第12講 應用一元二次方程（學生版）-新九年級數學暑假預習講義（北師大）

第12講應用一元二次方程（6種題型）【知識梳理】列一元二次方程解應用題1.利用方程解決實際問題的關鍵是尋找等量關系.

2.解決應用題的一般步驟：

審(審題目，分清已知量、未知量、等量關系等)；

設(設未知數，有時會用未知數表示相關的量)；

列(根據題目中的等量關系，列出方程)；

解(解方程，注意分式方程需檢驗，將所求量表示清晰)；驗（檢驗方程的解能否保證實際問題有意義）

答(寫出答案，切忌答非所問).

要點詮釋：列方程解實際問題的三個重要環節：

一是整體地、系統地審題；

二是把握問題中的等量關系；

三是正確求解方程并檢驗解的合理性.【考點剖析】題型1：增長率問題列一元二次方程解決增長(降低)率問題時，要理清原來數、后來數、增長率或降低率，以及增長或降低的次數之間的數量關系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應在原數的基礎上增長或降低兩次.

(1)增長率問題：

平均增長率公式為(a為原來數，x為平均增長率，n為增長次數，b為增長后的量.)

(2)降低率問題：

平均降低率公式為(a為原來數，x為平均降低率，n為降低次數，b為降低后的量.)例1．（2023·湖南湘西·統考三模）在“雙減政策”的推動下，我縣某中學學生每天書面作業時長明顯減少，2022年上學期每天書面作業平均時長為，經過2022年下學期和2023年上學期兩次調整后，2023年上學期平均每天書面作業時長為，設該校這兩學期平均每天作業時長每期的下降率為，則可列方程為（

）A． B．C． D．【變式1】（2022?上海）某公司5月份的營業額為25萬，7月份的營業額為36萬，已知5、6月的增長率相同，則增長率為．【變式2】隨著國家“惠民政策”的陸續出臺，為了切實讓老百姓得到實惠，國家衛計委通過嚴打藥品銷售環節中的不正當行為，某種藥品原價200元/瓶，經過連續兩次降價后，現在僅賣98元/瓶，現假定兩次降價的百分率相同，求該種藥品平均每場降價的百分率．【變式3】（2023·湖南·湖南師大附中校聯考模擬預測）今年五一“網紅長沙”再次火出“圈”，27個旅游景區五天累計接待游客萬人，成為全國十大必到城市之一．長沙美食也吸引了無數游客紛紛打卡，某網紅火鍋店五一期間生意火爆，第2天營業額達到10萬元，第4天營業額為萬元，據估計第3天、第4天營業額的增長率相同．(1)求該網紅店第3，4天營業額的平均增長率；(2)若第1天的營業額為萬元，第五天由于游客人數下降，營業額是前四天總營業額的，求該網紅店第5天營業額．題型2：面積問題此類問題屬于幾何圖形的應用問題，解決問題的關鍵是將不規則圖形分割或組合成規則圖形，根據圖形的面積或體積公式，找出未知量與已知量的內在關系并列出方程.例2．（2023·新疆喀什·統考三模）為大力實施城市綠化行動，某小區規劃設置一片面積為1000平方米的矩形綠地，并且長比寬多30米，設綠地長為x米，根據題意可列方程為（

）A． B． C． D．【變式1】如圖，一農戶要建一個矩形豬舍，豬舍的一邊利用長為12m的住房墻，另外三邊用25m長的建筑材料圍成，為方便進出，在垂直于住房墻的一邊留一個1m寬的門，所圍矩形豬舍的長、寬分別為多少時，豬舍面積為80m2？【變式2】（2022?德州）如圖，某小區矩形綠地的長寬分別為35m，15m．現計劃對其進行擴充，將綠地的長、寬增加相同的長度后，得到一個新的矩形綠地．（1）若擴充后的矩形綠地面積為800m，求新的矩形綠地的長與寬；（2）擴充后，實地測量發現新的矩形綠地的長寬之比為5：3．求新的矩形綠地面積．【變式3】（2022?泰州）如圖，在長為50m、寬為38m的矩形地面內的四周修筑同樣寬的道路，余下的鋪上草坪．要使草坪的面積為1260m2，道路的寬應為多少？題型3：數字問題(1)任何一個多位數都是由數位和數位上的數組成.數位從右至左依次分別是：個位、十位、百位、千位……，它們數位上的單位從右至左依次分別為：1、10、100、1000、……，數位上的數字只能是0、1、2、……、9之中的數，而最高位上的數不能為0.因此，任何一個多位數，都可用其各數位上的數字與其數位上的單位的積的和來表示，這也就是用多項式的形式表示了一個多位數.如：一個三位數，個位上數為a，十位上數為b，百位上數為c，則這個三位數可表示為：100c+10b+a.

(2)幾個連續整數中，相鄰兩個整數相差1.如：三個連續整數，設中間一個數為x，則另兩個數分別為x-1，x+1.

幾個連續偶數(或奇數)中，相鄰兩個偶數(或奇數)相差2.

如：三個連續偶數(奇數)，設中間一個數為x，則另兩個數分別為x-2，x+2.例3.已知兩個數的和等于12，積等于32，求這兩個數是多少．【變式1】（2022秋·天津武清·九年級?？茧A段練習）一個兩位數等于它個位數字的平方，且個位數字比十位數字大3，則這個兩位數是（

）A．25 B．36 C．25或36 D．64【變式2】一個兩位數是一個一位數的平方，把這個一位數放在這個兩位數的左邊所成的三位數，比把這個一位數放在這個兩位數的右邊所成的三位數大252，求這個兩位數.題型4：利潤（利息）問題利息問題

(1)概念：

本金：顧客存入銀行的錢叫本金.

利息：銀行付給顧客的酬金叫利息.

本息和：本金和利息的和叫本息和.

期數：存入銀行的時間叫期數.

利率：每個期數內的利息與本金的比叫利率.

(2)公式:

利息=本金×利率×期數

利息稅=利息×稅率

本金×(1+利率×期數)=本息和

本金×[1+利率×期數×(1-稅率)]=本息和(收利息稅時)

利潤(銷售)問題

利潤(銷售)問題中常用的等量關系：

利潤=售價-進價(成本)

總利潤=每件的利潤×總件數

例4.某商品現在的售價為每件60元，每星期可賣出300件．市場調查反映：每降價1元，每星期可多賣出20件．已知商品的進價為每件40元，在顧客得實惠的前提下，商家還想獲得6080元的利潤，應將銷售單價定位多少元？【變式1】商場某種新商品每件進價是120元，在試銷期間發現，當每件商品售價為130元時，每天可銷售70件，當每件商品售價高于130元時，每漲價1元，日銷售量就減少1件．據此規律，請回答：①當每件商品售價定為170元時，每天可銷售多少件商品？商場獲得的日盈利是多少？②在上述條件不變、商品銷售正常的情況下，每件商品的銷售價定為多少元時，商場日盈利可達到1600元？【變式2】（2022?宜昌）某造紙廠為節約木材，實現企業綠色低碳發展，通過技術改造升級，使再生紙項目的生產規模不斷擴大．該廠3，4月份共生產再生紙800噸，其中4月份再生紙產量是3月份的2倍少100噸．（1）求4月份再生紙的產量；（2）若4月份每噸再生紙的利潤為1000元，5月份再生紙產量比上月增加m%．5月份每噸再生紙的利潤比上月增加%，則5月份再生紙項目月利潤達到66萬元．求m的值；（3）若4月份每噸再生紙的利潤為1200元，4至6月每噸再生紙利潤的月平均增長率與6月份再生紙產量比上月增長的百分數相同，6月份再生紙項目月利潤比上月增加了25%．求6月份每噸再生紙的利潤是多少元？題型5：比賽統計問題比賽問題：解決此類問題的關鍵是分清單循環和雙循環

．例5．（2022?黑龍江）2022年北京冬奧會女子冰壺比賽有若干支隊伍參加了單循環比賽，單循環比賽共進行了45場，共有多少支隊伍參加比賽？（）A．8 B．10 C．7 D．9【變式1】首屆中國象棋比賽采用單循環制，每位棋手與棋手比賽一盤制，已知第一輪比賽共下了105場，那么參加第一輪比賽的共有幾名選手？【變式2】（2023秋·云南昆明·九年級統考期末）中國男子籃球職業聯賽（簡稱：CBA），分常規賽和季后賽兩個階段進行，采用主客場賽制（也就是參賽的每兩個隊之間都進行兩場比賽）．2022-2023CBA常規賽共要賽240場，則參加比賽的隊共有（）A．80個 B．120個 C．15個 D．16個題型6：傳播問題傳播問題：，a表示傳染前的人數，x表示每輪每人傳染的人數，n表示傳染的輪數或天數，A表示最終的人數．例6．（2023秋·浙江臺州·九年級統考期末）一人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染幾個人？設每輪傳染中平均一個人傳染個人．根據題意列出方程為（

）A． B．C． D．【變式1】（2023·寧夏銀川·?？家荒＃┯幸粋€人患流感，經過兩輪傳染后共有81個人患流感，每輪傳染中平均一個人傳染幾個人？設每輪傳染中平均一個人傳染個人，可到方程為（

）A． B． C． D．【變式2】（2023·全國·九年級專題練習）有一人感染了某種病毒，經過兩輪傳染后，共有256人感染了該種病毒，求每輪傳染中平均每人傳染了多少個人．【過關檢測】一、單選題1．（2023·廣西·統考中考真題）據國家統計局發布的《2022年國民經濟和社會發展統計公報》顯示，2020年和2022年全國居民人均可支配收入分別為3.2萬元和3.7萬元．設2020年至2022年全國居民人均可支配收入的年平均增長率為x，依題意可列方程為（

）A． B．C． D．2．（2023·山西太原·校聯考三模）三國時期的數學家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載了一元二次方程的幾何解法，例如可構造如圖所示的圖形求解方程，這一過程體現的數學思想是（

）

A．統計思想 B．化歸思想 C．分類討論思想 D．數形結合思想3．（2023·西南大學附中校考三模）某中學連續3年開展植樹活動，已知第一年植樹500棵，第三年植樹720棵，若設該校這兩年植樹棵數的年平均增長率為x，根據題意，下面所列方程正確的是（

）A． B．C． D．4．（2023·全國·九年級假期作業）某縣年人均可支配收入為萬元，年達到萬元，若年至年間每年人均可支配收入的增長率都為，則下面所列方程正確的是（

）A． B．C． D．5．（2020秋·廣東廣州·九年級廣州市第十三中學?？计谥校┣嗌酱宸N的水稻2018年平均每公頃產7200，2020年平均每公頃產8500，設水稻每公頃產量的年平均增長率為x，由題意所列方程正確的是(

)A． B．C． D．6．（2023·黑龍江·統考中考真題）如圖，在長為，寬為的矩形空地上修筑四條寬度相等的小路，若余下的部分全部種上花卉，且花圃的面積是，則小路的寬是（

）

A． B． C．或 D．7．（2023春·黑龍江大慶·九年級?？计谀┠硻C械廠七月份生產零件50萬個，第三季度共生產零件196萬個．設該廠八，九月份平均每月的增長率為x，則可以得到關于x的方程是（）A． B．C． D．8．（2023·全國·九年級假期作業）有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了（

）個人．A．8 B．9 C．10 D．119．（2023·黑龍江佳木斯·?？既＃┠撤N品牌運動服經過兩次降價，每件零售價由元降為元．已知兩次降價的百分率都是，則x的值是（）A． B．25 C． D．2010．（2023·全國·九年級假期作業）空地上有一段長為a米的舊墻，工人師傅欲利用舊墻和木棚欄圍成一個封閉的長方形菜園（如圖），已知木柵欄總長為40米，所圍成的長方形菜園面積為S平方米．若，，則（）

A．有一種圍法 B．有兩種圍法 C．不能圍成菜園 D．無法確定有幾種圍法二、填空題11．（2023·全國·九年級假期作業）用一條長為的鐵絲圍成一個斜邊長為的直角三角形，則這個直角三角形的面積為____．12．（2023·山西大同·大同一中校考模擬預測）2023“全晉樂購”網上年貨節活動期間，某商家購進一批進價為80元/盒的呂梁沙棘汁，按150元/盒的價格進行銷售，每天可售出160盒．后經市場調查發現，當每盒價格降低1元時，每天可多售出8盒．若要每天盈利16000元，設每盒價格降低元，則可列方程為___________．13．（2020秋·廣東廣州·九年級廣州市第十三中學?？计谥校┠硨W校組織籃球比賽，實行單循環制，共有36場比賽，則參加的隊數為___．14．（2023春·黑龍江大慶·九年級校考期末）如圖，在中，，，，現有動點P從點A出發，沿向點C方向運動，動點Q從點C出發，沿線段向點B方向運動，如果點P的速度是，點Q的速度是．P、Q兩點同時出發，當有一點到達所在線段的端點時，另一點停止運動．設運動時間為t秒．當__________s時，平分的面積．15．（2023·內蒙古·二模）端午節又稱端陽節，是中華民族重要的傳統節日，我國各地都有吃粽子的習俗，某超市以9元每袋的價格購進一批棕子，根據市場調查，售價定為每袋15元，每天可售出200袋；若售價每降低1元，則可多售出70袋，問此種粽子售價降低多少元時，超市每天售出此種粽子的利潤可達到1360元？若設每袋棕子售價降低x元，則可列方程為____________．16．（2023·全國·九年級假期作業）如圖，在寬為，長為的矩形地面上修建兩條同樣寬且互相垂直的道路，其余部分作為耕地為．則道路的寬為是______．17．（2022秋·廣東佛山·九年級校聯考階段練習）某葡萄種植基地2019年種植“早黑寶”100畝，到2021年“早黑寶”的種植面積達到225畝．該基地這兩年“早黑寶”種植面積的年均增長率為___________．18．（2023·全國·九年級專題練習）如圖是一塊矩形菜地，面積為．現將邊增加．

（1）如圖1，若，邊減少，得到的矩形面積不變，則的值是__________．（2）如圖2，若邊增加，有且只有一個的值，使得到的矩形面積為，則的值是__________．三、解答題19．（2023·全國·九年級假期作業）一個兩位數是一個一位數的平方，把這個一位數放在這個兩位數的左邊所成的三位數，比把這個一位數放在這個兩位數的右邊所成的三位數大，求這個兩位數．20．（2022秋·甘肅平涼·九年級?？茧A段練習）某商場銷售一批服裝，平均每天可售出20件，每件盈利40元，經市場調查發現，每件服裝每降價1元，商場平均每天就可以多售出2件，若使商場每天盈利1200元，每件服裝應降價多少元？21．（2023·山東東營·統考中考真題）如圖，老李想用長為的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長）圍成一個矩形羊圈，并在邊上留一個寬的門（建在處，另用其他材料）．

(1)當羊圈的長和寬分別為多少米時，能圍成一個面積為640的羊圈？(2)羊圈的面積能達到嗎？如果能，請你給