單輝祖：材料力學Ⅰ

例題例

題

建立剪力與彎矩方程，畫剪力與彎矩圖解：1.支反力計算2.建立剪力與彎矩方程AC段CB段單輝祖：材料力學Ⅰ3.畫剪力與彎矩圖

剪力圖:

彎矩圖:

最大值:4.剪力與彎矩圖特點在F作用處，左右橫截面的彎矩相同,剪力值突變單輝祖：材料力學Ⅰ解：1.支反力計算2.建立剪力與彎矩方程AB

段BC

段例題

建立剪力與彎矩方程，畫剪力與彎矩圖單輝祖：材料力學Ⅰ3.畫剪力與彎矩圖4.剪力與彎矩圖特點在Me作用處,左右橫截面的剪力相同,彎矩值突變

剪力圖：

彎矩圖：

剪力彎矩最大值:單輝祖：材料力學Ⅰ例題

載荷可沿梁移動，求梁的最大剪力與最大彎矩解：1.

FS與

M

圖2.FS與

M

的最大值單輝祖：材料力學Ⅰ§5

載荷集度、剪力與彎矩間

的微分關系

FS,M與q

間的微分關系

利用微分關系畫

FS與

M圖

微分關系法畫FS與

M圖要點

FS,M與m間的微分關系單輝祖：材料力學Ⅰ

FS,M與q

間的微分關系注意：q向上為正；x

向右為正梁微段平衡方程單輝祖：材料力學Ⅰ零或非零均布載荷下的FS與

M

圖直線

2次凹曲線

2次凸曲線

利用微分關系畫

FS與M圖單輝祖：材料力學Ⅰq=0,FS圖－水平直線例題圖示梁，試利用微分關系畫剪力與彎矩圖解：

例題FS=常數,M

圖－斜直線2.畫剪力圖在x-FS平面,對應a點,過a點作水平直線,即得FS圖3.畫彎矩圖在x-M平面,上述彎矩分別對應b與c點,連直線bc,即得M圖1.支反力單輝祖：材料力學Ⅰ例題

畫剪力與彎矩圖斜線ql/80ql2/16ql/8-3ql/8ql2/160解：1.FS與M圖形狀2.FS與M計算單輝祖：材料力學Ⅰ9ql2/1283.畫FS與M圖斜線ql/80ql2/16ql/8-3ql/8ql2/160單輝祖：材料力學Ⅰ例題畫組合梁的剪力與彎矩圖解：1.問題分析

組合梁,需拆開,以分析梁的受力

承受集中載荷,FS

與

M

圖由直線構成2.受力分析單輝祖：材料力學Ⅰ注意：鉸鏈傳力不傳力偶矩,

在與鉸相連的兩橫截面上,M=0,FS不一定為零3.畫FS

圖各桿段均為水平直線4.畫M

圖各桿段均為直線單輝祖：材料力學Ⅰ解:1.外力分析例題

建立剪力彎矩方程,畫剪力彎矩圖,用微分關系校核2.

建立剪力與彎矩方程單輝祖：材料力學Ⅰ3.畫剪力與彎矩圖q0l2/(93)

,M圖為凸曲線

FS=0處,M

圖存在極值

q=0處,FS

圖存在極值4.微分關系檢查與補充單輝祖：材料力學Ⅰ

利用微分關系，確定各梁段剪力、彎矩圖的形狀，

直線？上傾？下傾？曲線？凹？凸？

計算各梁段起點、終點與極值點等截面的剪力與彎矩

將上述二者結合，繪制梁的剪力與彎矩圖

在集中載荷作用下，梁的剪力與彎矩圖一定由直線所構成

在均布載荷作用下，剪力圖為直線，彎矩圖為二次曲線，其凹凸性由均布載荷的正負確定

微分關系法畫剪力、彎矩圖的要點

相鄰梁段相連兩截面處的剪力與彎矩圖，連續？非連續？突變量？光滑？非光滑？單輝祖：材料力學Ⅰ

FS,M與m間的微分關系注意：m-順時針為正；x-向右為正m-單位長度上的力偶,稱為分布力偶集度單輝祖：材料力學Ⅰ解:

1.畫剪力與彎矩圖例題圖示簡支梁;承受集度為m的均布力偶作用,試畫剪力與彎矩圖,并利用相應微分關系校核。2.

校核剪力與彎矩圖畫剪力與彎矩圖

建立剪力與彎矩方程：

單輝祖：材料力學Ⅰ§6

剛架與曲梁的內力

剛架內力

曲梁內力

例題單輝祖：材料力學Ⅰ單輝祖：材料力學Ⅰ37

剛架內力剛架用剛性接頭連接桿件組成的桿系結構

限制相連桿端截面間的相對線位移與角位移

可傳力，也可傳遞力矩剛架內力一般存在三內力分量:軸力;剪力

;彎矩單輝祖：材料力學Ⅰ

例題解：1.外力分析2.建立內力方程BC段：AB段：例

題

試畫剛架的內力圖單輝祖：材料力學Ⅰ3.畫內力圖彎矩圖畫法：與彎矩對應的點，畫在所在橫截面彎曲時受壓一側彎矩圖特點：如剛性接頭處無外力偶，則彎矩連續單輝祖：材料力學Ⅰ解：例

題

畫剛架的軸力與彎矩圖,各桿段的長度均為a。單輝祖：材料力學Ⅰ

曲梁內力平面曲梁－以彎曲為主要變形的平面曲桿平面曲梁內力平面曲桿－軸線為平面曲線、且截面縱向對稱軸位于軸線平面的曲桿－軸力、剪力與彎矩單輝祖：材料力學ⅠM－使曲梁微段愈彎的彎矩為正FS，FN－正負符號規定同前

內力計算

正負符號規定與彎矩對應的點,畫在橫截面彎曲受壓一側的法線上

畫彎矩圖軸線單輝祖：材料力學Ⅰ

例題例題

試繪圖示剛架的彎矩圖解：第

6

章彎曲應力單輝祖編著：材料力學Ⅰ第

6

章彎曲應力單輝祖：材料力學Ⅰ45

對稱彎曲正應力

對稱彎曲切應力

梁的強度條件與合理設計

非對稱彎曲應力本章主要研究：

§1

對稱彎曲正應力

§2

慣性矩與平行軸定理

§3對稱彎曲切應力

§4梁的強度條件

§5梁的合理強度設計

§6

非對稱彎曲應力單輝祖：材料力學Ⅰ46§1

對稱彎曲正應力

引言

彎曲試驗與假設

對稱彎曲正應力公式

例題單輝祖：材料力學Ⅰ47

引言單輝祖：材料力學Ⅰ48彎曲應力彎曲正應力－梁彎曲時橫截面上的正應力彎曲切應力－梁彎曲時橫截面上的切應力對稱彎曲對稱截面梁,在縱向對稱面承受橫向載荷時的受力與變形形式－對稱彎曲

彎曲試驗與假設單輝祖：材料力學Ⅰ49彎曲試驗單輝祖：材料力學Ⅰ50彎曲變形交互式動畫,演示正或負彎矩及其大小變化下梁的變形或通過按鈕點擊畫面單輝祖：材料力學Ⅰ51試驗現象

橫線為直線，仍與縱線正交，橫線間相對轉動彎曲假設

梁彎曲時，橫截面保持平面，仍與縱線正交－彎曲平面假設（純彎與正彎矩作用）

靠頂部縱線縮短，截面寬度增大,靠底部縱線伸長,

截面寬度則減小

各縱向“纖維”處于單向受力狀態－單向受力假設單輝祖：材料力學Ⅰ52推論

梁內存在一長度不變的過渡層－中性層中性層與橫截面的交線－中性軸

橫截面間繞中性軸相對轉動

中性軸⊥截面縱向對稱軸

對稱彎曲正應力公式單輝祖：材料力學Ⅰ53公式的建立

幾何方面:

物理方面:

靜力學方面:單輝祖：材料力學Ⅰ54(a)

(b)中性軸通過橫截面形心(a)

(c)(d)

(a)－抗彎截面系數(d)－慣性矩單輝祖：材料力學Ⅰ55結論中性軸過截面形心

中性軸位置：

正應力公式：

中性層曲率：,對稱彎曲

應用條件：總

結假設平面假設,單向受力假設綜合考慮三方面單輝祖：材料力學Ⅰ56幾個易混淆的概念

對稱彎曲－對稱截面梁，在縱向對稱面承受橫向外力時的受力與變形形式

中性軸－橫截面受拉與受壓區的分界線形心軸－通過橫截面形心的坐標軸

彎曲剛度－梁截面抵抗彎曲變形的能力

抗彎截面系數－梁截面幾何性質對彎曲強度的影響

中性軸與形心軸

對稱彎曲與純彎曲

截面彎曲剛度與抗彎截面系數純彎曲－梁或梁段各橫截面的剪力為零、彎矩為常數的受力狀態

例題單輝祖：材料力學Ⅰ57例題

梁用№18工字鋼

制成,Me=20kN?m,E=200GPa,

試求最大彎曲正應力smax，梁軸曲率半徑

r解：工字鋼：一種規范化、系列化的工字形截面標準鋼材№18工字鋼：單輝祖：材料力學Ⅰ582.

彎矩計算例題已知鋼帶厚

d=2mm,寬

b=6mm,D=1400mm,E=200GPa。試計算帶內的

smax與

M解：1.

應力計算單輝祖：材料力學Ⅰ59解：例題矩形截面梁,材料單向受力時,

,k為材料常數,試根據平面假設與單向受力假設建立彎曲正應力公式。

根據平面假設,由靜力學可知，由此得彎曲正應力為將式(a)代入上式,分別得：于是得：中性軸通過截面形心；§2

慣性矩與平行軸定理

靜矩與慣性矩

簡單截面慣性矩

平行軸定理

例題單輝祖：材料力學Ⅰ60

靜矩與慣性矩單輝祖：材料力學Ⅰ61靜矩慣性矩截面對z軸的靜矩截面對z軸的慣性矩組合截面：組合截面：

簡單截面慣性矩單輝祖：材料力學Ⅰ62矩形截面慣性矩圓形截面慣性矩單輝祖：材料力學Ⅰ63三角形截面慣性矩

平行軸定理單輝祖：材料力學Ⅰ64Cy0z0－形心直角坐標系Oyz－任意直角坐標系

截面對于任一坐標軸的慣性矩，等于對其平行形心軸的慣性矩,

加上截面面積與兩軸間距離平方之乘積，稱為慣性矩平行軸定理。二者平行

例題單輝祖：材料力學Ⅰ65例題

已知

F=15kN,l=400mm,b=120mm,d=20mm

試求截面B-B

的最大拉應力st,max與壓應力sc,max解：1.彎矩計算2.形心位置計算由矩形

1

與

2

組成的組合截面單輝祖：材料力學Ⅰ663.慣性矩計算4.最大彎曲正應力單輝祖：材料力學Ⅰ67例題

圖示半徑為R的半圓截面,試求截面對水平形心軸

z0的慣性矩解：2.慣性矩計算1.形心位置單輝祖：材料力學Ⅰ68d最佳值：解：未切削時：切削后：例題

圖示正方形截面,為提高Wz,試求切削高度d的最佳值dopt。§3

對稱彎曲切應力

矩形截面梁彎曲切應力

薄壁與圓形截面梁彎曲切應力

彎曲正應力與彎曲切應力比較

例題單輝祖：材料力學Ⅰ69

矩形截面梁的彎曲切應力單輝祖：材料力學Ⅰ70假設：t

(y)

//

截面側邊,并沿截面寬度均勻分布狹窄矩形截面梁

(h>b)

Sz(w)－坐標y一側截面

w

對中性軸

z的靜矩彎曲切應力公式

適用于對稱彎曲梁橫截面上任意閉合區域

w單輝祖：材料力學Ⅰ71單輝祖：材料力學Ⅰ72截面翹曲與非純彎推廣

切應變非均布

截面翹曲（aba'b'（=,彎曲

s仍保持線性分布切應力非均布

當梁上作用橫向分布載荷時,只要

l>

5h,純彎正應力公式仍足夠精確當FS=常數時，

薄壁與圓形截面梁的彎曲切應力單輝祖：材料力學Ⅰ73工字形薄壁梁假設:t//腹板側邊,并沿其厚度均勻分布w－y下側部分截面對中性軸

z的靜矩單輝祖：材料力學Ⅰ74盒形薄壁梁ww－y下側部分截面對中性軸

z的靜矩假設:t//腹板側邊,并沿腹板厚度均勻分布單輝祖：材料力學Ⅰ75圓形截面梁分析表明，最大彎曲切應力仍發生在中性軸上，并可近似認為沿中性軸均勻分布

彎曲正應力與彎曲切應力比較單輝祖：材料力學Ⅰ76當l>>h時，smax>>tmax

例題單輝祖：材料力學Ⅰ77例題FS=15kN,Iz=8.8410-6m4,b=120mm,d=20mm,yC

=45mm。求

tmax,腹板與翼緣交接處切應力ta解：可通過計算切應力ta?

單輝祖：材料力學Ⅰ78

－截面

w1對中性軸

z的靜矩例題螺釘沿梁軸等距離排列,梁段剪力FS,分析螺釘受力解：

－截面

w2對中性軸

z的靜矩鉛垂釘子水平釘子單輝祖：材料力學Ⅰ79例題圖示截面組合梁,由上、下蓋板與左、右腹板膠接而成,試計算膠縫切應力tg。解：§4

梁的強度條件

梁危險點處的應力狀態

梁的強度條件

例題單輝祖：材料力學Ⅰ80

梁危險點處的應力狀態單輝祖：材料力學Ⅰ81d三類應力狀態：單向應力；純剪切；s與t聯合作用

梁的強度條件單輝祖：材料力學Ⅰ82

彎曲正應力強度條件：

彎曲切應力強度條件：[t]-材料純剪切許用切應力[s]-材料單向應力許用應力強度條件的應用

細長非薄壁梁

短而高梁、薄壁梁、M小FS大的梁或梁段梁的強度條件

對一般薄壁梁，還應考慮

s與t

聯合作用下的

強度問題（詳見強度理論）

例題單輝祖：材料力學Ⅰ83例題簡易吊車梁，F=20kN，l=6m，[s]=100MPa，

[t]=60MPa，選擇工字鋼型號。解：1.危險狀態分析移動載荷問題

載荷接近支座時,剪力值最大

載荷位于梁中點時,

彎矩值最大單輝祖：材料力學Ⅰ842.按彎曲正應力條件選截面選№22a,Wz=3.09×10-4m43.校核梁的剪切強度№22a：單輝祖：材料力學Ⅰ85例題鑄鐵梁,

y1

=45mm,y2

=95mm,[st]=35MPa,[sc]=140MPa，Iz=8.8410-6m4，校核強度解：MD－最大正彎矩MB－最大負彎矩危險截面－截面D,B單輝祖：材料力學Ⅰ86危險點－a,b,c截面D截面B§5

梁的合理強度設計

合理截面形狀

合理截面變化

合理加載與約束設置單輝祖