【暑假拔高訓練】七年級全等三角形綜合尖子生培優系列 專題07 對角互補模型的綜合應用（解析版）（北師大版）

專題07對角互補模型的綜合應用模型說明應用：通過做垂線或者利用旋轉構造全等三角形解決問題。題型精講例1.（基本模型）【課題研究】旋轉圖形中對應線段所在直線的夾角（小于等于90°的角）與旋轉角的關系．【問題初探】線段AB繞點O順時針旋轉得到線段CD，其中點A與點C對應，點B與點D對應，旋轉角的度數為α，且0°＜α＜180°．（1）如圖①，當α＝60°時，線段AB、CD所在直線夾角（銳角）為；（2）如圖②，當90°＜α＜180°時，直線AB與直線CD所夾銳角與旋轉角α存在怎樣的數量關系？請說明理由；【形成結論】旋轉圖形中，當旋轉角小于平角時，對應線段所在直線的夾角與旋轉角．【答案】（1）60°；（2）互補，理由見解析；【形成結論】相等或互補；（3）【詳解】解：（1）如圖1，延長交于，交于，，，線段繞點順時針旋轉得線段，，，，，，，，，故答案為：；（2）直線與直線所夾銳角角與旋轉角互補，理由如下：如圖2，延長，交于點，線段繞點順時針旋轉得線段，，，，，，，，，，直線與直線所夾銳角角與旋轉角互補．形成結論由（1）（2）（3）可知：旋轉圖形中，當旋轉角小于平角時，對應線段所在直線的所夾銳角角與旋轉角：相等或互補．故答案為：相等或互補．【變式訓練】已知，點為等邊三角形所在平面內一點，且．(1)如圖（1），，求證：；(2)如圖（2），點在內部，且，求證：；(3)如圖（3），點在內部，為上一點，連接，若，求證：．【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)見解析【分析】（1）證明即可；（2）將繞A逆時針旋，得到，點P的對應點為E，連接，首先證明是等邊三角形，從而得出，再利用含角的直角三角形的性質，可得答案；（3）將繞A逆時針旋，得到，點P的對應點為E，連接，同理得是等邊三角形，過點C作平行于，交的延長線于點N，再利用證明，得，再證明，從而解決問題．【詳解】（1）是等邊三角形，，，，，，；（2），，將繞A逆時針旋轉，得到，點P的對應點為E，連接，則，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∴；（3）將繞A逆時針旋，得到，點P的對應點為E，連接，同理可知，是等邊三角形，∴，，，又，過點C作交的延長線于點N，則又，由旋轉得，∴又，∴，在和中，，∴，∴，∴，在和中，，∴【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質，旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，含30°角的直角三角形的性質等知識，利用旋轉將分散條件集中到一個三角形中是解題的關鍵．例2.（正方形中的互補模型）探究問題：(1)方法感悟：如圖①，在正方形ABCD中，點E，F分別為DC，BC邊上的點，且滿足∠BAF＝45°，連接EF，求證DE＋BF＝EF．感悟解題方法，并完成下列填空：將△ADE繞點A順時針旋轉90°得到△ABG，此時AB與AD重合，由旋轉可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴

∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，因此，點G，B，F在同一條直線上．∵

∠EAF＝45°∴

∠2＋∠3＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°．∵

∠1＝∠2，∠1＋∠3＝45°．即∠GAF＝∠________．又AG＝AE，AF＝AE∴

△GAF≌△________．∴

_________＝EF，故DE＋BF＝EF．(2)方法遷移：如圖②，將Rt△ABC沿斜邊翻折得到△ADC，點E，F分別為DC，BC邊上的點，且∠EAF＝∠DAB．試猜想DE，BF，EF之間有何數量關系，并證明你的猜想．【答案】(1)EAF、△EAF、GF；(2)DE＋BF＝EF.【詳解】解：（1）如圖①所示；根據等量代換得出∠GAF=∠FAE，利用SAS得出△GAF≌△EAF，∴GF=EF，故答案為FAE；△EAF；GF；(2)DE＋BF＝EF，理由如下：假設∠BAD的度數為m，將△ADE繞點A順時針旋轉，m°得到△ABG，如圖，此時AB與AD重合，由旋轉可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，因此，點G，B，F在同一條直線上．∵

，∴

．∵

∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝．即∠GAF＝∠EAF．∵在△AGF和△AEF中，，∴△GAF≌△EAF（SAS）．∴GF＝EF．又∵GF＝BG＋BF＝DE＋BF，∴DE＋BF＝EF．【變式訓練】在中，，．將一塊三角板的直角頂點放在斜邊的中點處，將三角板繞點旋轉，三角板的兩直角邊分別交邊、于點D、E．(1)如圖①，當時，則的值是________．(2)如圖②，當與不垂直時，（1）中的結論是否還成立？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由；(3)如圖③，在內作，使得、分別交、于點、，連接．那么的周長是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由．【答案】(1)2；(2)依然成立(3)的周長為定值，且周長為2【分析】（1）由等腰三角形的性質和為斜邊的中點可知，，所以的值可求；（2）結論成立．連接，通過證明≌．可得，所以；（3）的周長為定值，且周長為2．在上截取，通過證明≌，得到．所以．【詳解】（1）連∵P是的中點，，∴∵，∴∴四邊形是矩形，∴又∵∴∴；故答案為：2；（2）結論成立．連接，如圖②．是等腰直角三角形，是的中點，，，．，．．又，．≌．，．（3）的周長為定值，且周長為2．在上截取，如圖③，由（2）可知：，，，，．，又，≌，．．的周長是2．【點睛】此題比較復雜，綜合考查全等三角形的判定與性質、矩形的判定與性質、圖形的變換．綜合性很強，是一道不錯的題目．遷移應用1．問題背景如圖（1），在四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，∠BAD＝α，以點A為頂點作一個角，角的兩邊分別交BC，CD于點E，F，且∠EAFα，連接EF，試探究：線段BE，DF，EF之間的數量關系．（1）特殊情景在上述條件下，小明增加條件“當∠BAD＝∠B＝∠D＝90°時”如圖（2），小明很快寫出了：BE，DF，EF之間的數量關系為______．（2）類比猜想類比特殊情景，小明猜想：在如圖（1）的條件下線段BE，DF，EF之間的數量關系是否仍然成立？若成立，請你幫助小明完成證明；若不成立，請說明理由．【答案】（1）BE+DF＝EF；（2）成立；【詳解】解：（1）BE+DF＝EF，如圖1，將△ABE繞點A逆時針旋轉90°，得到△ADG，∵∠ADC＝∠B＝∠ADG＝90°，∴∠FDG＝180°，即點F，D，G共線．由旋轉可得AE＝AG，BE＝DG，∠BAE＝∠DAG．∵∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣∠BAD=90°-45°＝45°，∴∠DAG+∠DAF＝45°，即∠FAG=45°，∴∠EAF＝∠FAG，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF＝FG．又∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴BE+DF＝EF，故答案為BE+DF＝EF．（2）成立．如圖2，將△ABE繞點A逆時針旋轉α得到△ADH，可得∠ABE＝∠ADH，∠BAE＝∠DAH，AE＝AH，BE＝DH．∵∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADH+∠ADC＝180°，∴點C，D，H在同一直線上．∵∠BAD＝α，∠EAFα，∴∠BAE+∠FADα，∴∠DAH+∠FADα，∴∠FAH＝∠EAF，又∵AF＝AF，∴△AEF≌△AHF（SAS），∴EF＝FH＝DF+DH＝DF+BE；2．在中，，．將一個含45°角的直角三角尺按圖所示放置，使直角三角尺的直角頂點D恰好落在邊的中點處．將直角三角尺繞點D旋轉，設交于點N，交于點M，示意圖如圖所示．(1)【證明推斷】求證：；小明給出的思路：若要證明，只需證明即可．請你根據小明的思路完成證明過程；(2)【延伸發現】連接，，如圖所示，求證：；(3)【遷移應用】延長交于點P，交于點Q．在圖中完成如上作圖過程，猜想并證明和的位置關系．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)，見解析【分析】（1）在中，根據點D是的中點，得出，由，是直角三角尺，得出，從而得到，在和中，立即證明全等，由性質即可解答；（2）根據，得出，，，從而得到，由于是含45°直角三角尺，推出，利用即可證明和全等，從而求解；（3）猜想：，理由：根據和，得出，又根據，等量代換得到從而證明．【詳解】（1）證明：在中，∵，，∴，又∵點D是的中點，∴，且，∴，又∵是直角三角尺，∴，即，∴在和中∴，∴；（2）證明：∵∴，，∴，且由于是含45°直角三角尺，∴，∴即在和中∴，∴；（3）解：作圖正確（如圖所示）猜想：，理由如下：∵，∴，∵，∴又∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了旋轉的性質、直角三角尺的特征、全等三角形的判定及性質，解題的關鍵是掌握三角形全等的判定及性質．3．問題：如圖(1)，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，試判斷BE、EF、FD之間的數量關系．【發現證明】小聰把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG,從而發現EF=BE+FD,請你利用圖（1）證明上述結論．【類比引申】如圖(2)，四邊形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,點E、F分別在邊BC、CD上,則當∠EAF與∠BAD滿足關系時，仍有EF=BE+FD．【答案】【發現證明】證明見解析；【類比引申】∠BAD=2∠EAF；【探究應用】109．2米．【解析】解：如圖（1），∵△ADG≌△ABE，∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，又∵∠EAF=45°，即∠DAF+∠BEA=∠EAF=45°，∴∠GAF=∠FAE，在△GAF和△FAE中，AG=AE，∠GAF=∠FAE，AF=AF，∴△AFG≌△AFE（SAS）．∴GF=EF．又∵DG=BE，∴GF=BE+DF，BE+DF=EF．【類比引申】∠BAD=2∠EAF．理由如下：如圖（2），延長CB至M，使BM=DF，連接AM，∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°，∴∠D=∠ABM，在△ABM和△ADF中，AB=AD，∠ABM=∠D，BM=DF，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AF=AM，∠DAF=∠BAM，∵∠BAD=2∠EAF，∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF，在△FAE和△MAE中，AE=AE，∠FAE=∠MAE，AF=AM，∴△FAE≌△MAE（SAS），∴EF=EM=BE+BM=BE+DF，即EF=BE+DF．故答案是：∠BAD=2∠EAF．4．如圖，點E是正方形ABCD的邊BC上一點，連接DE，將DE繞著點E逆時針旋轉90°，得到EG，過點G作GF⊥CB，垂足為F，GH⊥AB，垂足為H，連接DG，交AB于I．(1)求證：(2)求證：四邊形BFGH是正方形；(3)求證：ED平分∠CEI【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）先證明∠FEG=∠EDC，即可利用AAS證明全等；（2）首先證明四邊形FBHG是矩形，再證明FB=FG即可解決問題；（3）延長BC到J，使得CJ=AI．證明△IDE≌△JDE（SAS）即可解決問題．（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠DCE=∠ABC=∠ABF=90°，∵GF⊥CF，GH⊥AB，∴∠F=∠GHB=∠FBH=90°，∴四邊形FBHG是矩形，∵ED=EG，∠DEG=90°，∵∠DEC+∠FEG=90°，∠DEC+∠EDC=90°，∴∠FEG=∠EDC，在△DCE和△EFG中∴△DCE≌△EFG（AAS），（2）∵△DCE≌△EFG∴FG=EC，EF=CD，∵CB=CD，∴EF=BC，∴BF=EC，∴BF=GF，∵四邊形FBHG是矩形∴四邊形FBHG是正方形．（3）延長BC到J，使得CJ=AI．∵DA=DC，∠A=∠DCJ=90°，AI=CJ，∴△DAI≌△DCJ（SAS），∴DI=DJ，∠ADI=∠CDJ，∴∠IDJ=∠ADC=90°，∵∠IDE=45°，∴∠EDI=∠EDJ=45°，∵DE=DE，∴△IDE≌△JDE（SAS），∴∠DEI=∠DEJ，∴DE平分∠IEC．【點睛】本題考查旋轉變換，正方形的性質和判定，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．5．在內有一點，過點分別作，，垂足分別為，．且，點，分別在邊和上．（1）如圖1，若，請說明；（2）如圖2，若，，猜想，，具有的數量關系，并說明你的結論成立的理由．【答案】（1）見解析；（2），見解析【詳解】解：（1），，，在和中，．；（2），理由：過點作，交于點，在和中，，，，．，，．，．在和中，，．，．6．如圖①，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足為D．(1)S△ABD=．（直接寫出結果）(2)如圖②，將△ABD繞點D按順時針方向旋轉得到△A′B′D，設旋轉角為α(α<90°)，在旋轉過程中：探究一：四邊形APDQ的面積是否隨旋轉而變化？說明理由；探究二：當α=________時，四邊形APDQ是正方形．【答案】(1)4(2)四邊形APDQ的面積不會隨旋轉而變化，理由見詳解；當時，四邊形APDQ是正方形．【分析】（1）根據等腰三角形的性質，由得，則；（2）①在中，根據等腰直角三角形的性質得，易得，，再利用等角的余角相等得到，于是可判斷，所以，即可判斷四邊形的面積不會隨旋轉而變化；②由于，則當時，四邊形為矩形，加上，于是可判斷四邊形是正方形，此時，即．【解析】（1）解：，，，，；故答案為4；（2）解：①四邊形的面積不會隨旋轉而變化．理由如下：在中，，，，，，，，又，，，在和中，，（ASA），；②時，四邊形是正方形．理由如下：，當時，而，四邊形為矩形，，，四邊形是正方形，此時，即．【點睛】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了等腰直角三角形的性質和正方形的判定．7．如圖所示，為等邊三角形，邊長為4，點為邊中點，，其兩邊分別交和的延長線于，，求的值.【答案】6【分析】過點O作OC∥AB交AD于點C，根據等腰三角形的性質就可以得出△OCF≌△OBE，就可以得出CF=BE，進而可以得出結論．【詳解】過點O作OD∥AB交AC于點D，∴∠CDO=∠A=∠ACB=∠ABC=60°，∴∠DOC=60°，∠ADO=∠BOD=120°．∴△CDO是等邊三角形，∴DO=CO，∴DO=BO=AD．∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC．∠CAB=∠ABC=∠C=60°，∴∠OBE=120°，∴∠ODF=∠OBE．∵∠FOB+∠BOE=∠EOF=120°，∠DOF+∠FOB=∠BOD=120°∴∠FOD=∠EOB．在△DOF和△BOE中，，∴△DOF≌△BOE（ASA）．∴FC=EB．OF=OE．∵AE=AB+BE，∴AE=AB+DF，∴AE=AB+AD+AF，∴AE-AF=AB+AD．∵AB+AD=AB，∴AE-AF=AB．∵AB=4，∴AE-AF=6.【點睛】本題考查了等邊三角形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，線段中點的性質的運用，解答時正確作輔助線證明三角形全等是關鍵．8．在四邊形中，，，，、分別是，上的點，且，在探究圖1中線段，，之間的數量關系過程中．(1)你嘗試添加了怎樣的