2026年安徽中考數學二輪復習 專題11 新定義與閱讀理解型問題(題型專練)

Page專題11新定義與閱讀理解型問題內●容●導●航第一部分題型破譯微觀解剖，精細教學典例引領方法透視變式演練題型01代數類新定義問題題型02幾何類新定義問題題型03函數類新定義問題·第二部分題型訓練整合應用，模擬實戰題●型●破●譯題型01代數類新定義問題典例引領【典例01】（定義新運算）高斯被認為是歷史上最杰出的數學家之一，享有“數學王子”之稱，現有一種高斯定義的計算式，已知[x]表示不超過的最大整數，例如，，現定義，例如，則______．【答案】3.8【分析】本題主要考查了新定義，有理數的加減計算，熟練掌握新定義是解題的關鍵．先根據新定義求出，，據此代入計算即可．【詳解】解：∵，，∴故答案為：3.8【典例02】對于有理數，，定義運算，如定義，，照此定義運算方式計算：___________.【答案】【分析】根據新定義的運算規則，代入求值即可．【詳解】解：∵，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查實數的混合運算以及負整數指數冪，掌握有實數和負整數指數冪運算法則是解題的關鍵．方法透視考向解讀核心考查新定義的代數運算（如新定義運算、新定義數、新定義代數式），本質是將新定義轉化為初中階段學過的有理數運算、整式運算、分式運算、方程與不等式等知識點。考向特點是“定義簡潔，運算核心”，難度中等，重點考查學生的“翻譯能力”和運算精準度，容易因讀懂定義不透徹、運算失誤、忽略定義限制條件丟分方法技能核心思路：第一步“讀懂定義”，逐字逐句分析新定義的含義，明確運算規則、適用范圍；第二步“翻譯轉化”，將新定義的運算或概念，轉化為初中階段學過的代數運算；第三步“精準運算”，按照轉化后的運算規則，結合代數運算技巧，完成計算或推理。關鍵技巧：①定義拆解：將復雜的新定義拆解為幾個簡單的基本運算，標注關鍵條件；②特殊值驗證：遇到抽象的新定義，可代入特殊值，快速理解定義的本質，驗證運算結果是否正確；③運算規范：嚴格按照新定義的規則運算，避免混淆新定義與常規運算，計算時分步進行，減少失誤。易錯點規避：未讀懂定義的核心規則，盲目運算；忽略新定義的取值限制；運算過程中符號錯誤、公式誤用；未驗證運算結果是否符合定義要求變式演練【變式01】定義新運算：對于任意有理數a，b，都有，等式右邊是通常的加法、減法及乘法運算，比如，數字2和5在該新運算下結果為-5，計算如下：(1)求的值；(2)對于有理數a，b，若定義運算：，計算的值等于____________；(3)請你定義一種新運算，使得數字和6在你定義的新運算下結果為20，寫出你定義的新運算．【答案】(1)11(2)7(3)．【分析】此題主要考查了定義新運算，以及有理數的混合運算，要熟練掌握，注意明確有理數混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應按從左到右的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內的運算．（1）根據的含義，以及有理數的混合運算的運算方法，求出的值是多少即可；（2）根據的含義，以及有理數的混合運算的運算方法，求出的值是多少即可；（3）根據，由構造出4，由6構造出5，寫出定義的新運算即可．【詳解】（1）解：∵，∴；（2）解：∵，∴；故答案為：7；（3）解：要使得數字和6在你定義的新運算下運算的結果為20，我定義的新運算為：，∴，符合題意．【變式02】在教科書第二章《有理數及其運算》中，我們學習了有理數的五種運算，學會了研究運算的方法，現定義一種新運算：，定義的內容被遮蓋住了，觀察各式，并回答下列問題：；；．(1)請你補全定義內容：______（用含，的代數式表示）(2)先計算和，再說明新定義的運算“”是否滿足交換律，即是否成立．(3)若，求的值．【答案】(1)(2)，，見解析(3)【分析】本題主要考查了列代數式，解一元一次方程，求代數式的值，解題的關鍵是掌握新定義的運算法則；（1）根據給出的式子總結規律：，即可得到答案；（2）根據（1）中總結的規律進行計算和驗證；（3）利用（1）中的規律列方程，解方程即可．【詳解】（1）解：由題意可得，，故答案為：（2），∴，∵，，∴，∴新定義的運算“”滿足交換律，即成立．（3）∵∴，解得【變式03】甲同學說：“我定義了一種新的運算，叫*（加乘）運算．“然后他寫出了一些按照*（加乘）運算的運算法則進行運算的算式：；；；；；．乙同學看了這些算式后說：“我知道你定義的*（加乘）—運算的運算法則了．”聰明的你也明白了嗎？(1)請你根據甲同學定義的*（加乘）運算的運算法則，計算下列式子：______；______；______；______．(2)請你嘗試歸納甲同學定義的*（加乘）運算的運算法則．兩數進行*（加乘）運算時，同號得_____、異號得_____、并把_____相加．特別地，0和任何數進行*（加乘）運算，______．(3)我們知道有理數的加法有結合律，請判斷這種新運算“*”是否具有結合律？并舉一個例子驗證你的結論．【答案】(1)；(2)正；負；絕對值；等于這個數的絕對值；(3)新運算不具有結合律；見解析【分析】本題考查的是新定義運算，同時考查的是有理數的加法運算，絕對值的含義，理解新定義，歸納總結運算法則是解本題的關鍵．（1）根據題干提供的運算特例的運算特點分別進行計算即可；（2）根據題意歸納可得加乘運算的運算法則即可；（3）對于加乘運算的結合律，可舉例，進行運算后再判斷即可．【詳解】（1）解：根據加乘運算的運算法則可得：；；，；故答案為：；（2）解：兩數進行*（加乘）運算時，同號得正，異號得負，并把絕對值相加．特別地，0和任何數進行*（加乘）運算，等于這個數的絕對值．故答案為：正；負；絕對值；等于這個數的絕對值；（3）解：新運算不具有結合律，例如：，，∴故新運算不具有結合律．題型02幾何類新定義問題典例引領【典例01】菱形、矩形與正方形的形狀有差異，我們將菱形、矩形與正方形的接近程度稱為菱形或甲形的“接近度”(1)設菱形相鄰兩個內角的度數分別為，，若我們將菱形的“接近度”定義為，于是越小，菱形就越接近正方形．①當菱形的一個內角為時，“接近度”=________；②當菱形的“接近度”=________時，菱形就是正方形；(2)若我們將菱形的“接近度”定義為，則：①菱形的一個內角為時，“接近度”=________；②在這種情況下，菱形的“接近度”=________時，菱形就是正方形；(3)甲、乙兩位同學仿照菱形的“接近度”定義，給出了兩種矩形的“接近度”定義，在你認為合理的定義后面打“√”，不合理的定義后面打“×”．①甲：設矩形相鄰兩條邊長分別為，，將矩形的“接近度”定義為，于是越小，矩形越接近于正方形．________②乙：設矩形相鄰兩條邊長分別為，，將矩形的“接近度”定義為，于是越小，矩形越接近于正方形．________【答案】(1)①

②(2)①

②(3)①×

②×【分析】此題主要考查了正方形的判定和性質，菱形的性質，正確理解“接近度”的意思是解決問題的關鍵．（1）①②根據菱形的“接近度”定義，越小，菱形就越接近正方形，解答即可；（2）①②根據菱形的“接近度”定義為，解答即可；（3）①不合理，舉例進行說明；②根據矩形的“接近度”定義為，只有矩形的越接近，矩形才越接近正方形，進行說明．【詳解】（1）解：①∵內角為，∴與它相鄰內角的度數為，∴菱形的“接近度”：，故答案為：；②當菱形的“接近度”等于時，菱形是正方形，故答案為：；（2）解：若我們將菱形的“接近度”定義為，則：①當菱形的一個內角為時，“接近度”；故答案為：；②當菱形的“接近度”時，菱形就是正方形，故答案為：；（3）解：①×，例如，對兩個相似而不全等的矩形來說，它們接近正方形的程度是相同的，但卻不相等.故答案為：×；②×，理由如下：越接近，矩形越接近于正方形；∴當時，矩形就變成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形，故答案為：×.【典例02】定義：點A，B為數軸上不重合的兩個點，P為數軸上任意一點，我們比較線段和的長度，當時，線段的長度定義為點P到線段的“親近距離”．當時，線段的長度定義為點P到線段的“親近距離”．特別地，當時，則線段或的長度定義為點P到線段的“親近距離”．【定義解析】例如：如圖1，在數軸上，點A表示的數是，點B表示的數是2，當點P表示的數是時，此時，，因為，所以點P到線段的“親近距離”為2．（1）如圖2，在數軸上，點A表示的數是，點B表示的數是1，當點P表示的數是4時，求點P到線段的“親近距離”；【定義應用】（2）如圖3，在數軸上，點A表示的數是，點B表示的數是2，若點P表示的數是m時，點P到線段AB的“親近距離”為3，求m的值；【定義拓展】（3）在數軸上，點P表示的數是，點A表示的數是，點B表示的數是2，點P以每秒3個單位長度的速度沿數軸向右運動，同時點B以每秒1個單位長度的速度沿數軸向右運動，設運動的時間為t秒，當點P到線段AB的“親近距離”為2時，請直接寫出t的值．【答案】（1）點P到線段的“親近距離”為3；（2）m的值為或或5；（3）t的值為或或3或5【分析】本題考查了一元一次方程與幾何圖形，數軸與動點，新定義，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．（1）先得，，結合“親近距離”的定義，即可作答．（2）根據點P到線段的“親近距離”為3時，分點P在點A左側，在點A和點B之間，在點B右側，進行分類討論，分別列式計算即可；（3）分點P在點A左側，點A和點B之間且，在點A和點B之間且，在點B右側，分別列式計算即可．【詳解】（1）解：∵點A表示的數是，點B表示的數是1，點P表示的數是4∴，∵∴則點P到線段AB的“親近距離”為3．（2）解：∵點A表示的數是，點B表示的數是2，點P表示的數是m，有三種情況：①當點P在點A左側時，∵點P到線段的“親近距離”為3∴∴；②當點P在點A和點B之間時∵點P到線段的“親近距離”為3∵，∴當時，當時，即當時，，符合題意；③當點P在點B右側時，，∵點P到線段的“親近距離”為3∴∴；綜上所述，所求m的值為或或5．（3）t的值為或或3或5．詳解：∵點P表示的數是，點A表示的數是，點B表示的數是2，點P以每秒3個單位長度的速度沿數軸向右運動，同時點B以每秒1個單位長度的速度沿數軸向右運動，設運動的時間為t秒∴點P運動t秒后表示的數為，點B運動t秒后表示的數為，分四種情況進行討論：①當點P在點A左側時，∵點P到線段的“親近距離”為2∴∴；②當點P在點A和點B之間且時∵點P到線段的“親近距離”為2∴∴；③當點P在點A和點B之間且時∵點P到線段的“親近距離”為2∴∴；④當點P在點B右側時，∵點P到線段的“親近距離”為2∴∴；綜上所述，t的值為或或3或5．方法透視考向解讀核心考查新定義的幾何概念，本質是將新定義轉化為三角形、四邊形、圓的性質、幾何變換等核心知識點。考向特點是“定義抽象，圖形核心”，難度中等偏上，重點考查學生的圖形識別能力、推理能力和知識遷移能力，容易因讀懂定義不透徹、圖形分析不清晰、推理步驟不規范丟分方法技能核心思路：第一步“解讀定義，繪制圖形”，逐句分析新定義的幾何特征，結合已知條件，畫出符合定義的圖形；第二步“提煉本質，轉化知識點”，將新定義的幾何特征，轉化為學過的幾何性質；第三步“推理計算”，結合幾何性質、勾股定理、相似三角形、三角函數等，完成線段長度、角度、面積的計算或位置關系的證明。關鍵技巧：①圖形輔助：無論題干是否給出圖形，都要主動繪制符合定義的圖形，標注關鍵條件，借助圖形分析推理；②定義轉化：抓住新定義的核心特征，與學過的幾何概念關聯；③分類討論：遇到新定義圖形的位置不確定（如點的位置、圖形的擺放），需分類討論，避免漏解。易錯點規避：未準確理解新定義的幾何特征，繪制圖形錯誤；無法將新定義轉化為學過的幾何知識點，無從下手；推理過程中，忽略圖形的隱含條件；分類討論不全面，導致漏解變式演練【變式01】【問題背景】在學習特殊四邊形的過程中，我們積累了相關圖形研究經驗，請運用已有經驗，完成下面研究．定義：有一組鄰邊相等且有一組對角互補的凸四邊形叫做等補四邊形．【問題提出】利用測量的方法，識別下列四個圖形（都是利用兩個直角三角板拼成的）是不是等補四邊形．【方案設計】甲組同學提出利用學習過的“多邊形的內角和”，通過測量的方法量出三角板銳角度數，根據等補四邊形的定義解答，【測量工具】量角器、鉛筆、紙等．【操作步驟】分別測量出每個直角三角形的一個銳角，并且標上度數，如下圖所示：【問題解決】（1）用三角板拼出如圖所示的4個四邊形，其中是等補四邊形的有______（填寫序號）．【交流討論】（2）乙組同學提出，利用測量的方法不光麻煩，也有測量誤差，不如利用推理證明，例如：下面的問題就可以推理證明來解答：如圖所示，是等邊三角形，在上任取一點D（B、C除外），連接，把繞點A逆時針旋轉，則與重合，點D的對應點為E．請根據給出的定義判斷，四邊形是否為等補四邊形，并說明理由．【定義應用】（3）丙組同學根據定義得出等補四邊形的邊、角的性質．下面研究與對角線相關的性質．如圖所示，四邊形是等補四邊形，，是它的一條對角線．小組成員結合圖形得到猜想：平分，請你對猜想進行證明．【拓展反思】（4）丁組同學認為學以致用，提出如下問題：如圖所示，在等補四邊形ABCD中，，，若四邊形的面積為8，求的長．你能幫他們完成嗎？【答案】（1）②④（2）是等補四邊形，理由見解析（3）見解析（4）【分析】本題考查了旋轉的性質，等腰三角形的性質，全等三角形的性質等知識點，解題的關鍵是正確理解新定義．（1）根據等補四邊形的定義并結合圖形即可求解；（2）由旋轉得，而，故，即可證明；（3）設，將繞著點A順時針旋轉m度得到，則，結合已知可得，則C，B，E三點共線，再由等腰三角形的性質即可求證；（4）將繞點B順時針旋轉得，則，然后證明D、C、G三點共線，由，得到，即可求解．【詳解】解：（1）①中兩組對角的和為，，且鄰邊不相等，故不是等補四邊形；②中有一組對角的和為，且根據等腰直角三角形得到一組鄰邊相等，故是等補四邊形；③中兩組對角的和為，，故不是等補四邊形；④中有一組對角的和為，且根據兩個全等的直角三角形得到一組鄰邊相等，故是等補四邊形；∴是等補四邊形的有②④；故答案為：②④（2）是等補四邊形，理由：由旋轉得，，，四邊形是等補四邊形；（3）設，將繞著點A順時針旋轉m度得到，，，，，C，B，E三點共線，在中，，，，即：平分；（4）如圖所示，，∴將繞點B順時針旋轉得，，∵，，D、C、G三點共線，，，（負值舍去）．【變式02】我們把兩組對邊分別平行的四邊形定義為平行四邊形，同樣的道理，我們也可以把至少有一組鄰邊相等的四邊形定義為等鄰邊四邊形．把對角互補的等鄰邊四邊形定義為完美等鄰邊四邊形．(1)如圖，已知完美等鄰邊四邊形，，，請你結合圖形，寫出完美等鄰邊四邊形的一條性質；(2)在四邊形中，若，且平分時，求證：四邊形是完美等鄰邊四邊形．【答案】(1)(2)見詳解【分析】（1）根據四邊形內角和為，可得結論；（2）作，，垂足分別為M，N，根據角平分線的性質可得，再證明，利用法證明，即可解決問題．本題主要考查了全等三角形的判定和性質，四邊形內角和定理，以及角平分線的性質，熟練掌握以上知識，正確的作出輔助線是解題的關鍵．【詳解】（1）解：性質是．（2）證明：作，，垂足分別為M，N，平分，，，，，，，，，，，，∴四邊形是等鄰邊四邊形；又，∴等鄰邊四邊形是完美等鄰邊四邊形．【變式03】對于有理數，，定義兩種新運算“※”與“◎”，規定：，，例如，，．

(1)計算的值；(2)若，在數軸上的位置如圖所示，化簡；(3)若，求的值：(4)對于任意有理數，，請你定義一種新運算“★”，使得★，直接寫出你定義的運算★______（用含，的式子表示）．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）原式利用題中的新定義計算即可求出值；（2）原式利用題中的新定義化簡，根據絕對值的代數意義得到結果即可；（3）原式利用題中的新定義化簡；（4）根據題意只要寫出一個符合要求的式子即可，這是一道開放性題目，答案不唯一．【詳解】（1）解：根據題中的新定義得：原式；（2）由，在數軸上位置，可得，，則◎；（3）※◎，，解得：；（4）★，★，故答案為：．【點睛】此題考查了有理數的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．題型03函數類新定義問題典例引領【典例01】定義：在平面直角坐標系中，我們稱直線，為常數）是點的關聯直線，點是直線的關聯點；特別地，當時，直線的關聯點為．如圖，直線與軸交于點，與軸交于點．【定義辨析】（1）直線的關聯點的坐標是（

）A．

B．

C．

D．【定義延伸】（2）點的關聯直線與直線交于點，求點的坐標；；【定義應用】（3）點的關聯直線與軸交于點，，求的值．【答案】（1）D；（2）C的坐標為；（3）的值為或．【分析】（1）根據題中所給新定義可直接進行求解；（2）求出點的坐標為，根據題中所給新定義可得點的關聯直線為，聯立直線即可求解；（3）根據題中所給新定義可得點的關聯直線為，則點，分兩種情況：①當點在直線左側時，②當點在直線右側時，分別求解即可．【詳解】解：（1）直線，為常數），點是直線的關聯點，直線的關聯點的坐標是，故答案為：D；（2）直線，當時，，解得，點的坐標為，直線，為常數）是點的關聯直線，點的關聯直線為，聯立得，解得，的坐標為；（3）點的關聯直線為，當時，，點的坐標為，當時，，點的坐標為，①如圖1，當點在直線左側時，過點作，交直線于點，過點作垂直軸于點．，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，的坐標為，把點代入得，；②如圖2，當點在直線右側時，同理可證，，，點的坐標為把點代入得，，綜上所述，的值為或．【點睛】本題是一次函數的綜合題，也是有關關聯點和關聯直線的新定義問題，考查了一次函數圖象上點的坐標特征、理解新定義、利用待定系數法求一次函數的解析式，本題中理解關聯點和關聯直線的定義，正確進行分類討論是解題的關鍵．【典例02】新定義：如圖1，在平面直角坐標系中，直線與坐標軸不平行，點為直線外一點．過點分別作軸交直線于點，作軸交直線于點，我們稱折線為點關于直線的“路徑”，“路徑”的長度稱為點關于直線的“距離”，記為即．定義理解(1)如圖2，若直線的表達式為，與軸和軸分別交于，兩點，求．（點為坐標原點）(2)定義運用，如圖3，將直線l：向左平移個單位長度后得到直線m：，與軸和軸分別交于，兩點，當時（點O為坐標原點），求平移距離的值；(3)定義拓展，在（2）的條件下，軸上是否存在點，使得△QAB為等腰三角形，且點關于直線的“L路徑”與直線有交點．若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，點的坐標為或或【分析】本題考查了一次函數的性質，等腰三角形的性質，解題的關鍵是掌握求一次函數與坐標軸交點的方法以及討論等腰三角形的存在性．（1）求出點A和點B的坐標，即可解答；（2）求出點C和點D的坐標，根據，列出方程，即可解答；（3）根據等腰三角形的性質，進行分類討論：當點Q在y軸上時，分3種情況進行討論，結合“L路徑”的定義，即可解答．【詳解】（1）把代入得：，把代入得：，解得，、，，，；（2）把代入得：，把代入得：，解得，、，，，，，解得：；（3），、，根據勾股定理可得：，點Q在y軸上，共分為三種情況：第一種情況，當時，或，點關于直線l的“L路徑”與直線m沒有交點，故不符合題意，即只有符合題意；第二種情況，當時，，，；第三種情況，當時，設，，根據勾股定理可得：，則，解得：，；綜上所述，存在，點的坐標為或或．方法透視考向解讀核心考查新定義的函數概念，本質是將新定義轉化為一次函數、二次函數、反比例函數的圖像與性質，結合代數運算、幾何圖形綜合求解。考向特點是“綜合性強，數形結合核心”，難度偏高，重點考查學生的閱讀理解能力、數形結合思想和知識遷移能力，是拉開分差的核心題型，容易因定義解讀錯誤、函數性質應用不靈活、動點問題分析失誤丟分方法技能核心思路：第一步“解讀定義，明確函數特征”，分析新定義函數的解析式、定義域、值域、圖像特征；第二步“數形結合，繪制函數圖像”，根據新定義的函數特征，畫出函數圖像，結合圖像分析函數的增減性、頂點、交點等；第三步“遷移應用，求解問題”，結合函數圖像、幾何圖形性質，完成線段長度、最值、交點個數、動點軌跡等問題的求解。關鍵技巧：①解析式轉化：將新定義函數的表達式，轉化為學過的函數形式，便于分析性質；②圖像優先：函數類新定義問題，圖像是核心工具，通過圖像快速判斷函數的增減性、交點位置、取值范圍；③動點處理：若涉及動點，將動點坐標代入新定義函數解析式，用參數表示動點坐標，結合幾何性質列方程求解。易錯點規避：未讀懂新定義函數的解析式或特征，無法轉化為學過的函數；忽略函數的定義域限制，導致取值范圍錯誤；數形結合不熟練，無法通過圖像分析函數性質；動點問題中，參數設定錯誤或軌跡判斷失誤變式演練【變式01】函數和的圖象關于y軸對稱，我們定義函數和相互為“影像”函數．類似地，如果函數和的圖象關于y軸對稱，那么我們定義函數和互為“影像”函數．（1）請寫出函數的“影像”函數：；（2）函數的“影像”函數是；（3）如果，一條直線與一對“影像”函數和的圖象分別交于點A、B、C（點A、B在第一象限），如果CB:BA=1:2，點C在函數的“影像”函數上的對應點的橫坐標是1，求點B的坐標．【答案】（1）（2）；（3）【詳解】試題分析：（1）根據關于y軸對稱的點的坐標特征：縱坐標不變，橫坐標互為相反數．則兩個解析式的k值應互為相反數，得出答案即可；（2）函數y=x2-2x+3的圖象關于y軸對稱的拋物線x互為相反數，y不變，得y=（-x）2-2（-x）+3=x2+2x+3，即可．（3）首先作CC'、BB'、AA'垂直于x軸，再利用設點B(m，)、A(n，)，得出A'B'=n-m，B′C′=m+，即可得出等式方程，求出m的值即可．（1）（2）（3）過點C作CC'垂直于x軸，垂足為C'，過點B作BB'垂直于x軸，垂足為B'，過點A作AA'垂直于x軸，垂足為A'．設點，其中m＞0，n＞0．由題意，得點C(?1，2)．易知CC'∥BB'∥AA'，又CB：AB=1：2，所以可得解得（舍去負值），B考點:反比例函數綜合題．【變式02】對于函數與函數作如下定義：若函數與函數只有一個公共點，則稱函數與函數互為“融創函數”，唯一的公共點記為．(1)下列函數與一次函數互為“融創函數”的是______；①；②；③．(2)已知函數與函數互為“融創函數”．①求公共點的坐標；②若將函數向左平移個單位得到函數．則函數與函數所圍成封閉圖形內（包括邊界）整點的個數為______（若一個點的橫坐標與縱坐標均為整數，則該點為整點）(3)若函數與函數互為“融創函數”，定義函數，若函數上自變量（橫坐標）為的點的函數值記為，函數上自變量（橫坐標）為的點的函數值記為，且當，恒有，求的取值范圍．【答案】(1)①③(2)①

②(3)【分析】（1）根據“融創函數”定義判斷即可；（2）①聯立，令，求解即可；②先求出平移后函數，聯立，設交點A，B，再根據函數圖象，取整數點即可；（3）根據“融創函數”定義，則方程由兩個相等的實數根，利用根的判別式得到即，由當，恒有，則點在函數頂點的右側，得到，解得，即可由求出結果．【詳解】（1）解：一次函數的圖象在一、三、四象限，直線與直線不平行，故有唯一點；反比例函數的圖象在一、三象限，關于直線與反比例函數的圖象有兩個交點；二次函數圖象開口向上，頂點是原點，與直線有一個交點，與一次函數互為“融創函數”的是①③．故答案為：①③；（2）解：①∵函數P：與函數互為“融創函數”，則聯立，消去y得；，則，解得，故函數，令解得

∴R的坐標為；②將函數向左平移個單位得到函數．聯立函數與函數，則，即，解得：或，當，則；當，則；如圖：設，點D為函數的頂點，點C為函數的頂點，函數與函數，，當時，，當時，，則函數與函數所圍成封閉圖形內（包括邊界）整點有：共4個；（3）解：函數與函數互為“融創函數”，令，整理得：則，即，當，恒有，點在函數頂點的右側，即，解得，由，．【點睛】本題考查了一次函數的性質，一次函數圖象上點的坐標特征，反比例函數的性質，二次函數圖象與系數的關系，二次函數的圖象與幾何變換，函數與一元二次方程，二次好速度性質，熟練掌握函數與方程組的關系、二次函數的性質是解題的關鍵．【變式03】定義；函數圖象上到兩坐標軸的距離相等的點叫做這個函數圖象的完美點．【定義解析】（1）在①，②，③，④四點中，是函數的完美點的有_________（填序號）；（2）點為反比例函數第二象限圖象上的完美點，求的值；【定義應用】（3）若二次函數的圖象上有且只有一個完美點，請直接寫出和的值．【答案】（1）②④；（2）；（3）【分析】本題考查了二次函數的圖象和性質，反比例函數圖象和性質，一元二次方程根的判別式，一次函數圖象的和性質，二元一次方程組的計算，理解完美點的含義及計算，掌握一次函數，二次函數圖象和性質是解題的關鍵．（1）把坐標代入函數解析式，判斷點是否在函數圖象上，再分別求出點到坐標軸的距離，再根據完美點的定義進行判斷，即可得到答案；（2）根據題意得出，得到，求出完美點坐標，即可求出的值；（3）根據完美點可得二次函數與一次函數有且只有一個交點，得到，把完美點代入二次函數解析式得，由此聯立方程組求解即可．【詳解】解：（1）①當時，，點在此函數圖象上，點到軸的距離是，到軸的距離是，，依據完美點的定義可知，點不是完美點；②當時，，點在此函數圖象上，點到軸的距離是，到軸的距離是，依據完美點的定義可知，點是完美點；③當時，，點不在函數圖象上，點不是完美點；④當時，，點在函數圖象上，點到軸的距離是，到軸的距離是，依據完美點的定義可知，點是完美點；綜上，是函數的完美點的有②④，故答案為：②④；（2）反比例函數的圖象在第二象限，，點為反比例函數第二象限圖象上的完美點，，解得：，，，點的坐標為，；（3）二次函數的圖象上有且只有一個完美點，二次函數與直線有且只有一個交點，，整理得，，即，把點代入得，即，聯立方程組得，解得．題●型●訓●練一、單選題1．對于任意有理數，，現用“☆”定義一種運算：☆，根據這個定義，代數式☆可以化簡為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了整式的混合運算；根據新定義的運算規則代入，再利用完全平方公式展開化簡即可．【詳解】解：∵☆，∴☆，∵，∴，故選：C．2．關于實數a，b，定義一種關于“※”的運算：，例如：．依據運算定義，若，且，則的值為（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】根據運算定義可得：，解方程即可得到，則問題隨之得解．【詳解】∵，，∴根據運算定義可得：，解得方程得：，∴，故選：C．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應用以及定義新運算等知識，理解新運算的含義以及掌握二元一次方程組的解法是解答本題的關鍵．3．對于任意有理數m，n，現用“▲”定義一種運算：，根據這個定義，代數式可以化簡為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查整式的混合運算，根據新運算，可以對代數式化簡，本題得以解決．【詳解】解：，，故選：A．4．定義：我們把一次函數與正比例函數的交點稱為一次函數的“亮點”．例如求的“亮點”，聯立方程：，解得，則的“亮點”為．由定義可知，一次函數的“亮點”為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是兩條直線的交點問題，根據定義，“亮點”是一次函數與的交點，聯立和解方程組即可．【詳解】解：∵亮點是和的交點，∴聯立方程：，解得：∴交點為，即“亮點”為，故選：B．5．我們來定義一種運算：=ad﹣bc．例如=2×5﹣3×4=﹣2；再如=3x﹣2，按照這種定義，當x滿足（）時，=．A．x= B．x= C．x= D．x=【答案】A【詳解】根據題中規定的運算規則可得：=即2（）-2x=（x-1）-（-4）×則-2x=3，解得x=.故選A.【點睛】對于新定義運算，正確理解新運算的方法及含義是解題的關鍵．二、填空題6．對于任意兩個實數a、b，定義運算“☆”為：．如，根據定義可得_____________．【答案】【分析】將4和8替換定義中的a和b即可計算．【詳解】由題意得：==2．故答案為2．【點睛】本題考查了新定義下的實數運算，將數據代入新定義的式子中即可．7．學習情境·新定義

定義新運算：對于任意有理數a和b，規定：，則________．【答案】3【分析】本題考查的新定義運算的含義，含乘方的有理數的混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵；根據新定義進行計算即可．【詳解】解：．故答案為：3．8．對于任意實數，，定義一種運算：．例如，．請根據上述的定義解決問題：若不等式，則不等式的正整數解是__________．【答案】1和2【分析】本題考查了新定義運算，一元一次不等式的解法，掌握將新定義運算轉化為整式，再解一元一次不等式，最后確定正整數解是解題的關鍵．根據新運算定義，將不等式轉化為一元一次不等式并求解，再確定正整數解．【詳解】解：由定義，，因此．不等式為，移項得，解得．所以不等式的正整數解為和．故答案為：和．9．新定義：我們知道，一次函數的圖象是直線．觀察坐標系中多條直線，從正上方（y軸正方向）看下去，它們的輪廓會形成一條由“最上方”的部分連接成的折線．基于此，我們定義：對于兩個一次函數，，稱“頂函數”為這兩個函數在每一個x處的最大值，即．（1）當時，________；（2）若直線與函數的圖象有2個交點，則k的取值范圍是________．【答案】3【分析】此題考查了一次函數的圖象和性質，兩直線的交點問題等知識，分情況討論是解題的關鍵．（1）將代入兩個一次函數求出函數值，取最大值即可；（2）先聯立兩一次函數求出交點，確定“頂函數”的分段圖象，再分析直線過定點的特性，通過討論直線與頂函數兩段圖象的交點所在區間，解不等式確定k的取值范圍．【詳解】（1）解：當時，，，因為，所以，（2）解：聯立，解得，即兩直線交點為．當時，，故；當時，，故；當時，；直線整理為，可知其過定點．①聯立，得，當時，，要求，解不等式，解得或．②聯立，得，當時，，要求，解不等式，通分變形得，解得．要使直線與頂函數圖象有2個交點，需直線與兩段圖象各有一個交點且不重合（時直線過交點，僅1個交點），取兩個解集公共部分得．即k的取值范圍是．三、解答題10．定義：如果一個三角形的兩個內角與滿足：．那么我們稱這樣的三角形為“類直角三角形”．【定義理解】（1）由定義可知，“類直角三角形”一定是______三角形．（從“鈍角”或者“銳角”中選填一個）（2）如圖1，在中，，是邊上的中線，平分，與交于點，求證：是“類直角三角形”；【定義運用】（3）如圖2，已知是直角三角形，，①若是邊上一點，是“類直角三角形”，則的度數為______．②若是邊上一點，是“類直角三角形”，則的度數為______．【問題拓展】（4）如圖3，在中，，，．邊上有一點，使得是“類直角三角形”，直接寫出的長度．【答案】（1）鈍角；（2）見解析；（3）①，②或；（4）或【分析】本題主要考查軸對稱的性質、直角三角形的性質、勾股定理、三角形內角和、全等三角形的性質與判定及等腰三角形的性質，熟練掌握軸對稱的性質、直角三角形的性質、勾股定理、三角形內角和、全等三角形的性質與判定及等腰三角形的性質是解題的關鍵；（1）根據“類直角三角形”的定義、三角形內角和可進行求解；（2）由題意易得，則有，然后可得，進而問題可求證；（3）①由題意易得，然后可得，進而根據三角形內角和可進行求解；②由題意易得或，則有或，然后根據三角形內角和可進行求解；（4）由題意可分當時，當時，進而分類進行求解即可．【詳解】解：（1）設三角形的第三個內角為，由三角形內角和可知：，∵該三角形是“類直角三角形”，∴，∴，∴，即，∴該三角形一定是鈍角三角形，故答案為鈍角；（2）證明：∵，是邊上的中線，∴，∴．∵平分，∴，∴是“類直角三角形”．（3）解：①如圖，∵，，∴，∵是“類直角三角形”，∴，由于，所以不成立，∴，∴；故答案為．②如圖，∵，，∴，∵是“類直角三角形”，∴或，∴或，∴或；故答案為或．（4）解：如圖，∵，，，∴，∵是“類直角三角形”，∴或，情形一：當時，過點E作于點F，如圖所示：∵，∴，∴點在的角平分線上，∵，，∴，方法一：，∴，∴，∴．方法二：設，則，∵，∴，∴，∴，在中，由勾股定理可得，解得：，∴；情形二：當時，方法一：在上面找一點，連接，使得，延長至，使得，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，設，則，，∴，∴，∴；方法二：作點關于的對稱點，連接、，并延長交于點．∵，，∴，∴，設，則，∵點、點關于對稱，∴，，∴，∴，即，∴，利用等積法可得：，∴，在中，，設，在中，，∴，在中，．11．定義：如圖1，點C在線段上，若或，則稱點C是線段的“五美分點”．【理解定義】（1）若線段，點C是線段的“五美分點”，求線段的長度；【定義應用】（2）如圖2，點D在射線上，，若點E，F均為線段的“五美分點”，且，點G為線段的中點，求線段的長度；【定義拓展】（3）如圖3，點D在射線上，．點P從點O出發，以每秒5個單位長度的速度沿射線向右運動，同時點Q從點D出發，以每秒2個單位長度的速度也沿射線向右運動，運動時間為t秒，點P追上點Q時，兩點同時停止運動，請問當P，D，Q三點中某一點為其余兩點所構成線段的“五美分點”時，t的值是多少？【答案】（1）5或1；（2）3；（3）或或或【分析】（1）理解“五美分點”，再進行分類討論，列式計算，即可作答．（2）理解“五美分點”，結合，故，，因為，所以，，根據點G為線段的中點，進行列式計算，即可作答．（3）由題意得：，，當點P追上點Q時，時間為；4秒之內只存在點D是線段的“五美分點”或點P是線段的“五美分點”，然后進行分類討論且逐個情況作圖，結合線段的和差關系列方程，解方程，即可作答．【詳解】解：（1）∵點C在線段上，∴，∵點C是線段的“五美分點”∴或，即或，如答圖：∴或，又∵，∴或；答：線段的長度為5或1．（2）解：∵點E，F均為線段的“五美分點”，∴或；或，∵，∴，，∵，∴，，如答圖：∴，，∵G為線段的中點，∴，∴；答：線段的長度為3．（3）由題意得：，，∵當點P追上點Q時，，∴，解得：；∴4秒之內只存在點D是線段的“五美分點”或點P是線段的“五美分點”①如答圖3，當點D在線段上時∵，∴，，∵點D是線段的“五美分點”∴或，∴或解得：或；②如答圖4，當點P在線段上時∵，則，，∵點P是線段的“五美分點”∴或，∴或，解得：或，綜上所述：t的值是或或或．【點睛】本題考查了列代數式，數軸上兩點間的距離，一元一次方程與幾何應用，新定義，線段的和差關系，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．12．閱讀下面的材料：小明在數學課外小組活動中遇到這樣一個“新定義”問題：定義運算“”為：．求的值．小明是這樣解決問題的：由新定義可知，，又，所以．請你參考小明的解題思路，回答下列問題：(1)計算：______；(2)若，則______．(3)函數的圖象大致是______．【答案】(1)(2)(3)D【分析】此題考查了反比例函數的圖象和性質，實數的新定義運算等知識．（1）根據新定義進行解答即可；（2）根據新定義分兩種情況進行解答即可；（3分和兩種情況進行分析即可得到答案．【詳解】（1）解：根據題意可得，；故答案為：（2）當時，，解得：，當時，，解得：，；故答案為：（3）當時，，此時是雙曲線的第一象限部分；當時，，此時是雙曲線的第二象限部分；故函數的圖象大致是D．13．請按要求解答：(1)定義新運算：對于任意實數，，都有．例如：．求的值．(2)請你模仿（1）定義一種新運算，使得實數和的運算結果為2026．寫出你定義的新運算，并寫出計算過程．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）根據新運算的定義，將代入的公式中計算；（2）觀察和，乘積為整數，定義新運算時結合其乘積，再通過添加常數項使運算結果為2026．【詳解】（1）解：原式．（2）解：示例：對于任意實數，，都有．．【點睛】本題考查了新定義運算，二次根式混合運算，掌握根據新運算的規則代入數值計算，以及結合已知數的特征設計新運算是解題的關鍵．14．在數學活動課上，小明興趣小組對二次函數的圖象進行了深入的探究，如果將二次函數：圖象上的點的橫坐標不變，縱坐標變為A點的橫、縱坐標之和，就會得到一個新的點．他們把這個點定義為點A的“和點”．他們發現：二次函數所有和點構成的圖象也是一條拋物線，于是把這條拋物線定義為的“和拋物線”．例如，二次函數的“和拋物線”就是，請按照定義完成：(1)點的“和”點是______；(2)如果拋物線經過點，求該拋物線的“和拋物線”；(3)已知拋物線圖象上的點的“和點”是，若該拋物線的頂點坐標為，該拋物線的“和拋物線”的頂點坐標為．當時，求n的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題主要考查了新定義下的二次函數的應用，理解題意，熟練掌握二次函數的性質，是解題的關鍵．（1）根據題目中給出的信息解答即可；（2）先將點M的坐標代入拋物線的解析式，求出，得出拋物線解析式，然后根據題意寫出拋物線的“和拋物線”即可；（3）先根據點，求出點B的坐標，把點B代入拋物線關系式得出b、c的關系式，然后把b、c的關系式代入拋物線的關系式，得出，寫出其“和拋物線”的關系式為：，并求出化為頂點式，得出，將n看作c的函數，求出當時，n的取值范圍即可；【詳解】（1）解：根據題意可知，點的“和”點是，∴點的“和”點的縱坐標為，即．故答案為：．（2）將點代入拋物線得：，解得：，即拋物線的解析式為，∴拋物線的“和拋物線”為，即．（3）根據題意可知，點是點的“和”點，∴，解得：，即，將點代入拋物線得：，則，∴拋物線為，∴拋物線的“和拋物線”為：，即∵其頂點坐標為，∴，將n看作c的函數，∵，時，n有最大值，且最大值為1，當時，，n有最小值，且最小值為，∴n的取值范圍是.15．定義：在平面直角坐標系中，如果函數圖象上一個點的橫坐標與縱坐標相等，則稱該點叫做這個函數圖象的完美點．【定義解析】例如：函數上的點的橫坐標與縱坐標相等，我們就稱點是函數圖象的完美點．【定義應用】（1）求反比例函數圖象的完美點；（2）若二次函數的圖象上有且只有一個完美點，求二次函數的解析式；【拓展應用】（3）在（2）的條件下，若二次函數的圖象與x軸交于點A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，點D為第二象限拋物線上一動點，連接，交于點N，連接，記的面積為，面積為，若時，求點D的坐標．【答案】（1）反比例函數圖象的完美點是，；（2）（3）．【分析】本題主要考查一次函數和二次函數的圖像和性質，一元二次方程根的判別式，相似三角形的判定和性質，熟練掌握一次函數和二次函數的圖像和性質是解題的關鍵．（1）根據完美點的定義設點是反比例函數圖象的完美點，得到，即可得到答案；（2）根據完美點的定義，得到有兩個相等的實數根，計算求出的值即可得到答案；（3）過點B作軸交于E，設，則，過點D作軸交于F，證明，得到，計算求解即可．【詳解】解：（1）設點是反比例函數圖象的完美點，，或，反比例函數圖象的完美點是，；（2）二次函數的圖象上有且只有一個完美點，，即有兩個相等的實數根，，解得①，將代入得，②，聯立①②，得，（3）由（2）可知，；如圖，過點B作軸交于E，過點D作軸交于F，則，，設，則，，軸，軸，，，，，，（舍），當時，，．16．如圖1，點P將線段分成一條較小線段和一條較大線段，如果，那么稱點P為線段的黃金分割點，設，則k就是黃金比，并且．(1)以圖1中的為底，為腰得到等腰（如圖2），等腰即為黃金三角形，黃金三角形的定義為：滿足≈的等腰三角形是黃金三角形；類似地，請你給出黃金矩形的定義：；(2)如圖1，設，請你說明為什么k約為；(3)由線段的黃金分割點聯想到圖形的“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個面積為S的圖形分成面積為和面積為的兩部分（設），如果，那么稱直線l為該圖形的黃金分割線．（如圖3），點P是線段的黃金分割點，那么直線是的黃金分割線嗎？請說明理由；(4)圖3中的的黃金分割線有幾條？【答案】(1)滿足的矩形是黃金矩形(2)見解析(3)直線是的黃金分割線，理由見解析(4)無數條【分析】（1）仿照題意進行定義即可；（2）（3）根據線段黃金分割點的概念和三角形的面積公式進行分析；（4）根據（2）中的結論，得到這樣的直線有無數條