2025-2026學年上海嘉定高三上學期數(shù)學一模試題（含答案）

/嘉定區(qū)2025-2026學年第一學期高三年級數(shù)學一模一、填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）考生應在答題紙的相應位置直接填寫結果.1.已知集合，，則_____.2.已知直線經(jīng)過點，則的傾斜角為_____.3.已知復數(shù)(為虛數(shù)單位)，則_____.4.雙曲線的離心率為_____.5.已知空間向量，且，則_____.6.在的二項展開式中，各項系數(shù)的和是_____.7.已知圓錐側面展開圖中扇形的中心角為，底面周長為，則這個圓錐的側面積為_____.8.兩個籃球運動員甲和乙罰球時命中的概率分別是0.7和0.6，兩人各罰球一次，假設事件“甲命中”與“乙命中”是獨立的，則至少一人命中的概率是_____.9.已知數(shù)列滿足，且，則_____.10.已知向量為直線上的一個動點，當取最小值時,向量的坐標為_____.11.已知,且,則實數(shù)的取值范圍是_____12.是的全排列,如果對任意的和中至，有一個大于，則滿足要求的排列的總數(shù)為_____.二、選擇題(本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分)每題有且只有一個正確選項.考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑.13.如果,那么下列不等式中成立的是（）.A.B.C.B.14.函數(shù)是（）.A.最小正周期為的奇函數(shù)B.最小正周期為的偶函數(shù)C.最小正周期為的奇函數(shù)D.最小正周期為的偶函數(shù)15．若實數(shù)滿足，則的大小關系不可能是（）A．B．C．D.16.數(shù)列的前項和為,且對任意正整數(shù),總存在正整數(shù),使得.則下列命題中正確的是（）.A.對任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得B.數(shù)列一定是等差數(shù)列G存在公比為正整數(shù)的等比數(shù)列滿足條件D.對任意正整數(shù),總存在正整數(shù),使得三、解答題(本大題共有5題，滿分78分)解答下列各題必須在答題紙的相應位置寫出必要的步驟.17.(本題滿分14分，第1小題4分，第2小題4分，第3小題6分)A校抽取66名高一年級學生測量身高,因某種原因原始數(shù)據(jù)遺失.已知該樣本是按照分層隨機抽樣的方法抽取的,其中男生34名,身高平均數(shù)為173cm;女生32名,身高平均數(shù)為161cm.該66名學生身高的方差為60.其頻率分布直方圖如下:(1)求該66名學生中身高在[169.5,172.5)(單位:cm)內的人數(shù)；(2)試用已知數(shù)據(jù)估計A校高一年級全體學生身高的平均數(shù)；（結果精確到0.1cm）(3)若一組數(shù)據(jù)落在(是平均數(shù)，是標準差)內的頻率不小于，則稱這組數(shù)據(jù)滿足“常態(tài)”.試判斷這66個身高數(shù)據(jù)是否滿足“常態(tài)”，并說明理由.18.(本題滿分14分，第1小題7分，第2小題7分)如圖，在四面體中，，從頂點作平面的垂線，垂足恰好落在的中線上.(1)如果，直線與平面所成的角為，求直線與平面所成角的大小；(2)證明:平面平面.19.(本題滿分14分,第1小題7分,第2小題7分)已知.(1)若，求函數(shù)的單調區(qū)間.(2)若在上存在零點，求實數(shù)的最大值20.(本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分)如圖，在平面直角坐標系中，為原點，已知拋物線的焦點為,點的坐標為.(1)若點在上，且，求點的坐標；(2)若是上的任意一點，求的最小值；(3)過點的動直線與拋物線交于兩點，過點分別作的切線，兩條切線相交于點,求證:點的軌跡是一條直線.21.(本題滿分18分，第1小題4分，第2小題7分，第3小題7分)圖1為轉角過道的地面平面示意圖.該過道由兩條直道連接形成轉角，由水平平坦的地面與垂直于地面的墻面共同圍成，兩端延伸至足夠遠處，且高度充足.其中，、構成地面上過道的一側邊界,;地面上過道的另一側邊界,則分別與平行,且交于點.過道兩側平行墻面之間的距離均為3米.(1)如圖2，在地面有一圓，該圓與、均相切，且過點.求此圓的半徑:(2)如圖3，有一根長度為米的無粗細木棒緊貼地面，端點沿移動，另一端點沿移動.當木棒觸碰到點時，(弧度)，求關于的函數(shù)關系及的最小值；(3)如圖4，某長方體家具的底面為長方形，其寬為1米，長為10米(因過道高度足夠,無需考慮家具高度).現(xiàn)將底面EFGH緊貼地面移動,判斷該家具能否順利通過此轉角過道,并說明理由. 嘉定區(qū)2025-2026學年第一學期高三年級數(shù)學一模一、填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）考生應在答題紙的相應位置直接填寫結果.1．.2．3．4．5．6．7．8．9．10．11．12．二、選擇題(本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分)每題有且只有一個正確選項.考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑.13.B14.C15.D16.D三、解答題(本大題共有5題，滿分78分)解答下列各題必須在答題紙的相應位置寫出必要的步驟.17.(本題滿分14分，第1小題4分，第2小題4分，第3小題6分)A校抽取66名高一年級學生測量身高,因某種原因原始數(shù)據(jù)遺失.已知該樣本是按照分層隨機抽樣的方法抽取的,其中男生34名,身高平均數(shù)為173cm;女生32名,身高平均數(shù)為161cm.該66名學生身高的方差為60.其頻率分布直方圖如下:(1)求該66名學生中身高在[169.5,172.5)(單位:cm)內的人數(shù)；(2)試用已知數(shù)據(jù)估計A校高一年級全體學生身高的平均數(shù)；何先果精確到0.1cm(3)若一組數(shù)據(jù)落在(是平均數(shù)，是標準差)內的頻率不小于，則稱這組數(shù)據(jù)滿足“常態(tài)”.試判斷這66個身高數(shù)據(jù)是否滿足“常態(tài)”，并說明理由.【正確答案】（1）（2）（3）滿足（1）頻率分布直方圖的組距為3cm.因為[169.5,172.5)對應的縱坐標值為0.04，故頻率=0.04×3=0.12.人數(shù)=66×0.12≈8（人）.因此，身高在該區(qū)間內的人數(shù)為8人.（2）樣本平均數(shù)為：由分層隨機抽樣原則，可估計總體身高平均數(shù)約為.（3）已知方差s2=60，則標準差s=?≈7.75.平均數(shù)≈167.2，因此區(qū)間約為.因此，落在[?2s,+2s]內的頻率=1?兩側尾部頻率之和.區(qū)間對應的頻率為0.01×3=0.03，其中超出182.7的部分的頻率小于0.03.區(qū)間對應的頻率約為0.017×30.051，其中小于151.7的部分的頻率遠小于0.05.因此，落在區(qū)間內的頻率>1?(0.03+0.05)=92%，滿足“常態(tài)”.18.(本題滿分14分，第1小題7分，第2小題7分)如圖，在四面體中，，從頂點作平面的垂線，垂足恰好落在的中線上.(1)如果，直線與平面所成的角為，求直線與平面所成角的大小；(2)證明:平面平面.【正確答案】（1）（2）證明見解析（1）連接.因為平面ABC，所以直線VD與平面ABC所成的角為.在△VOD中，，.因為，D是AB中點，所以.在中，由勾股定理得.因為平面ABC，所以是直線VA與平面ABC所成的角.在△VAO中，，故即為所求.（2）因為平面ABC，平面ABC，所以.又因為，D是AB中點，所以.及，且平面VCD，平面VCD，所以平面VCD.(5分)又平面VAB，根據(jù)面面垂直的判定定理，平面平面.19.(本題滿分14分,第1小題7分,第2小題7分)已知.(1)若，求函數(shù)的單調區(qū)間.(2)若在上存在零點，求實數(shù)的最大值【正確答案】（1）在嚴格增，在嚴格減（2）（1）.令，解得.將不同駐點及其所劃分出的區(qū)間列表如下：1+0－0+極大值極小值因此的單調增區(qū)間是及，單調減區(qū)間是.（2）由 得 （）， .令，則“在上存在零點”等價于“是，的某個函數(shù)值”..解，得.當時，，即在內嚴格增.當時，，即在內嚴格減.因此，的最大值是.因此，的最大值是.20.(本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分)如圖，在平面直角坐標系中，為原點，已知拋物線的焦點為,點的坐標為.(1)若點在上，且，求點的坐標；(2)若是上的任意一點，求的最小值；(3)過點的動直線與拋物線交于兩點，過點分別作的切線，兩條切線相交于點,求證:點的軌跡是一條直線.【正確答案】（1）（2）（3）（1）設點的坐標是，則.解，得.因此，點的坐標是或.(2)設點F到準線的距離為，則，.因此拋物線Γ的準線方程為.根據(jù)拋物線定義，拋物線上點P到焦點F的距離等于到準線的距離.過P作準線于H，過A作準線于T，則.等號當PA垂直于準線時取到，而A到準線的距離為，故所求的最小值為.(3)直線的斜率存在，設為，則直線的方程為.與聯(lián)立，得.設，，則，.由，拋物線在B處的切線方程為，化簡得.同理，拋物線在C處的切線方程為.聯(lián)立切線方程，解得D的坐標為.設消去（的取值范圍為一切實數(shù)），得即為D的軌跡方程，因此D的軌跡是一條直線.21.(本題滿分18分，第1小題4分，第2小題7分，第3小題7分)圖1為轉角過道的地面平面示意圖.該過道由兩條直道連接形成轉角，由水平平坦的地面與垂直于地面的墻面共同圍成，兩端延伸至足夠遠處，且高度充足.其中，、構成地面上過道的一側邊界,;地面上過道的另一側邊界,則分別與平行,且交于點.過道兩側平行墻面之間的距離均為3米.(1)如圖2，在地面有一圓，該圓與、均相切，且過點.求此圓的半徑:(2)如圖3，有一根長度為米的無粗細木棒緊貼地面，端點沿移動，另一端點沿移動.當木棒觸碰到點時，(弧度)，求關于的函數(shù)關系及的最小值；(3)如圖4，某長方體家具的底面為長方形，其寬為1米，長為10米(因過道高度足夠,無需考慮家具高度).現(xiàn)將底面EFGH緊貼地面移動,判斷該家具能否順利通過此轉角過道,并說明理由.【正確答案】（1）（2）（3）否（1）設該圓半徑為，圓心為，則在上，且到的距離為，因此.(1分).解得（米）.此圓的半徑為米.(2)如圖，作于，作于，則因此，