2026屆湖南省益陽市桃江第一中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

2026屆湖南省益陽市桃江第一中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知F是拋物線x2＝y(tǒng)的焦點，A、B是該拋物線上的兩點，|AF|＋|BF|＝3，則線段AB的中點到x軸的距離為（）A. B.C.1 D.2．已知雙曲線離心率為2，過點的直線與雙曲線C交于A，B兩點，且點P恰好是弦的中點，則直線的方程為（）A. B.C. D.3．若橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.4．“”是“方程表示雙曲線”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點；從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點.如圖①，一個光學(xué)裝置由有公共焦點的橢圓與雙曲線構(gòu)成，現(xiàn)一光線從左焦點發(fā)出，依次經(jīng)與反射，又回到了點，歷時秒；若將裝置中的去掉，如圖②，此光線從點發(fā)出，經(jīng)兩次反射后又回到了點，歷時秒；若，則的長軸長與的實軸長之比為（）A. B.C. D.6．已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，過點且斜率為的直線與雙曲線在第二象限的交點為，若，則雙曲線的離心率是（）A B.C. D.7．如圖，在四面體中，，，，，為線段的中點，則等于（）A B.C. D.8．若實數(shù)滿足，則點不可能落在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限9．已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，則（）A.1 B.2C.3 D.410．已知關(guān)于的不等式的解集是，則的值是（）A B.5C. D.711．已知，，點為圓上任意一點，設(shè)，則的最大值為（）A. B.C. D.12．設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時，，則使得成立的的取值范圍是A. B.C D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．六面體的所有棱長都為2，底面ABCD是正方形，AC與BD的交點是O，若，則___________.14．為增強廣大師生生態(tài)文明意識，大力推進(jìn)國家森林城市建設(shè)創(chuàng)建進(jìn)程，某班26名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹，每人植一棵（各自挖坑種植），相鄰兩棵樹相距均為10米，在同學(xué)們挖坑期間，運到的樹苗集中放置在了某一樹坑旁邊，然后每位同學(xué)挖好自己的樹坑后，均從各自樹坑出發(fā)去領(lǐng)取樹苗．記26位同學(xué)領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和為，則的最小值為______米15．若方程表示的曲線是雙曲線，則實數(shù)m的取值范圍是___；該雙曲線的焦距是___16．已知拋物線的焦點與的右焦點重合，則__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線和直線（1）若時，求a的值；（2）當(dāng)平行，求兩直線，的距離18．（12分）設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，且（1）證明：；（2）求19．（12分）已知橢圓的右焦點是橢圓上的一動點，且的最小值是1，當(dāng)垂直長軸時，.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線與橢圓相切，且交圓于兩點，求面積的最大值，并求此時直線方程.20．（12分）為了保證我國東海油氣田海域海上平臺的生產(chǎn)安全，海事部門在某平臺O的北偏西45°方向km處設(shè)立觀測點A，在平臺O的正東方向12km處設(shè)立觀測點B，規(guī)定經(jīng)過O、A、B三點的圓以及其內(nèi)部區(qū)域為安全預(yù)警區(qū)．如圖所示：以O(shè)為坐標(biāo)原點，O的正東方向為x軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系（1）試寫出A，B的坐標(biāo)，并求兩個觀測點A，B之間的距離；（2）某日經(jīng)觀測發(fā)現(xiàn)，在該平臺O正南10kmC處，有一艘輪船正以每小時km的速度沿北偏東45°方向行駛，如果航向不變，該輪船是否會進(jìn)入安全預(yù)警區(qū)？如果不進(jìn)入，請說明理由；如果進(jìn)入，則它在安全警示區(qū)內(nèi)會行駛多長時間？21．（12分）為了調(diào)查某蘋果園中蘋果的生長情況，在蘋果園中隨機采摘了個蘋果.經(jīng)整理分析后發(fā)現(xiàn)，蘋果的重量（單位：）近似服從正態(tài)分布，如圖所示，已知，.（1）若從蘋果園中隨機采摘個蘋果，求該蘋果的重量在內(nèi)的概率；（2）從這個蘋果中隨機挑出個，這個蘋果的重量情況如下.重量范圍（單位：）個數(shù)為進(jìn)一步了解蘋果的甜度，從這個蘋果中隨機選出個，記隨機選出的個蘋果中重量在內(nèi)的個數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.22．（10分）在中，內(nèi)角所對的邊長分別為，是1和的等差中項（1）求角；（2）若的平分線交于點，且，求的面積

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)拋物線的方程求出準(zhǔn)線方程，利用拋物線的定義拋物線上的點到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離，列出方程求出，的中點縱坐標(biāo)，求出線段的中點到軸的距離【詳解】解：拋物線的焦點準(zhǔn)線方程，設(shè)，，，解得，線段的中點縱坐標(biāo)為，線段的中點到軸的距離為，故選：B【點睛】本題考查解決拋物線上的點到焦點的距離問題，利用拋物線的定義將到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，屬于基礎(chǔ)題2、C【解析】運用點差法即可求解【詳解】由已知得，又，，可得.則雙曲線C的方程為.設(shè)，，則兩式相減得，即.又因為點P恰好是弦的中點，所以，，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即.經(jīng)檢驗滿足題意故選：C3、B【解析】求出拋物線的焦點坐標(biāo)，可得出的值，進(jìn)而可求得橢圓的離心率.【詳解】拋物線的焦點坐標(biāo)為，由已知可得，可得，因此，該橢圓的離心率為.故選：B.4、A【解析】方程表示雙曲線則，解得，是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件.故選：A5、D【解析】在圖①和圖②中，利用橢圓和雙曲線的定義，分別求得和的周長，再根據(jù)光速相同，且求解.【詳解】在圖①中，由橢圓的定義得：，由雙曲線的定義得，兩式相減得，所以的周長為，在圖②中，的周長為，因為光速相同，且，所以，即，所以，即的長軸長與的實軸長之比為，故選：D6、B【解析】根據(jù)得到三角形為等腰三角形，然后結(jié)合雙曲線的定義得到，設(shè)，進(jìn)而作，得出，由此求出結(jié)果【詳解】因為，所以，即所以，由雙曲線的定義，知，設(shè)，則，易得，如圖，作，為垂足，則，所以，即，即雙曲線的離心率為.故選：B7、D【解析】根據(jù)空間向量的線性運算求解【詳解】由已知，故選：D8、B【解析】作出給定的不等式組表示的平面區(qū)域，觀察圖形即可得解.【詳解】因?qū)崝?shù)滿足，作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分，觀察圖形知，陰影區(qū)域不過第二象限，即點不可能落在第二象限.故選：B9、D【解析】利用等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)求值即可.【詳解】由等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)知：.故選：D10、D【解析】由題意可得的根為，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系列方程組可求得結(jié)果【詳解】因為關(guān)于的不等式的解集是，所以方程的根為，所以，得，所以，故選：D11、C【解析】根據(jù)題意可設(shè)，再根據(jù)，求出，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.【詳解】解：由點為圓上任意一點，可設(shè)，則，由，得，所以，則，則，其中，所以當(dāng)時，取得最大值為22.故選：C.12、B【解析】構(gòu)造函數(shù)，可知函數(shù)為奇函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析出函數(shù)在上的單調(diào)性，并得出，然后分別在和解不等式，由此可得出不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，該函數(shù)的定義域為，由于函數(shù)為上的奇函數(shù)，則，所以，函數(shù)為上的奇函數(shù)，且，，.當(dāng)時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞增，由，可得，解得；當(dāng)時，則函數(shù)單調(diào)遞增，由，可得，解得.綜上所述，使得成立的的取值范圍是.故選：B.【點睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)不等式，根據(jù)導(dǎo)數(shù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造合適的函數(shù)是解題的關(guān)鍵，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】結(jié)合空間向量運算求得.【詳解】，.所以.故答案為：14、【解析】根據(jù)對稱性易知：當(dāng)樹苗放在第13或14個坑，26位同學(xué)領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小，再應(yīng)用等差數(shù)列前n項和的求法求26位同學(xué)領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和.【詳解】將26個同學(xué)對應(yīng)的26個坑分左右各13個坑，∴根據(jù)對稱性：樹苗放在左邊13個坑，與放在對稱右邊的13個坑，26個同學(xué)所走的總路程對應(yīng)相等，∴當(dāng)樹苗放在第13個坑，26位同學(xué)領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小，此時，左邊13位同學(xué)所走的路程分別為，右邊13位同學(xué)所走的路程分別為，∴最小值為米.故答案為：.15、①.②.2【解析】由題意可得，由此可解得m的范圍，進(jìn)一步將方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可求得焦距【詳解】由所表示的曲線是雙曲線，可知，解得，當(dāng)時，方程可變?yōu)椋海藭r雙曲線焦距為，當(dāng)時，m不存在，不合題意；故雙曲線的焦距：故答案為：；16、【解析】求出拋物線的焦點坐標(biāo)即為的右焦點可得答案.【詳解】由題意可知：拋物線的焦點坐標(biāo)為，由題意知表示焦點在軸的橢圓，在橢圓中：，所以，因為，所以.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由垂直可得兩直線系數(shù)關(guān)系，即可得關(guān)于實數(shù)a的方程.（2）由平行可得兩直線系數(shù)關(guān)系，即可得關(guān)于實數(shù)a的方程，進(jìn)而可求出兩直線的方程，結(jié)合直線的距離公式即可求出直線與之間的距離.【小問1詳解】∵，且，∴，解得【小問2詳解】∵，，且，∴且，解得，∴，即∴直線間的距離為18、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）當(dāng)時，由題可得，，兩式子相減可得，即，然后驗證當(dāng)n=1時，命題成立即可；（2）通過求解數(shù)列的奇數(shù)項與偶數(shù)項的和即可得到其對應(yīng)前n項和的通項公式.【詳解】（1）由條件，對任意，有，因而對任意，有，兩式相減，得，即，又，所以，故對一切，（2）由（1）知，，所以，于是數(shù)列是首項，公比為3的等比數(shù)列，數(shù)列是首項，公比為3的等比數(shù)列，所以，于是從而，綜上所述，.【點睛】已知數(shù)列{an}的前n項和Sn，求數(shù)列的通項公式，其求解過程分為三步：（1）先利用a1＝S1求出a1；（2）用n－1替換Sn中的n得到一個新的關(guān)系，利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）便可求出當(dāng)n≥2時an的表達(dá)式；（3）對n＝1時的結(jié)果進(jìn)行檢驗，看是否符合n≥2時an的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項公式合寫；如果不符合，則應(yīng)該分n＝1與n≥2兩段來寫．?dāng)?shù)列求和的常用方法有倒序相加法，錯位相減法，裂項相消法，分組求和法，并項求和法等，可根據(jù)通項特點進(jìn)行選用.19、（1）；（2），.【解析】（1）由的最小值為1，得到，再由，結(jié)合，求得的值，即可求得橢圓的方程.（2）設(shè)切線的方程為，聯(lián)立方程組，根據(jù)直線與橢圓相切，求得，結(jié)合點到直線的距離公式和圓的弦長公式，求得的面積的表示，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】（1）由題意，點橢圓上的一動點，且的最小值是1，得，因為當(dāng)垂直長軸時，可得，所以，即，又由，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意知切線的斜率一定存在，否則不能形成，設(shè)切線的方程為，聯(lián)立，整理得，因為直線與橢圓相切，所以，化簡得，則，因為點到直線的距離，所以，即，故的面積為，因為，可得，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時取等號，則，即面積的最大值為.當(dāng)時，此時，所以直線的方程為.【點睛】對于直線與橢圓的位置關(guān)系的處理方法：1、判定與應(yīng)用直線與橢圓的位置關(guān)系，一把轉(zhuǎn)化為研究直線方程與橢圓組成的方程組的解得個數(shù)，結(jié)合判別式求解；2、對于過定點的直線，也可以通過定點在橢圓的內(nèi)部或在橢圓上，判定直線與橢圓的位置關(guān)系.20、（1）；（2）會駛?cè)氚踩A(yù)警區(qū)，行駛時長為半小時【解析】（1）先求出A，B的坐標(biāo)，再由距離公式得出A，B之間的距離；（2）由三點的坐標(biāo)列出方程組得出經(jīng)過三點的圓的方程，設(shè)輪船航線所在的直線為，再由幾何法得出直線與圓截得的弦長，進(jìn)而得出安全警示區(qū)內(nèi)行駛時長.【小問1詳解】由題意得，∴；【小問2詳解】設(shè)圓的方程為，因為該圓經(jīng)過三點，∴，得到.所以該圓方程為：，化成標(biāo)準(zhǔn)方程為：.設(shè)輪船航線所在的直線為，則直線的方程為：，圓心（6，8）到直線的距離，所以直線與圓相交，即輪船會駛?cè)氚踩A(yù)警區(qū).直線與圓截得的弦長為，行駛時長小時.即在安全警示區(qū)內(nèi)行駛時長為半小時.21、（1）；（2）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望為.【解析】（1）利用正態(tài)密度曲線的對稱性結(jié)合已知條件可求得的值；（2）分析可知，隨機變量的所有可能取值為、、，計算出隨機變量在不同取值下的概率，可得出隨機變量的分布列，進(jìn)一步可求得的值.【小問1詳解】解：已知蘋果的重量（單位：）近似服從正態(tài)分布，由正態(tài)分布的對稱性可知，，所以從蘋果園中隨機采摘個蘋果，該蘋果的重量在內(nèi)的概率為.【小問2詳解】解：由題意可知，隨機變量的所有可能取值為、、，，；，所以，隨機變量的分布列為：所以22、（1）；（2）【解析