【《高中數學教學中橢圓性質的補充研究》7000字】

高中數學教學中橢圓性質的補充研究摘要：本文針對于學生僅依靠教材上橢圓的相關知識進行學習后，但未取得理想效果這樣普遍存在的問題提出了高中數學教材應補充的橢圓焦半徑、焦點三角形、通徑及到焦點距離最大值、最小值的點的位置幾個重要性質，并且分析出了這些性質得以補充后對學生學習橢圓有哪些增益及優點，同時也折射出一些對教師新的要求，如何引導學生更有效地學習、理解知識及更加熟練地掌握、運用知識。關鍵詞：橢圓；焦半徑；焦點三角形；通徑；到焦點距離的最值目錄摘要…………………Ⅰ一、認識橢圓………………………11.橢圓的背景…………………12.橢圓的地位…………………13.橢圓的三大定義及標準方程………………23.1橢圓的第一定義………23.2橢圓的第二定義………23.3橢圓的第三定義………23.4橢圓三個定義間的關系………………33.5橢圓的標準方程………34.橢圓在中學課堂中的教學…………………4二、橢圓的幾個重要幾何性質……………………51.焦半徑………………………51.1焦半徑的概念及推導…………………51.2焦半徑的應用…………52.焦點三角形…………………82.1焦點三角形的概念及面積公式推導…………………82.2焦點三角形的應用……………………93.通徑…………103.1通徑的概念及推導……………………103.2通徑的應用……………104.到焦點距離最大、小值的點的位置………114.1概念及公式推導………114.2應用……………………12三、幾個重要性質補充后的優點…………………13四、小結……………13參考文獻……………14一、認識橢圓1.橢圓的背景我們在高中課程中學習過圓錐曲線，而橢圓作為圓錐曲線的一類，我們在真正認識它是什么之前有必要去了解圓錐曲線是什么時候以及怎樣被人們發現的，以及圓錐曲線的在不同歷史時期的發展歷程。在古代，還沒有機械鐘表的問世之前。人類在日常生活中，計時往往是通過同一物體在太陽光線照射下所形成影子位置的改變來記錄太陽的方位，從而粗略的獲得時間刻度。在這一前提下，最早是在古巴比倫時期，人類生活中就出現了“日晷”。其實是在太陽光線的照射下，形狀為圓形的日晷照射在地面上呈現出一個不太圓的陰影，這一奇妙的陰影引起了人們的注意和觀察，便由此引發了思考，相關數學學者也自此對圓錐曲線展開了研究。資料顯示還有另外一種可能的起源，便是“倍立體方”（構造一個立方體，其體積是已知立方體體積的兩倍）問題的求解，這一問題與“畫圓為方”、“三等分角”并稱古希臘的三大幾何問題。這一問題的求解吸引了諸多數學家的關注，其中希波克拉底指出：此問題可以轉化為‘在一線段與另一雙倍長的線段之間求兩個比例中項的問題’。翻譯成現代數學語言就是：對長為和的線段，求作線段使得，由此可推出REF_Ref29385\r\h[1]，對于這些解析式圖像的好奇就可能是使得當時數學家開始關注此類曲線的原因。柏拉圖學派的梅內克繆斯在研究“倍立方”問題時一并研究出了圓錐曲線的性質：他利用三種正圓錐——銳角的、直角的和鈍角的圓錐，再用垂直于錐面一母線的平面來切割每個圓錐面，從而得到了橢圓、拋物線和雙曲線的一支REF_Ref29385\r\h[1]。梅內克繆斯通過截圓錐的方式獲得了三類圓錐曲線，后來這一起源也被帶入課堂進行講解剖析，他也被公認為最早提出圓錐曲線的學者。阿波羅尼斯所著《圓錐曲線論》涵蓋了圓錐曲線幾乎所有的性質，他也是發現雙曲線有兩支的第一人。后來其所有性質被現代語言改編，從而進入課堂教學、科學研究等相關領域。2.橢圓的地位橢圓的知識被編入高中教材，從而使得無數人參考學習。同時在高考中占有較大的分值，每年高考有關于圓錐曲線的題目約占全卷的13%，可以說是相當重要的考點。并且我們教材中首先接觸到的橢圓作為本章的第一個具體的圓錐曲線，更是有著舉足輕重的作用，為后面兩種曲線的學習打下了理論基礎。在學習橢圓前，學生對必修2所學的直線與圓的方程有一定的掌握，對曲線和方程的概念有了一定的了解。同時，橢圓也是運用坐標法去研究標準方程以及幾何性質的第一個具體的圓錐曲線，為后面雙曲線、拋物線的學習和研究提供了實踐操作基礎。從思想方面來考慮，此章節是把《曲線與方程》的思想加上數形結合解決二次曲線問題的一個特例。從內容方面來考慮，此章節是為解決幾何問題所采用坐標法的實踐，同時也是給探究橢圓的幾何性質夯實了基礎。另一方面，考慮到后續兩類圓錐曲線的學習，此章節也為之搭建了基本模式及理論基礎REF_Ref29806\r\h[2]。因此，這一部分的內容在中學數學學習中起到了至關重要的過渡作用，在高考中同樣也占據相當大的分值比例及重要地位。由此看來，在高中數學學習中橢圓的學習是如此的重要，學好橢圓的知識也是如此的必要。除此之外，橢圓與人類的日常生活、生產活動以及科學研究科研都有著非常密切的聯系，尤其體現在研究橢圓透鏡、行星運行的軌道、旋轉體軌道等方面REF_Ref29806\r\h[2]。無論從哪方面去衡量，橢圓都已經滲透進了人類生活，在人類生活中扮演著重要的角色。所以我們都應該去學習橢圓知識，了解并剖析橢圓，在此基礎上將所學應用至實際。3.橢圓的三大定義及標準方程在中學教材中，只有對橢圓第一定義的闡述。第二定義都是通過例題引入，化簡進行總結的。雖然兩種定義方法不同，但軌跡方程是相同的，都是橢圓的標準方程。大家可能會有疑惑：為什么定義方法完全不同，但會出現相同的軌跡方程呢？它們之間的內在聯系是什么？關于圓錐曲線的第三定義，教材中并沒有明確提出，只是在習題中有所涉及，但是在平常練習和考試中還是會經?？疾欤粤私夂驼莆盏谌x還是很有必要的。第三定義也是完全不同的定義方法，為什么也會與第一定義、第二定義等價呢？3.1橢圓的第一定義把平面內與兩個定點的距離之和等于常數（大于）的點的軌跡叫作橢圓。這兩個定點叫作橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距，用符號表示為：．注意：（１）當時，軌跡是以點為端點的線段,（２）當時，軌跡不存在。3.2橢圓的第二定義平面上到定點的距離與到定直線的距離之比為常數(即橢圓的離心率)的點的集合（定點不在定直線上，該常數為小于1的正數），其中定點為橢圓的焦點，定直線稱為橢圓的準線（該定直線的方程是〈焦點在軸上〉或者〈焦點在軸上〉)。3.3橢圓的第三定義平面內的動點到兩定點的斜率乘積，等于常數的點的軌跡，叫做橢圓或雙曲線，其中兩定點分別為橢圓或雙曲線的頂點；當常數大于-1小于0時為橢圓；當常數大于0時為雙曲線REF_Ref30015\r\h[3]。3.4橢圓三個定義間的關系我們利用第一定義推導橢圓的標準方程過程是這樣的：建立坐標系，根據幾何關系寫出等式：①移項后平方：②再次平方：③令可得橢圓標準方程：④對等式②進行簡單變形，可以發現橢圓的第二定義：也就是說，第二定義已經天然的蘊含在第一定義當中了，二者其實是一回事，只不過選擇了不同的描述方式。同樣，我們對等式③進行簡單的變形，就可以發現橢圓的第三定義：繼續變形可以得到：即平面內的動點到兩個定點的斜率乘積為一個常數。3.5橢圓的標準方程當焦點在軸上時，橢圓的標準方程為；當焦點在軸上時，橢圓的標準方程為；若給定了橢圓的方程為，我們要根據的大小關系來判斷橢圓焦點在哪個坐標軸上。下面我們通過兩個例題來了解一下：例1：若方程表示橢圓，則的取值范圍是多少？解：由已知方程表示橢圓，得，解得。例2：已知，表示焦點在軸上的橢圓，求的取值范圍。因為焦點在軸上，有，即。在做題時，我們應該注意滿足橢圓的條件是什么，在具體題目中根據條件求出相關字母的取值范圍。在第二個題中，我們在關注滿足橢圓條件的同時，也不能忽視焦點到底在軸或軸，從而應用在具體軸上與的大小關系，準確得到所求字母的取值范圍。4.橢圓在中學課堂的教學在高中數學教學中應注意深化加強學生對概念及數學思想的理解與掌握。至于橢圓的教學，教師應該把學生的學習情況進行全面的剖析。在學習橢圓之前應該使學生具備有區分圓與橢圓的能力，并不是簡單形狀上的區分，而是根據已經學習及掌握圓的方程、圓的定義、圓的性質等方面的實際區分。同時，也需要引導學生思考兩者之間可能存在哪些相似之處。橢圓作為三類圓錐曲線中首要學習的一類，教師應該更加全面、系統化的去介紹，并聯系生活，引導學生去發現生活中橢圓的例子，以此來引導學生認識橢圓，從而使學生對橢圓產生最直觀的概念。學生通過將生活實際聯系到課堂，有助于培養學生數形結合的能力，同時也激發了學生的學習興趣，對生活的探索。學生自己在頭腦中產生了粗略的橢圓知識概念后，教師可以借助多媒體手段演示橢圓的形成過程，在這個過程中，要注意引導學生思考演示的橢圓形成過程與學生自己最先理解的概念有哪些出入。這樣做有兩個好處，一方面是幫助學生形成正確的橢圓知識概念，另一方面是讓學生掌握自己對橢圓知識概念形成的過程。只有讓學生學會及時反思，那么學習的效果才能有質的飛躍。在學生已經掌握了橢圓知識概念后，教師需要幫助學生精煉橢圓概念，這便回到了最初該注意的問題，使學生將剛學習的概念與之前所學的概念進行區分、類比、加工。此時學生已經有對區分圓與橢圓的能力，教師應該引導學生構建自己的知識體系，對橢圓概念的精細加工有助于后續兩類圓錐曲線的學習。教師可以讓學生自己參與演示過程，通過自己切割圓錐從而獲得橢圓曲線。除此之外，教師要通過布置相關習題使得學生深化理解橢圓。當學生完成對橢圓的初步學習之后，就應該引導學生將所學知識聯系到實際生活，可以回歸到起初所舉的生活實例，從而讓學生去尋找其它實例。這樣一來可以促使學生學會思考、善于思考，鍛煉學生的思維能力。二、橢圓的幾個重要幾何性質在這里我們就來探討四個書上沒有闡述但卻在高考中應用廣泛的幾何性質。1.焦半徑1.1焦半徑的概念及推導連結橢圓曲線上一點與對應焦點的線段的長度，叫做橢圓曲線焦半徑。設是橢圓的一點，和分別是點與點的距離，那么（左焦半徑），（右焦半徑),其中是離心率。圖1推導：可得:。所以：1.2焦半徑的應用例1:（2013年山東卷·理22）橢圓的左、右焦點分別是離心率為，過且垂直于軸的直線被橢圓所截得的線段長為1.(1)求橢圓的方程。(2)點是橢圓上除長軸端點外的任一點，連接設∠的角平分線交橢圓的長軸于點,求的取值范圍。解：（1）〈該題可參考3.通徑的性質及應用〉由離心率可得⑤通徑即⑥解⑤⑥，得.所以橢圓方程為（2）如圖所示，由于是∠的角平分線，則.圖2設點的坐標為，根據橢圓的焦半徑公式，有：，解得.因為，所以.例2：點為橢圓的左、右焦點，且焦距為，是坐標原點，點為橢圓上任意一點，且，成等比數列，則求橢圓的方程REF_Ref30453\r\h[4]。解：如圖所示，過點作?軸，垂足為;設，在?中有;即.⑦圖3由題意可得，，;又因為成等比數列；則有;由焦半徑公式；可得.⑧又點在橢圓上，所以有；⑨由⑦⑧⑨得，，故橢圓的方程為.例3:橢圓上的三個不同的點、、與橢圓的焦點之間的距離成等差數列，試求的值。解：在橢圓中，；根據焦半徑公式可得：；又因為成等差數列；所以有；則；故.例4：橢圓的焦點分別是，點在橢圓上?，F已知三點是一個直角三角形的三個頂點，且有，求的值。解：由橢圓的方程可知，；則，；不妨設，則由題意可知為左焦半徑、為右焦半徑；由焦半徑公式，；若∠為直角，則;即，得；故.（2）若∠為直角，略。2.焦點三角形2.1焦點三角形的概念及面積公式推導橢圓的焦點三角形是指以橢圓的兩個焦點與橢圓上任意一點為頂點組成的三角形。性質：（1）；（2）；（3）周長；（4）面積=（∠).推導：如圖，圖4在?中，設∠;由余弦定理：;又因為.REF_Ref30639\r\h[5]2.2焦點三角形的應用例1：焦點為的橢圓上有一點，若有,求?的面積。解：由題,則;又.例2：在橢圓中，、是它的左、右焦點，是橢圓短軸的上端點，是橢圓上異與頂點的點，試證明：∠>∠。解：如圖，設點的縱坐標為；圖5則??;所以;即;又因為為銳角；所以得證。例3：如圖所示，,是橢圓與雙曲線的公共焦點，點分別是橢圓與雙曲線在第二、四象限的公共點，若四邊形為矩形，求的離心率REF_Ref30639\r\h[5]。解：由題可知：；;則?；又?；圖6所以；則的離心率.3.通徑3.1通徑的概念及推導橢圓通徑長指的是橢圓的通徑就是過焦點垂直于長軸的直線與橢圓相交所得的線段。橢圓中的通徑是通過焦點最短的弦。推導:設橢圓，焦點,且;令；所以；所以或；即通徑兩端點為，或者所以通徑長為。3.2通徑的應用例1：已知橢圓的右頂點為,過的焦點且垂直軸的直線被橢圓所截得的弦長為1，求橢圓的方程REF_Ref30867\r\h[6]。解:根據題意可知，，通徑長；則橢圓.例2：已知橢圓的左、右焦點為、,點在橢圓上。如果線段的中點在軸上，那么線段、的長度有什么數量關系REF_Ref30867\r\h[6]。解：由題目知：的中點在軸上，的中點是原點，則有；又；又因為;所以有.例3：橢圓的左焦點為，離心率為，過點且與軸垂直的直線被橢圓所截得得線段長為，求橢圓的方程。解：由題意，過點且與軸垂直的直線被橢圓所截得得線段長為；可得：；又離心率；由上式子得：；故橢圓的方程為：.4.橢圓上到焦點的距離最大和最小的點在橢圓長軸的兩個端點上REF_Ref31031\r\h[7]。4.1概念及推導即橢圓上的動點到其中一個焦點的距離的最大值是,最小值是.推導：設橢圓為左右焦點分別為,，所以。設為橢圓上的動點；因為在?中，.*由橢圓的第一定義可知.⑩將⑩代入*式中得到.4.2應用例：1.如圖，我國發射的第一顆人造地球衛星的運行軌道，是以地心(地球的中心)為一個焦點的橢圓。已知它的近地點(離地面最近的點)距地面439km,遠地點(離地面最遠的點)距地面2384km,并且,在同一直線上，地球半徑約為6371km.求:(1)衛星運行的軌道方程(精確到1km);(2)略。REF_Ref31031\r\h[7]解：(1)建立直角坐標系，使得點在軸上；為橢圓的右焦點，記為左焦點；圖7因為橢圓的焦點在軸上，所以設它的標準方程為，故有,解得所以有.所以衛星運行的軌道方程為：.例2:已知橢圓上的一點到焦點距離的最大值為4，最小值為2，求橢圓的方程REF_Ref31031\r\h[7]。解：根據上述性質可得;;故橢圓的方程為：.例3：已知橢圓，并關于坐標軸對稱，且焦點的連線與短軸互相垂直，其焦點到橢圓長軸較近的端點的距離為，求橢圓的方程REF_Ref31031\r\h[7]。解：由題意可知，：解得；故橢圓的方程為或.三、幾個重要性質補充后的優點在我們現行的教材中，對橢圓的幾何性質闡述的不夠全面，導致很多老師在教學過程中補充很多二級結論。老師往往會要求學生記住這些二級結論，以便于提高學生在做題時的速度。這樣就導致學生只會死記硬背，根本不知道這些結論到底是怎么來的，就導致學生在遇到靈活一點的題目時無法下筆。焦半徑、焦點三角形、通徑等都是高考中不可或缺的角色。在我們遇到的有關圓錐曲線的題目中，通常會遇到考察這些性質的應用，雖然去硬解可以把題目做出來可這樣無疑增加了做題的難度，也浪費了時間。同樣，哪怕老師補充過這些結論，但是很多學生在遇到相關考察時無從下手。那是因為老師講過之后，很多同學便忘記了這些結論，更不要說是怎么來的或者在具體題目中應該