5角平分線課件北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊

第一章

三角形的證明5角平分線第1課時角平分線的性質(zhì)與判定

【探究1】角平分線的性質(zhì)定理的證明探究與應(yīng)用

我們曾經(jīng)探索過角平分線的性質(zhì):角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等.請你嘗試證明這一結(jié)論,并與同伴進(jìn)行交流.證明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E,∴∠PDO=∠PEO=90°.∵∠1=∠2,OP=OP,∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD=PE(全等三角形的對應(yīng)邊相等).已知:如圖,OC是∠AOB的平分線,點(diǎn)P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E.求證:PD=PE.

【探究1】

角平分線的性質(zhì)定理的證明探究與應(yīng)用【概括新知】

角平分線的性質(zhì)定理:角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等.符號語言表示:∵∠1=∠2,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE.說明:應(yīng)用角平分線的性質(zhì)定理必須具備的條件:兩垂直,一平分.

【探究2】

角平分線的判定定理的證明探究與應(yīng)用【嘗試·思考】

你能寫出“角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等”這個定理的逆命題嗎?它是真命題嗎?請你證明自己結(jié)論的正確性.

證明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO=90°.在Rt△ODP和Rt△OEP中,OP=OP,PD=PE,∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL),∴∠1=∠2,∴OP平分∠AOB.已知:如圖,在∠AOB的內(nèi)部有一點(diǎn)P,且PD⊥OA,PE⊥OB,D,E為垂足,且PD=PE.求證:點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.

【探究2】

角平分線的判定定理的證明探究與應(yīng)用【概括新知】

角平分線的判定定理:在一個角的內(nèi)部,到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個角的平分線上.用符號語言表示:∵PD=PE,PD⊥OA,PE⊥OB,∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.說明:應(yīng)用角平分線的判定定理必須具備的條件:兩垂直,一相等.

【探究2】

角平分線的判定定理的證明探究與應(yīng)用例(教材例1)如圖,在△ABC中,∠BAC=60°,點(diǎn)D在BC上,AD=10,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E,F,且DE=DF,求DE的長.

【拓展提升】

探究與應(yīng)用如圖,∠1=∠2,AE⊥OB于點(diǎn)E,BD⊥OA于點(diǎn)D,AE與BD相交于點(diǎn)C.求證:AC=BC.

解：∵∠1=∠2，CE⊥OB于E，CD⊥OA于D，∴CD=CE．∠CDA=∠CEB=90°，在△ACD和△BCE中，∠CDA=∠CEB，CD=CE，∠DCA=∠ECB（對頂角相等），∴△ACD≌△BCE（ASA），∴AC=BC．

達(dá)標(biāo)測評

B課堂小結(jié)與檢測

達(dá)標(biāo)測評2.某景區(qū)為了提高應(yīng)對意外傷害事故的現(xiàn)場處理和應(yīng)急救援能力,擬在兩條景觀道OM,ON之間(即∠MON內(nèi)部)的開闊地修建一所紅十字救助站P,使其到景觀道OM,ON的距離相等,同時到A,B兩個休息亭的距離也相等,試確定救助站P的位置.課堂小結(jié)與檢測解：由題知，點(diǎn)P既在∠MON的角平分線上，又在線段AB的垂直平分線上．

達(dá)標(biāo)測評3.如圖,已知BE⊥AC于點(diǎn)E,CF⊥AB于點(diǎn)F,BE,CF相交于點(diǎn)D,若BD=CD.求證:AD平分∠BAC.課堂小結(jié)與檢測

第一章

三角形的證明5角平分線第2課時角平分線的應(yīng)用

思考：(1)角平分線的性質(zhì).(2)角平分線的性質(zhì)定理的逆定理.(3)作三角形的三個內(nèi)角的平分線,你發(fā)現(xiàn)了什么?知識關(guān)聯(lián)解

：（1）角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等.

（2）在一個角的內(nèi)部,到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個角的平分線上.

（3）三角形的三個內(nèi)角的平分線交于一點(diǎn)。

【探究1】角的平分線應(yīng)用探究與應(yīng)用例1

(教材例2)如圖,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD是

△ABC的角平分線,DE⊥AB,垂足為E.(1)已知CD=4cm,求AC的長;(2)求證:AB=AC+CD.

【探究1】角的平分線應(yīng)用探究與應(yīng)用例1

(教材例2)如圖,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB,垂足為E.(1)已知CD=4cm,求AC的長;(2)求證:AB=AC+CD.解(2)證明:由(1)的求解過程易知Rt△ACD≌Rt△AED(HL)∴AC=AE(全等三角形的對應(yīng)邊相等).∵BE=DE=CD,∴AB=AE+BE=AC+CD.

【探究2】

三角形的內(nèi)角平分線的性質(zhì)探究與應(yīng)用每人都準(zhǔn)備一張三角形的紙片,如圖,讓學(xué)生分別折出三個角的平分線,然后觀察三條角平分線有什么特點(diǎn).

結(jié)論：

三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn),并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等.

【探究2】

三角形的內(nèi)角平分線的性質(zhì)探究與應(yīng)用例2

(教材例3)已知:如圖,在△ABC中,角平分線BM與角平分線CN相交于點(diǎn)P。求證:∠A的平分線經(jīng)過點(diǎn)P.證明:如圖.過點(diǎn)P分別作PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,垂足分別為D,E,F.∵BM是△ABC的角平分線∴PD=PE(角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等).同理,PE=PF,∴PD=PE=PF.∴點(diǎn)P在∠A的平分線上(在一個角的內(nèi)部,到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個角的平分線上),即∠A的平分線經(jīng)過點(diǎn)P.要證明∠A的平分線經(jīng)過點(diǎn)P,需要什么條件?EDF

【探究2】

三角形的內(nèi)角平分線的性質(zhì)探究與應(yīng)用【概括新知】

三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn),并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等.

【探究2】

三角形的內(nèi)角平分線的性質(zhì)探究與應(yīng)用【應(yīng)用】

如圖,三條公路兩兩相交于A,B,C三點(diǎn),現(xiàn)計(jì)劃在三條公路圍成的區(qū)域內(nèi)修建一個超市,要求這個超市到三條公路的距離相等,問超市應(yīng)建在何處(使用尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡).解:如圖所示,超市應(yīng)建在∠A和∠B的

角平分線的交點(diǎn)O處.【拓展提升】

探究與應(yīng)用1.如圖,直線l1,l2,l3表示三條相互交叉的公路,現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站,要求它到三條公路的距離相等,則可供選擇的地址有 (

)

A.一處 B.二處 C.三處 D.四處D【拓展提升】

探究與應(yīng)用

2.如圖,在△ABC中,O是∠BAC與∠ABC的平分線的交點(diǎn),過點(diǎn)O作與BC平行的直線分別交AB,AC于點(diǎn)D,E.已知△ABC的周長為15,BC的長為6,求△ADE的周長.解：連結(jié)CO，∵點(diǎn)O是∠BAC與∠ABC的平分線的交點(diǎn)，∴∠ABO=∠OBC，CO平分∠ACB。∵DE∥BC，∴∠OBC=∠BOD，∴∠ABO=∠BOD，∴DB=DO，同理可得EO=CE，∴△ADE的周長=AD+AE+DE=AD+DO+AE+OE=AD+BD+AE+CE=AB+AC，∵△ABC的周長為15，∴AB+AC+BC=15，而BC的長為6，

∴AB+AC=9，∴△ADE的周長為9．

達(dá)標(biāo)測評1.到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是 (

)A.三條高的交點(diǎn) B.三條中線的交點(diǎn)C.三條角平分線的交點(diǎn) D.不能確定2.如圖1,已知點(diǎn)P到BE,BD,AC的距離恰好相等,則點(diǎn)P的位置:①在∠B的平分線上;②在∠DAC的平分線上;③在∠ECA的平分線上;④恰是∠B,∠DAC,∠ECA的平分線的交點(diǎn).上述結(jié)論中正確的