2026屆石家莊市第四十中學高一下數學期末學業質量監測模擬試題含解析

2026屆石家莊市第四十中學高一下數學期末學業質量監測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知數列滿足，且，其前n項之和為，則滿足不等式的最小整數n是（）A．5 B．6 C．7 D．82．如圖，在正方體中，，分別是中點，則異面直線與所成角大小為（）．A． B． C． D．3．有四個游戲盤，將它們水平放穩后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分則可中獎，小明要想增加中獎機會，應選擇的游戲盤是A． B． C． D．4．設等比數列的前項和為，若，，則（）A．63 B．62 C．61 D．605．一枚骰子連續投兩次，則兩次向上點數均為1的概率是（）A． B． C． D．6．已知函數的部分圖象如圖所示，則函數在上的最大值為（）A． B． C． D．17．在中，，則這個三角形的形狀為()A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形8．“”是“”成立的（）A．充分非必要條件. B．必要非充分條件.C．充要條件. D．既非充分又非必要條件.9．某學生用隨機模擬的方法推算圓周率的近似值，在邊長為的正方形內有一內切圓，向正方形內隨機投入粒芝麻，（假定這些芝麻全部落入該正方形中）發現有粒芝麻落入圓內，則該學生得到圓周率的近似值為（）A． B． C． D．10．直線傾斜角的范圍是（）A．（0，] B．[0，] C．[0，π） D．[0，π]二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數列是公差不為0的等差數列，，且成等比數列，則的前9項和_______.12．在中,內角的對邊分別為,若的周長為,面積為，，則__________．13．己知某產品的銷售額y與廣告費用x之間的關系如表：單位：萬元01234單位：萬元1015203035若求得其線性回歸方程為，則預計當廣告費用為6萬元時的銷售額為_____14．已知、、分別是的邊、、的中點，為的外心，且，給出下列等式：①；②；③；④其中正確的等式是_________（填寫所有正確等式的編號）.15．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，的平分線交AC于點D，且，則的最小值為________．16．一艘海輪從出發，沿北偏東方向航行后到達海島，然后從出發沿北偏東方向航行后到達海島，如果下次直接從沿北偏東方向到達，則______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖所示，一個半圓和長方形組成的鐵皮，長方形的邊為半圓的直徑，為半圓的圓心，，，現要將此鐵皮剪出一個三角形，使得，.(1)設，求三角形鐵皮的面積；(2)求剪下的鐵皮三角形的面積的最大值.18．已知點是函數的圖象上一點,等比數列的前n項和為,數列的首項為c,且前n項和滿足:當時,都有.(1)求c的值;(2)求證:為等差數列,并求出.(3)若數列前n項和為,是否存在實數m,使得對于任意的都有,若存在,求出m的取值范圍,若不存在,說明理由.19．如圖所示，某住宅小區的平面圖是圓心角為120°的扇形，小區的兩個出入口設置在點及點處，且小區里有一條平行于的小路，已知某人從沿走到用了10分鐘，從沿走到用了6分鐘，若此人步行的速度為每分鐘50米，求該扇形的半徑的長.20．已知函數，，數列滿足，，.（1）求證；（2）求數列的通項公式；（3）若，求中的最大項.21．已知向量，，函數.（1）若且，求；（2）求函數的最小正周期T及單調遞增區間.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

首先分析題目已知3an+1+an=4（n∈N*）且a1=9，其前n項和為Sn，求滿足不等式|Sn﹣n﹣6|＜的最小整數n．故可以考慮把等式3an+1+an=4變形得到，然后根據數列bn=an﹣1為等比數列，求出Sn代入絕對值不等式求解即可得到答案．【詳解】對3an+1+an=4變形得：3（an+1﹣1）=﹣（an﹣1）即：故可以分析得到數列bn=an﹣1為首項為8公比為的等比數列．所以bn=an﹣1=8×an=8×+1所以|Sn﹣n﹣6|=解得最小的正整數n=7故選C．【點睛】此題主要考查不等式的求解問題，其中涉及到可化為等比數列的數列的求和問題，屬于不等式與數列的綜合性問題，判斷出數列an﹣1為等比數列是題目的關鍵，有一定的技巧性屬于中檔題目．2、C【解析】

通過中位線定理可以得到在正方體中，可以得到所以這樣找到異面直線與所成角，通過計算求解．【詳解】分別是中點，所以有而，因此異面直線與所成角為在正方體中，,所以，故本題選C．【點睛】本題考查了異面直線所成的角．3、A【解析】由幾何概型公式：A中的概率為，B中的概率為，C中的概率為，D中的概率為．本題選擇A選項.點睛：解答幾何概型問題的關鍵在于弄清題中的考察對象和對象的活動范圍．當考察對象為點，點的活動范圍在線段上時，用線段長度比計算；當考察對象為線時，一般用角度比計算，即當半徑一定時，由于弧長之比等于其所對應的圓心角的度數之比，所以角度之比實際上是所對的弧長(曲線長)之比．4、A【解析】

由等比數列的性質可得S2，S4-S2，S6-S4成等比數列，代入數據計算可得．【詳解】因為，，成等比數列，即3，12，成等比數列，所以，解得.【點睛】本題考查等比數列的性質與前項和的計算，考查運算求解能力.5、D【解析】

連續投兩次骰子共有36種，求出滿足情況的個數，即可求解.【詳解】一枚骰子投一次，向上的點數有6種，則連續投兩次骰子共有36種，兩次向上點數均為1的有1種情況，概率為.故選:D.【點睛】本題考查古典概型的概率，屬于基礎題.6、A【解析】

由圖象求出T、ω和φ的值，寫出f（x）的解析式，再求x∈[6，10]時函數f（x）的最大值．【詳解】由圖象可知，5﹣3＝2，解得T＝8，由T8，解得ω；∴函數的解析式是f（x）＝sin（x+φ）；∵（5，1）在f（x）的圖象上，有1＝sin（φ）∴φ＝2kπ，k∈Z；φ＝2kπ，k∈Z；又﹣π＜φ＜0，∴φ；∴函數的解析式是f（x）＝sin（x）當x∈[6，10]時，x∈[，]，∴sin（x）∈[﹣1，]；∴函數f（x）的最大值是．故選A．【點睛】本題考查了三角函數的圖象與性質的應用問題，熟記圖像與性質是關鍵，是基礎題．7、B【解析】解：8、A【解析】

依次分析充分性與必要性是否成立.【詳解】時，而時不一定成立，所以“”是“”成立的充分非必要條件，選A.【點睛】本題考查充要關系判定，考查基本分析判斷能力，屬基礎題9、B【解析】

由落入圓內的芝麻數占落入正方形區域內的芝麻數的比例等于圓的面積與正方形的面積比相等，列等式求出的近似值.【詳解】邊長為的正方形內有一內切圓的半徑為，圓的面積為，正方形的面積為，由幾何概型的概率公式可得，得，因此，該學生得到圓周率的近似值為，故選：B.【點睛】本題考查利用隨機模擬思想求圓周率的近似值，解題的關鍵就是利用概率相等結合幾何概型的概率公式列等式求解，考查計算能力，屬于基礎題.10、C【解析】試題分析：根據直線傾斜角的定義判斷即可．解：直線傾斜角的范圍是：[0，π），故選C．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、117【解析】

由成等比數列求出公差，由前項公式求和．【詳解】設數列是公差為，則，由成等比數列得，解得，∴．故答案為：117.【點睛】本題考查等差數列的前項和公式，考查等比數列的性質．解題關鍵是求出數列的公差．12、3【解析】

分析：由題可知，中已知，面積公式選用，得，又利用余弦定理，即可求出的值.詳解：，，由余弦定理，得又，，解得.故答案為3.點睛：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據正、余弦定理結合已知條件靈活轉化邊和角之間的關系，從而達到解決問題的目的．其基本步驟是：第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標出來，然后確定轉化的方向；第二步：定工具，即根據條件和所求合理選擇轉化的工具，實施邊角之間的互化；第三步：求結果.13、【解析】

由已知表格中數據求得，，再由回歸直線方程過樣本中心點求得，得到回歸方程，取即可求得答案．【詳解】解：，，，．則，取，得．故答案為：【點睛】本題考查線性回歸方程的求法，考查計算能力，是基礎題．14、①②④.【解析】

根據向量的中點性質與向量的加法運算,可判斷①②③.【詳解】、、分別是的邊、、的中點,為的外心,且,設三條中線交點為G,如下圖所示:對于①,由三角形中線性質及向量加法運算可知,所以①正確;對于②,,所以②正確;對于③,,所以③錯誤;對于,由外心性質可知,所以故正確.綜上可知,正確的為①②④.故答案為:①②④.【點睛】本題考查了向量的線性運算,三角形外心的性質及應用,屬于基礎題.15、32【解析】

根據面積關系建立方程關系，結合基本不等式1的代換進行求解即可．【詳解】如圖所示，則△ABC的面積為，即ac=2a+2c，得，得，當且僅當，即3c=a時取等號；∴的最小值為32.故答案為：32.【點睛】本題考查三角形中的幾何計算，屬于中等題.16、【解析】

首先根據余弦定理求出，在根據正弦定理求出，即可求出【詳解】有題知.所以.在中，，即，解得.所以，故答案為：【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理的實際應用，熟練掌握公式為解題的關鍵，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）三角形鐵皮的面積為；（2）剪下的鐵皮三角形的面積的最大值為.【解析】試題分析：（1）利用銳角三角函數求出和的長度，然后以為底邊、以為高，利用三角形面積公式求出三角形的面積；（2）設，以銳角為自變量將和的長度表示出來，并利用面積公式求出三角形的面積的表達式，利用與之間的關系，令將三角形的面積的表達式表示為以為自變量的二次函數，利用二次函數的單調性求出三角形的面積的最大值，但是要注意自變量的取值范圍作為新函數的定義域.試題解析：（1）由題意知，，，，即三角形鐵皮的面積為；（2）設，則，，，，令，由于，所以，則有，所以，且，所以，故，而函數在區間上單調遞增，故當時，取最大值，即，即剪下的鐵皮三角形的面積的最大值為.考點：1.三角形的面積；2.三角函數的最值；3.二次函數的最值18、(1)1;(2)證明見解析,;(3)存在,.【解析】

(1)根據題意可得，再根據等比數列的性質即可求出c(2)根據題意可得，然后求出和(3)利用裂項求和法求出前n項和為，然后就可得出m的范圍【詳解】(1)因為所以，即即前n項和為,所以，因為是等比數列所以有，即解得(2)且數列構成一個首項為1，公差為1的等差數列所以，即

所以(3)因為對于任意的都有所以【點睛】常見的數列求和方法有公式法即等差等比數列的求和公式、分組求和法、裂項相消法、錯位相減法.19、【解析】

連接，由題意，得米，米，，在△中，由余弦定理可得答案.【詳解】設該扇形的半徑為米，連接，如圖所示：由題意，得米，米，，在△中，由余弦定理得，即，解得米.答：該扇形的半徑的長為米.【點睛】本題考查了利用余弦定理解三角形，將問題轉化為在三角形中求解是解題關鍵，屬于基礎題.20、（1）見解析；（2）；（3）【解析】

（1）將化簡后可得要求證的遞推關系.（2）將（1）中的遞推關系化簡后得到，從而可求的通項公式.（3）結合（2）的結果化簡，換元后利用二次函數的性質可求最大值.【詳解】（1）證明：由，，，得.又，∴.（2）∵，即，∴是公比為的等比數列.又，∴.（3）由（2）知，因為，所以，所以，令，則，又因為且，