高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)4.3等比數(shù)列同步練習(xí)（含解析）

人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)4.3等比數(shù)列同步練習(xí)一、單選題1．?dāng)?shù)列中，，對(duì)任意，若，則（）A．2 B．3 C．4 D．52．設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則A． B． C． D．3．十九世紀(jì)下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).著名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過(guò)程如下：將閉區(qū)間均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第一次操作；再將剩下的兩個(gè)區(qū)間段，分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第二次操作；如此這樣，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個(gè)區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段.操作過(guò)程不斷地進(jìn)行下去，以至無(wú)窮，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”.若使去掉的各區(qū)間長(zhǎng)度之和不小于，則需要操作的次數(shù)的最小值為(參考數(shù)據(jù)：，)（

）A． B． C． D．4．已知數(shù)列滿足，，則的前30項(xiàng)之和為（

）A． B． C． D．5．已知在數(shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．6．已知數(shù)列滿足，且，若，則（

）A． B． C． D．7．若1，a，3成等差數(shù)列，1，b，4成等比數(shù)列，則的值為（

）A． B． C．1 D．8．設(shè)函數(shù)，利用課本（蘇教版必修）中推導(dǎo)等差數(shù)列前項(xiàng)和的方法，求得的值為（

）A． B． C． D．9．等比數(shù)列中，，，數(shù)列，的前項(xiàng)和為，則的值為（

）A． B． C． D．10．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S10＝1，S30＝13，S40＝（）A．﹣51 B．﹣20 C．27 D．4011．在數(shù)列中，，且，則的通項(xiàng)為（

）A． B．C． D．12．已知、、、成等差數(shù)列，、、、、成等比數(shù)列，則（

）A． B． C． D．13．《算法統(tǒng)宗》中有一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，出行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還”，問(wèn)第二天走了（

）A．192里 B．96里 C．48里 D．24里14．等比數(shù)列中，已知，，則（

）A． B． C． D．15．已知等比數(shù)列滿足，且，則（

）A．8 B．16 C．32 D．64二、填空題16．在數(shù)列及中，，，，，設(shè)，則___________.17．已知等比數(shù)列的公比，其前n項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的前2021項(xiàng)和為_(kāi)__________.18．已知數(shù)列滿足：，，(且)，等比數(shù)列公比，則數(shù)列的前項(xiàng)和___________.三、解答題19．已知數(shù)列{an}，{bn}，{cn}中，．（Ⅰ）若數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且公比，且，求q與{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且公差，證明：．20．?dāng)?shù)列滿足：，點(diǎn)在函數(shù)圖象上，其中為常數(shù)，且.（1）若，，成等比數(shù)列，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．已知等差數(shù)列中，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.22．在①=12，②2=3，③=24這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中并作答.已知是公差不為0的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且=，=，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.參考答案：1．C取，可得出數(shù)列是等比數(shù)列，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用等比數(shù)列求和公式可得出關(guān)于的等式，由可求得的值.【詳解】在等式中，令，可得，，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，則，，，則，解得.故選：C.本題考查利用等比數(shù)列求和求參數(shù)的值，解答的關(guān)鍵就是求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查計(jì)算能力，屬于中等題.2．B推導(dǎo)出數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，由可得出，代值計(jì)算即可得解.【詳解】在數(shù)列中，，，則，，，以此類推可知，對(duì)任意的，，即數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，，因此，.故選：B.思路點(diǎn)睛：根據(jù)遞推公式證明數(shù)列是周期數(shù)列的步驟：（1）先根據(jù)已知條件寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)，直至出現(xiàn)數(shù)列中的循環(huán)項(xiàng)，判斷循環(huán)的項(xiàng)包含的項(xiàng)數(shù)；（2）證明，則可說(shuō)明數(shù)列是周期為的周期數(shù)列.3．C根據(jù)規(guī)律可總結(jié)出第次操作去掉區(qū)間的長(zhǎng)度和為，利用等比數(shù)列求和公式可求得去掉區(qū)間的長(zhǎng)度總和，由此構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】第一次操作去掉的區(qū)間長(zhǎng)度為；第二次操作去掉兩個(gè)長(zhǎng)度為的區(qū)間，長(zhǎng)度和為；第三次操作去掉四個(gè)長(zhǎng)度為的區(qū)間，長(zhǎng)度和為；以此類推，第次操作去掉個(gè)長(zhǎng)度為的區(qū)間，長(zhǎng)度和為，進(jìn)行了第次操作后，去掉區(qū)間長(zhǎng)度和，由，即，，又，的最小值為.故選：C.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)已知所給的規(guī)律總結(jié)出每次操作去掉的區(qū)間長(zhǎng)度和成等比數(shù)列，并能得到等比數(shù)列通項(xiàng)公式.4．A由，得到，從而是等比數(shù)列，求得通項(xiàng)公式，再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解【詳解】因?yàn)椋裕允枪葹?的等比數(shù)列，所以，所以.故選：A本題主要考查遞推數(shù)列以及等比數(shù)列的求和，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題..5．A依題意可得，即可得到是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算可得；【詳解】解:因?yàn)椋裕淼茫詳?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．所以，解得．故選：A6．B據(jù)題意求出，判斷出數(shù)列遞減，且，再對(duì)兩邊取倒數(shù)，然后平方整理得，再利用單調(diào)性進(jìn)行放縮，可得出當(dāng)時(shí)，，結(jié)合不等式的性質(zhì)即可得解.【詳解】解析：，且，∴，，則，∵，∴，即數(shù)列遞減，則，∵，∴兩邊取倒數(shù)得，即，則，∵數(shù)列遞減，∴當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，，，，∴根據(jù)不等式的性質(zhì)可得，即，∴.同理：，與選項(xiàng)范圍不符.故選：B7．D利用等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出，從而可得答案.【詳解】因?yàn)?，a，3成等差數(shù)列，1，b，4成等比數(shù)，所以，所以的值為，故選：D.8．B先計(jì)算出的值，然后利用倒序相加法即可計(jì)算出所求代數(shù)式的值.【詳解】，，設(shè)，則，兩式相加得，因此，.故選：B.本題考查函數(shù)值的和的求法，注意運(yùn)用倒序相加法，求得是解題的關(guān)鍵，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．9．B先求出，從而可得，然后利用裂項(xiàng)相消求和法可求出【詳解】由題意得，所以，所以.故選：B10．D由{an}是等比數(shù)列可得S10，S20﹣S10，S30﹣S20，S40﹣S30成等比數(shù)列，列方程組，從而即可求出S40的值．【詳解】由{an}是等比數(shù)列，且S10＝1＞0，S30＝13＞0，得S20＞0，S40＞0，且1＜S20＜13，S40＞13所以S10，S20﹣S10，S30﹣S20，S40﹣S30成等比數(shù)列，即1，S20﹣1，13﹣S20，S40﹣13構(gòu)成等比數(shù)列，∴（S20﹣1）2＝1×（13﹣S20），解得S20＝4或S20＝﹣3（舍去），∴（13﹣S20）2＝（S20﹣1）（S40﹣13），即92＝3×（S40﹣13），解得S40＝40．故選：D．11．A依題意可得，即可得到是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算可得；【詳解】解：∵，∴，由，得，∴數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴，即．故選：A12．D利用等差數(shù)列的性質(zhì)可求得的值，利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)可求得的值，進(jìn)而可求得結(jié)果.【詳解】由于、、、成等差數(shù)列，可得，設(shè)等比數(shù)列、、、、的公比為，則，由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得，，因此，.故選：D.13．B由題可知每天走的里數(shù)形成公比為的等比數(shù)列，且，求出即可.【詳解】設(shè)每天走的里數(shù)形成數(shù)列，則由題可得是公比為的等比數(shù)列，且，即，解得，則，即第二天走了96里.故選：B.14．B設(shè)等比數(shù)列的公比為，計(jì)算出的值，由此可得出的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，即，可得，因此，.故選：B.15．A先由題意求出公比，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出的值【詳解】等比數(shù)列滿足，且，則，解得，，故選．本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.16．由題意可得，，進(jìn)而可知與為等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，即可求解【詳解】由，，得，，而，，∴是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，∴，，則.故答案為：17．根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式得到方程組，求出和，即可得到，從而得到，再利用裂項(xiàng)相消法求和即可；【詳解】解：因，所以，所以，得或（舍去），所以，故.因?yàn)椋?故答案為：18．由遞推關(guān)系可得，解方程即可求出，代入遞推關(guān)系式可得，證明數(shù)列為等差數(shù)列，即可求解，根據(jù)錯(cuò)位相減法求和即可.【詳解】因?yàn)椋?且)，①當(dāng)時(shí)，，即，由等比數(shù)列的的公比為，即，解得，所以，當(dāng)時(shí)，，即，解得，又(，且)，②①-②可得，，即，化為，又，所以為等差數(shù)列，且公差，則，所以，，上面兩式相減可得，所以.故答案為：.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由遞推關(guān)系式可得出，再由遞推關(guān)系式得出為等差數(shù)列是解題的關(guān)鍵，求出后利用錯(cuò)位相減法求和，屬于難題.19．（I）；（II）證明見(jiàn)解析.（I）根據(jù)，求得，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用累加法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（II）利用累乘法求得數(shù)列的表達(dá)式，結(jié)合裂項(xiàng)求和法證得不等式成立.【詳解】（I）依題意，而，即，由于，所以解得，所以.所以，故，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以.所以（）.所以，又，符合，故.（II）依題意設(shè)，由于，所以，故.又，而，故所以.由于，所以，所以.即，.本小題主要考查累加法、累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查裂項(xiàng)求和法，屬于中檔題.20．（1）；（2）.（1）由可算出，，，然后利用求解即可；（2），然后分為偶數(shù)、為奇數(shù)兩種情況求解即可.【詳解】（1）由可得，，所以，，又，，成等比數(shù)列，所以，則又，故（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，綜上所述，21．（1）；（2）.（1）先設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題中條件，列出方程求出首項(xiàng)和公差，即可得出通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，得到，再由等比數(shù)列的求和公式，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋裕獾茫裕唬?）由（1）可得，，即數(shù)列為等比數(shù)列，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.22．（1）答案見(jiàn)解析；（2）答案見(jiàn)解析.（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由題意可得，根據(jù)所選條件求得的值，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)所選條件求得和的值，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用分組求和法可求得數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解