七年級數學下冊18 平行線的性質（知識講解）-（浙教版）

專題L8平行線的性質(知識講解)

【學習目標】

1.掌握平行線的性質，棄能依據平行線的性質進行簡單的推理；

2.了解平行線的判定與性質的區別和聯系，理解兩條平行線的距離的概念；

【要點梳理】

要點一、平行線的性質

性質1：兩直線平行，同位角相等；

性質2：兩直線平行，內錯角相等；

性質3：兩直線平行，同旁內角互補.

特別說明：

(1)“同位角相等、內錯角相等”、“同旁內角互補”都是平行線的性質的一部分內容，切不

可忽視前提“兩直線平行

(2)從角的關系得到兩直線平行，是平行線的判定；從平行線得到角相等或互補關系，是平

行線的性質.

耍點二、兩條平行線的距離

同時垂直于兩條平行線，并且夾在這兩條平行線間的線段的長度，叫做這兩條平行線

的距離.

特別說明：

(1)求兩條平行線的距離的方法是在一條直線上任找一點，向另一條直線作垂線，垂線段

的長度就是兩條平行線的走離.

(2)兩條平行線的位置確定后，它們的距離就是個定值，不隨垂線段的位置的改變而改變，

即平行線間的距離處處相等.

【典型例題】

類型一、兩直線平行，同位角相等

@>1.已知ZV13C中，DE〃BC,ZAE￡)=50°,CQ平分ZAC8,求N8CQ的度數.

【答案】250

【分析】由兩直線平行同位角相等，得出乙4。8=a4￡。=50,由角平分線的性質得出

ZACD=NBCD,即可得出答案.

解：VDE//I3C,Z4￡D=50°

ZACR=ZAED=50

*/CD平分ZACB，

???AACD=Z.BCD=-^ACB=25

2

，NBCD=25.

【點撥】本題考查了平行線的性質和角平分線的性質，熟練掌握各性質是解得此題的關

鍵.

舉一反三：

【變式1】理解證明：

如圖1,直線DE經過點A,DEHBC.求證4AC+N8+NC=180。

圖1

證明：VDE//BCt

:.ADAB=__________

ZEAC=().

又NDAB+ZEAC+NBAC=°(),

???NB4C+N3+NC=180。.

應用證明：

如圖2,A。是NE4C的平分線，AD//BC.求證NB=NC.

圖2

【答案】（1）DB;NC；兩直線平行，內錯角相等；180；平角的定義；（2）見解析

【分析】（1）根據平行線的性質，平角的定義完成推理過程即可；

（2）根據平行線的性質，可得㈤Q=N4,ZC4D=ZC,根據角平分線的定義可得

ZEAD=^CAD,進而即可得證.

（1）證明：,/DE//BC,

/.QAB—B

㈤C=NC（兩直線平行，內錯角相等）.

乂/944+/笈4。+/84。=180。（平角的定義）,

???N84C+N8+NC=180。.

故答案為：叫ZC；兩直線平行，內錯角相等；180;平角的定義；

（2）AD是NE4C的平分線，.

二ZE4D=ZC4D

AD//BC

:./EAD=/R,ACAD=AC

NB=NC.

【點撥】本題考查了平角的定義，平行線的性質，角平分線的定義，掌握角平分線的定

義與平行線的性質是解題的關鍵.

【變式2】如圖，AB//CDfZl=64°,/G平分NE尸O,求N2的度數.

【分析】根據兩直線平行，同位角相等求出NE/。，再根據角平分線的定義求出NG在

即可.

解：*：AI3//CD,Zl=64°,

，Z￡F￡>=ZI=64°,

■:FG平分4EFD,

??.Z2=-ZEFD=-x64°=32°

22

【點撥】本題考查了平行線的性質，角平分線的定義，準確以圖并熟記性質是解題的關

鍵.

類型二、兩直線平行，內錯角相等

02.完成推理填空.填寫推理理由：

如圖：EF//ADtZI=Z2,NB4C=70。，把求ZAG。的過程填寫完整.

VEF//AD（已知）

N2=,（）.

XVZ1=Z2,（）.

AZ1=Z3,（等量代換）

AABH,（）.

/.ZI3AC+=180°,（）.

又??,N84C=70。，

:.ZAGD=.

【答案】N3；兩直線平行，同位角相等；已知；GO；內錯角相等，兩直線平行；NOG4：

兩直線平行，同旁內角互補；11（）。.

【分析】根據平行線的性質得上2=/3,等最代換得4=N3,所以48〃GD,再根據

平行線的性質得N8AC+NZXM=I8O。，又因為/8AC=70。，即可得N4G￡>=110。.

解：EF//AD,

???/2=/3（兩直線平行，同位角相等），

又???N1=N2,（已知）,

AZ1=Z3,（等量代換），

/.AB//GD,（內錯角相等，兩直線平行），

???/8AC+NDGA=lB0。，（兩直線平行，同旁內角互補），

XVZBAC=70°,

???ZAGD=110°,

【點撥】本題考查了平行線的判定與性質，解題的關鍵是掌握平行線的判定與性質.

舉一反三：

【變式1】將一副二角尺拼成如圖所示的圖形，（/3=45。，/。=3/），過點C作C/

平分NDCE交DE于點F.

(1)求證：CFHAB；

(2)NBCF的度數為.

【答案】⑴見解析；(2)135。

【分析】(1)根據C尸平分NDCE，可得N1=N2=45°，從而N1=N3,即可求證：

(2)由(1)可知Nl=45。,即可求解.

(1)證明：依題意得知NDCE=90。

?:CF平分4DCE，

/.ZI=Z2=45°.

Z3=45°.

:.CF//ABx

(2)根據題意得NAC8=90°,

VNl=45。，

???ABCF=^LACB+N1=135°.

【點撥】本題主要考查了平行線的判定，角平分線的定義，用的和，差，熟練掌握內錯角相等，兩直

線平行是解題的關鍵.

【變式2】填空完成推理過程：

如圖，點O,E,尸分別是*8C的邊AC,BC,48上的點，DF//BC,DE//AB.

求證N77)E=N8.

證明：VDF//I3C,

/.NFDE=().

VDE//AB,

ANB=(),

:?4FDE=ZB.

A

【答案】/DEC,兩直線平行，內錯角相等；/DEC,兩直線平行，同位角相等

【分析】根據平行線的性質即可求解；

證明：??DF//BC,

AZFDE=^DEC（兩直線平行，內錯角相等）

；DE//AB,

：?/B=NDEC（兩直線平行，同位角相等），

:.NFDE=/B.

故答案為：NDEC,兩直線平行，內錯角相等；NDEC；兩直線平行，同位角相等.

【點撥】此題考查的是平行線的性質，掌握平行線的性質是解題的關鍵.

類型三、兩直線平行，同旁內角互補

^^3.如圖，點O,￡分別在A3和AC上，DE//BC,Z￡）BE=30°,ZEBC=25°,

求無:的度數.

【答案】ZBDE=\25°

【分析】先求出N48C的度數，再利用平行線的性質求解.

解：VZDBE=30°,NEBC=25°,

???ZABC=ZDBE+ZEBC=55°,

■:DE〃BC,

48c=180°,

???ZBDE=18O°-Z/lSC=125°.

【點撥】此題考查平行線的性質：兩直線平行，同旁內角互補，熟記平行線的性質并掌

握圖形中各角度之間的位置關系是解題的關鍵.

舉一反三：

【變式1】已知：如圖，AB//CDtAD//BC.求證：ZA=ZC,NB=ND.

【答案】證明見解析.

【分析】由直線平行的性質可求得4+N8=l80。，ZB+ZC=18O°,可以利用同角的補

交相等，可得NA=/C,同理可得N8=NO.

解：*.*AB//CD（己知），

???乙4+/。=180。，ZB+ZC=180°（兩直線平行，同旁內角互補）.

,rAD//BC知），

AZA+ZB=180",ZD+ZC=180°（兩直線平行，同旁內角G補）.

AZA=ZC,N4=N。（同角的補角相等）.

【點撥】本題主要考查平行線的性質，掌握平行線的性質是解題的關鍵.

【變式2】如圖，AB//CD,直線EF分別交AB,。。于￡,F,EG平分4".

（1）請寫出圖中與/2相等的角；

（2）若/1=80。，求N2的度數.

【答案】（1）/BEG；/FEG；（2）50°

【分析】（1）/BEG,/FEG：由平行線的性質及角平分線的定義即可得解:

（2）由平行線的性質得出NBE尸=100。，根據角平分線的定義得出NBEG=gN/^產

=50。，最后根據平行線的性質即可得解.

解：（1）ZBEG,NFEG,理由如下：

'：AB//CD,

/./2=NBEG,

TEG平分NBE產，

：?NBEG=NFEG,

：?42=/BEG=/FEG；

（2）*：AB//CD,

???N1+N8EF=18O。，

VZl=80°,

.\ZBEF=100°,

〈EG平分N8EF,

/.ZBEG=gZBEF=50°,

?:AB"CD,

??.N2=NBEG=50。.

【點撥】此題考查了平行線的性質，熟記“兩直線平行，內錯角相等”及“兩直線平行，

同旁內角互補”是解題的關鍵.

類型四、根據平行線的性質探究角的關系

04.閱讀下列材料，并完成相應任務.

小學時候我們就知道三角形內角和是180度，學習了平行線之后，可以證明三角形內

角和是180度，證明方法如下：

如圖L已知：三角形A6C,求證NA6C+Z4C6+/￡4。=18（『.

證法一：如圖2,過點A作直線。月〃BC,

■:DE//BC,:?ZABC=/DAB,ZACB=ZCAEf

VZDAB+ABAC+ZCAE=180°,:.ZABC+ZACB+ABAC=180°,

即三角形內角和是18。。.

證法二：如圖3,延長8。至M,過點C作CN〃AB,

任務：（1）證法一的思路是用平行線的性質得到ZABC=/D43,ZACB=NCAE,將

三角形內角和問題轉化為一個平角，進而得到三角形內角和是180。，這種方法主要體現的

數學思想是（將正確選項代碼填入空格處）

A.數形結合思想，B.分類思想，C.轉化思想，D.方程思想

（2）將證法二補充完整.

【答案】（1）C；（2）見解析

【分析】（1）根據將三角形內角和問題轉化為一個平角，可得數學方法是轉化思想；

（2）根據題目條件進行補全即可；

（1）由題意三角形內角和問題轉化為一個平角，可知運用了轉化思想，故答案為：C；

（2）證明：?:CNUAB,

AZA=ZAOV,ZB=ZNCM,

'/ZACB+ZACN+ZNCM=180。，

:.ZABC+NACB+ZBAC=180°.

【點撥】本題主要考查了平行線的判定與性質，三角形內角和定理，規律型圖形變化類,

準確分析判斷是解題的關健.

舉一反三：

【變式1】已知：如圖，A8||C。，點E在AC上.求證：4=NCEQ+N￡>.

【分析】由題意依據三角形內角和定理和平行線的性質以及等式的性質和角的等量代換

進行分析求證即可.

解：在△CQE中，

VZC+ZCED+Z￡>=180°（三角形內角和定理），

AZCED+ZD=180°-ZC（等式的性質），

XVAB//CD（已知），

ZA+ZC=180°（兩直線平行，同旁內角互補），

/.Z4=180°-ZC（等式的性質），

:?ZA=NCED+ND（等量代換）.

【點撥】本題考查平行線的性質以及三角形的內角和定理，熟練掌握平行線的性質是解

題的關鍵.

【變式2】如圖所示，AB〃C&,分別寫出下面四個圖形中NA與NP,NC的數量關系,

請你從所得到的關系中任選一圖的結論加以說明.

【答案】（1）N4+NC=NP；（2）NA+NP+NC=36O。；（3）NA=NP+NC；（4）ZC

=NP+NA,證明見解析

【分析】（I）作利用兩直線平行內錯角相等證明即可；

（2）作利用兩直線平行同旁內角互補證明即可；

（3）PH//AB,利用兩直線平行同旁內角互補證明即可；

（4）作尸利用兩直線平行內錯角相等證明即可；

解：（1）NA+NC=/P；證明如下：

如圖所示，作PE〃A8,則PE〃C。，

AZA=Z1,ZC=Z2,

?；NAPON1+N2,

Z4PC=Z4+ZC,

即：N4+NC=NP：

(2)ZA+ZP+ZC=360°；證明如下:

如圖所示，作PE〃AB,MPE//CD,

AZA+Z1=180°,ZC+Z2=180°,

AZA+ZC+Z1+Z2=360°,

,?Z/1PC=Z1+Z2,

N4+NC+NAPC=360。，

即：ZA+ZP+ZC=360°；

(3)N4=NP+NC：證明如下：

如圖所示，作PH〃4B,則尸“〃C。,

AZA7B4+ZA=180°,

???NH以=180。一/4,

???ZHPA+ZAPC+ZC=180°,

；?180°—NA+N尸+NC=180°,

即：ZA=ZP+ZC；

(4)ZC=ZP+ZA；證明如下：

如圖所示，作PE〃A&MPE//CD,

:?NEPC=NC,ZEPA=ZA,

,?ZAPC=ZEPC-ZEPA,

；?NAPC=NC—NA,

即：NC=NP+NA.

【點撥】本題考查平行線的性質運用，理解并熟練運用平行線的性質，靈活構造鞋助線

是解題關鍵.

類型五、根據平行線的性質求角的度數

.如圖，a//b//ctNl=60。，Z2=36°,AP平分NA4C,求NB4。的度數.

【分析】首先根據平行線的性質求出/B4Q,NC4Q及NBAC,然后根據角平分線求

出N84P,最后利用N%Q=NB4Q-N￡4P求解即可.

'：a//b//c,

???/8AQ=Nl=60°,NCAQ=N2=36°,N8AC=600+36°=96°,

又人。平分/84C,ZB4P=-jx96°=48°,

；?ZPAQ=ZBAQ-ZBAP=60o-^0=\2°.

【點撥】本題主要考杳幾何圖形中的角度問題，掌握平行線的性質，角平分線的定義是

關鍵.

舉一反二:

【變式1】如圖，CD"AB,點。在直線A5上，0￡平分NHO。，OFLOEtNO=110。,

求NO。產的度數.

【答案】350

【分析】根據平行線的性質求得/。。8,根據角平分線和垂直求解即可.

解：*：CD//AB

:.NDOB=ND=110"

???OE平分NBOD

/./DOE=14DOB=55°

2

又???0凡LOE

ZEOF=90°

:.NDOF=/EOF-NDOE=90°-55°=35°

故答案為：35°

【點撥】此題考查了平行線、角平分線以及垂直的性質，解題的關鍵是掌握并利用它們

的性質進行求解?.

【變式2】如圖，點。，尸分別是BC、A8上的點，DF//ACf/FDE=NA.

(1)對。E//A8說明理由，將下列解題過程補充完整.

解：DF//AC(已知)

/.ZA=()

\-ZA=ZFDE(已知)

:.ZFDE=()

：.DEHAB()

（2）若NA￡O比N4/，7）大4（）。，求的度數.

【答案】（1）NBFD；兩直線平行，同位角相等；NBFD；等量代換：內錯角相等，兩

直線平行;（2）70。

【分析】（1）根據平行線的性質得出尸。，求出NRFD=NFDE,根據平行線

的判定得出即可；

（2）根據平行線的性質得出NA+NAED=180。，NA=NBFQ,再求出NAEQ-NA=

40°,即可求出答案.

（1）證明：VDF//AC（已知），

???/A=NBF。（兩直線平行，同位角相等），

VZA=ZFDE（已知），

:?/FDE=/BFD（等量代換），

???OE〃AB（內錯角相等,兩有線平行）：

故答案為：NBFD；兩直線平行，同位角相等；NBFD；等量代換；內錯角相等，兩直

線平行；

（2）解：YDFHAC,

:.NA=NBFD,

???ZAED比尸。大40。，

/.ZAED-NBFD=4O。,

???ZAED-ZA=40°.

???ZAED=40°+ZAf

■:DEHAB,

:./A+NA￡O=180。，

:.N4+4O0+/A=I8O。，

:./A=7（T,

???Z5FD=70°.

【點撥】本題考查了平行線的性質和判定，能熟練地運用定理進行推理是解此題的關鍵,

注意：平行線的性質有：①兩直線平行，同位角相等，②兩直線平行，內錯角相等，③兩直

線平行，同旁內角互補，反之亦然.

類型六、平行線的性質在生活中的運用

.如圖，在輪船A上測得輪船B在輪船A的南偏東50方向，島。在

輪船A的南偏東8()方向;在輪船B上測得島C在輪船B的北偏西3()方向，從

島C看輪船AtB的視角NACB是多少度？

【答案】ZACB=I3O°.

【分析】如圖所示：過點C作CD〃AE.然后利用平行線的性質可求得NACD=100。,

NDCB=NCBF=30。從而可求得答案.

解：過點C作CD//AE,如圖所示：

??CD//AE,BF//AE,

，CD//BF.

CD//AE,

■■^EACI=180.

^ACD=\S0-80=1(X)

??CDHBF,

NDCB=NCBF=30.

??ZACB=^ACD-￥ZDCB=100+30=130.

【點撥】本題主要考查的是方向角的定義和平行線的性質和平行公理的推理，掌握平行

線的性質是解題的關鍵.

舉一反三：

【變式1】實驗證明：平面鏡反射光線的規律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的

光線與平面鏡所夾的銳角相等，如圖有兩塊互相垂直的平面鏡MMNP,一束光線A8射在

其中一塊MN上，經另外一塊NP反射，兩束光線會平行嗎？若不平行，請說明理由，若平

行，請給予證明

M

【答案】會，理由見解析

【分析】作8E_LN8,CEJ_NC,根據M?_LNC可得出N2+N3=N1+N4=9O。，再由

平行線的判定定理即可得出結論.

解：AB//CD.

:"2=ANCB,

/.Z2+Z3=Z1+Z4=9O°,

/.ZzABC+ZfiCD=180°,

AB//CD.

【點撥】本題考查的是平行線的判定與性質，熟知入射角等于反射角是解答此題的關鍵.

【變式2】如圖，一條鐵路修到一個村子邊時，需拐彎繞道而過，如果第一次拐的角NA

是105度，第二次拐的角是135度，第三次拐的角是NC,這時的道路恰好和第一次拐

彎之前的道路平行，那么NC應為多少度？

【分析】過點B作直線BE〃CD,用“兩直線平行內錯角相等”和“兩直線平行同旁內角互補”解答.

解：過點B作直線BE〃CD.

號D

?；CD〃AF,

，BE〃CD〃AF.

.*.ZA=ZABE=105°.

/.ZCBE=ZABC-ZABE=30°.

XVBE/7CD,

/.ZCBE+ZC=180°.

.*.ZC=150°.

【點撥】本題考杏平行線的性質，解題的關鍵是根據題意，將實際問題轉化為關于平行線性質的數學

問題.

類型七、根據平行線的性質和判定求角的度數

@^7.如圖，Zl=70°,N2=40°,N8=70°.

（1）求NC的度數；

（2）如果。石平分44OC,那么。月與48平行嗎？請說明理由.

【答案】（1）見解析；（2）平行，見解析

【分析】（I）由Nl=/8可得AD〃8C,進而根據平行線的性質即可求得NC的度數；

（2）根據N2=40。，以及。E平分乙4。。，求得4。七=70。=/1,根據內錯角相等兩

直線平行即可證明DE//AB.

（1）VZl=70°Zfi=70°

：,AD//BC

???ZC=Z2=40°

(2)如果。E平分乙4。。，則AB〃OE

理由：:DE平分N4OC,Z2=40°

co族正2幽』。。

22

XVZ1=7O°

/.ZADE=Z\=70°

：.DE//AB.

【點撥】本題考查了平行線的性質與判定，角平分線的定義，掌握平行線的性質與判定

是解題的關鍵.

舉一反三：

【變式1】如圖，ABHED,。=乙4+/石，戶=N〃+NC+N〃，求尸：a.

【答案】2：1

【分析】過。點作根據平行線的性質解答即可.

解：過。點作C/ZM&

*：AB//ED,

：.CF//DE,

:.Z5+Z2=ZD+Z1=180°,

VB+NBCD+ND=NB+N2+ND+N1=360。,

?：AB//DEf

ZA+ZE=a=180°,

.\/?:a=360°：180°=2：1,

【點撥】本題考查平行線的判定和性質，關鍵是根據平行線的性質解答.

【變式2】如圖，已知CO_LA8,Z1=Z2,求4即的度數.在下面橫線上填空或填

寫理由.

解：因為CDJ_48,

所以/必7=90。（）.

又因為N1=N2（已知），

所以（同位角相等，兩直線平行），

所以/BEF=NBDC=（）.

【答案】見解析

【分析】根據垂線的定義與平行線的判定與性質進行求解即可得出答案.

解：因為。_LAB,

所以/8。。=90。（垂線定義）.

又因為N1=N2（已知），

所以。力〃E尸（同位角相等，兩直線平行），

所以NAEF=NBQC=90。（兩直線平行，同位角相等）.

【點撥】本題主要考查了平行線的判定與性質，熟練應用平行線的判定與性質進行求解

是解決本題的關鍵.

類型八、根據平行線的性質和判定進行證明

@8.完成下面的證明.

如圖，己知EF±BCtZ1=Z2,求證：NA4C+NAG&=180。.

證明：-：AD±BCt妙LLBC（已知），

，NEFB=90。，ZADB=90°（）,

：.^EFB=AADB（等量代換），

：.Eb//AD（）,

；?N1=NBAD（）,

又???N1=N2（已知），

??.N2=N一（等量代換），

：.DG//BA（內錯角相等，兩直線平行）,

AZBAC+ZAG￡>=180°（）.

【答案】垂直的定義；同位角相等，兩直線平行；西直線平行，同位角相等；840；兩

直線平行，同旁內角互補

【分析】先由垂直的定義得出兩個90。的同位角，根據同位角相等判定兩直線平行，根

據兩直線平行，同位角相等得到N1=4MD,再根據等量代換得出NBA￡）=N2,根據內錯角

相等，兩直線平行，最后根據兩直線平行，同旁內角互補即可判定.

解：*：AD1BC,（已知），

/.ZEFB=90°,NAO8=90。（垂直的定義），

AZEFB=ZADB（等量代換），

：.EF//AD（同位角相等，兩直線平行），

???/l=NZM。（兩直線平行，同位角相等），

又???N1=N2（已知），

???N2=NR4O（等量代換），

：,DG//BA（內錯角相等，兩直線平行），

???N84C+NAGO=1BO。（兩直線平行，同旁內角互補）.

故答案為：垂直的定義；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；BAD；

兩直線平行，同旁內角互補

【點撥】本題考查的是平行線的性質及判定，熟練掌握平行線的性質定理和判定定理是

關鍵.

舉一反三：

【變式1】如圖所示，AD±BCtEF±BCtZ3=ZC,則N1和N2什么關系?并說明

理由.

【分析】根據題目己知得出AO〃曰"由平行線的性質可得N1=N4,由N3=NC可證

明QG//AC,故可得/2=/4,等量代換即可得出答案.

Zl=Z2.理由如下：

\-ADLBC,EFA.BC,

:.ZADB=NEFB，

（同位角相等，兩直線平行），

「./1=/4（兩直線平行，同位角相等），

???N3=NC,

??.DG//AC（同位角相等，兩直線平行），

.??Z2=N4（兩直線平行，內錯角相等），

.?21=22（等量代換）.

【點撥】本題考查平行線的判定與性質，掌握平行線的判定與性質是解題的關鍵.

【變式2】如圖，已知NAED=NC,NOE/=NB,試說明//產6+/8。6=180。，清完

成下列填空：

VZAED=ZC()

：.ED//BC()

:.ZDEF=ZEHC()

?：4DEF=4B(已知)

?,?（等量代換）

???RO〃E〃（同位角相等，兩直線平行）

???N3OG=N。尸E倆直線平行，內錯角相等）

V（鄰補角的意義）

.\ZEFG+ZBDG=180o（）

【答案】已知；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，內錯角相等；ZEHC=ZB；

NDFE+NEFG=180。；等量代換

【分析】根據同位角相等，兩直線平行推出￡/）〃8C,通過兩直線平行，內錯角相等推

出NOE金再運用等量代換得到NE〃C=N8,最后推出8。〃石〃，NBDG=NDFE,

再利用鄰補角的意義推出結論，據此回答問題.

解：???乙4瓦）=/。（已知）

???ED〃8a同體角相等,兩百線平行）

???/￡）以三NE"C（兩直線平行，內錯角相等）

?:NDEF=NB（已知）

???NEHC=/B（等量代換）

???B。〃石〃（同位角相等，兩直線平行）

???NBDG=N。尸E（兩直線平行，內錯角相等）

?：NDFE+NEFG=lXOc（鄰補角的意義）

AZEFG+ZBDG=180o（等量代換）.

【點撥】本題主要考杳平行線的判定和性質，屬于綜合題，難度一般，熟練掌握平行線

的判定和性質是解題關鍵.

類型九、求平行線間的距離

?^9.如圖，己知/C+NCFD=180°,/C=/EDF,4/，小于點6,DH1BC于

H,AG=DH=3.

（1）求證：DEVBC；

(2)求點A到8C的距離.

【答案】(1)見解析(2)6

【分析】(I)根據已如求證NC尸。+/￡￡/=18()。即可；

(2)根據平行公理得出A/_L8C,從而得出4尸即為點A到8c的距離，再根據線段

的和即可得出答案.

解：(1)VZC+ZCFD=180°,ZC=ZEDF,

:.ZCFD+ZEDF=180°,

DE//BC,

(2)-.AFLDE,DEf/BC

，AFA.BC,

???A廠即為點A到BC的距離，

VAF±BC.DHIBC,

???DH=GF=3,

AF=AG+GF=6,

故點A到的距離為6.

【點撥】本題主要考查平行線的判定，點到直線的距離，平行線間的距離，熟知平行線

的判定定理以及平行線間距離處處相等時解題的關鍵.

舉一反三：

【變式1】如圖，直線”〃力，A3與a,b分別相交于點A,B,且AC_LA5,AC交直

線b于點C.

(1)若Nl=60。，求N2的度數；

(2)若AC=5,AB=12f5c=13,求直線。與〃的距離.

【答案】(1)30(2)魯

【分析】(1)如圖(見解析)，先根據平行線的性質可求出/3的度數，再根據垂直的性

質即可得;

(2)先畫出a與b之間的距離，再利用三角形的面積公式即可得.

(I)如圖，???直線H/b,Zl=60°

...Z3=N1=6O°

又?.?AC_LA8

.?.Z2=900-Z3=30°；

(2)如圖，過A作AD，3ct于D,則AD的長即為a與b之間的距離

-AC±AB

：

.S^RC=2-A2BAC=-BCAD

AC=5,AB=\2,8c=13

,\-xl2x5=-xl3AD

22

解得AQq

【點撥】本題考查了平行線的性質、垂直的性質等知識點，屬于基礎題，熟記各性質是

解題關鍵.

【變式2】已知直線a,b,c,a//bfb//cf且。與力之間的距離為5,8與c之間的距

離為3,求。與c之間的距離.

【答案】。與c之間的距離是8或2.

【分析】分①當〃在。，c之間和當。在兒。之間兩種情況求解即可.

解：①當人在a,c之間時，

〃與c之間的距離為5+3=8；

②當c?在兒〃之間時，

。與c之間的距離為5—3=2.

所以。與c之間的距離是8或2.

【點撥】本題考查了兩平行線間的距離及分類討論的數學思想，因題目沒指明三條直線

的順序關系，所以分兩種情況求解是解答本題的關鍵.

類型十、利用平行線間的距離解決問題

C>10.已知：如圖，DC//AB,且=E為A8的中點.

（1）求證：VAED^fEBC；

（2）在不添加輔助線的情況下，除E8C外，請再寫出兩個與一口的面積相等的三

角形.（直接寫出結果，不要求證明）

【答案】（1）見解析：（2）.AECLCDA.（答案不唯一）.

【分析】（1）由兩直線平行，同位角相等解得N4￡D=NCQ￡,再由SAS證得

CDE^AED,根據全等三角形的性質得到NAOEuNCEnAOuCE,繼而證明41/地石,

由兩直線平行，同位角相等解得/￡4O=N3EC,再由SAS'證得VAEZ在VEBC；

（2）根據平行線間的距離處處相等，及等底等高的三角形面積相等解題即可.

解：（1）證明：???DC//AB.

ZAED=NCDE,

;AE=DC,DE=ED,

:.一CDEWAED(SAS),

:.ZADE=NCED,AD=CE,

；?AD//CE,

:.ZEAD=ZBEC,

又???￡：是44的中點，

AE=EB,

:一AE哈一EBC（SAS）；

（2）根據平行線間的距離處處相等，及等底等高的三角形面積相等，可知,AEC,CZM

的面積與一曲的面枳相等.（答案不唯一）

【點撥】本題考查全等三角形的判定與性質、平行線的性質等知識，是重要考點，掌握

相關知識是解題關鍵.

舉一反三：

【變式1】探究規律：我們有可以直接應用的結論：若兩條直線平行，那么在一條直

線上任取一點，無論這點在直線的什么位置，這點到另一條直線的距離均相等.例如：如

圖1,兩直線機〃〃，兩點〃、丁在