2026屆安徽省天長市九年級數學第一學期期末考試試題含解析

2026屆安徽省天長市九年級數學第一學期期末考試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．如圖，正比例函數的圖像與反比例函數的圖象相交于A、B兩點，其中點A的橫坐標為2，當時，x的取值范圍是（）A．x＜-2或x＞2 B．x＜-2或0＜x＜2C．-2＜x＜0或0＜x＜2 D．-2＜x＜0或x＞22．根據下面表格中的對應值：x3.243.253.26ax2+bx+c﹣0.020.010.03判斷關于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一個解x的范圍是（）A．x＜3.24 B．3.24＜x＜3.25 C．3.25＜x＜3.26 D．x＞3.263．如圖，在圓內接四邊形ABCD中，∠A：∠C＝1：2，則∠A的度數等于（）A．30° B．45° C．60° D．80°4．若△ABC∽△DEF，相似比為2：3，則對應面積的比為（）A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：95．如圖，已知直線，直線、與、、分別交于點、、和、、，，，，()A．7 B．7.5 C．8 D．4.56．如圖（1）所示，為矩形的邊上一點，動點,同時從點出發，點沿折線運動到點時停止，點沿運動到點時停止，它們運動的速度都是秒，設、同時出發秒時，的面積為.已知與的函數關系圖象如圖（2）（曲線為拋物線的一部分）則下列結論正確的是（）圖（1）圖（2）A． B．當是等邊三角形時，秒C．當時，秒 D．當的面積為時，的值是或秒7．如圖，與是以坐標原點為位似中心的位似圖形，若點是的中點，的面積是6，則的面積為（）A．9 B．12 C．18 D．248．對于二次函數的圖象，下列結論錯誤的是()A．頂點為原點 B．開口向上 C．除頂點外圖象都在軸上方 D．當時，有最大值9．已知二次函數和一次函數的圖象如圖所示，下面四個推斷：①二次函數有最大值②二次函數的圖象關于直線對稱③當時，二次函數的值大于0④過動點且垂直于x軸的直線與的圖象的交點分別為C,D，當點C位于點D上方時，m的取值范圍是或，其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個10．如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于點D，過點D作DE∥BC交AC于點E,若∠A=54°，∠B=48°，則∠CDE的大小為（）A．44° B．40° C．39° D．38°二、填空題(每小題3分,共24分)11．將方程化為一元二次方程的一般形式，其中二次項系數為1，則一次項系數、常數項分別為____．12．若圓錐的母線長為４cm，其側面積，則圓錐底面半徑為cm．13．已知：如圖，△ABC的面積為16，點D、E分別是邊AB、AC的中點，則△ADE的面積為______．14．如圖，拋物線y＝x2在第一象限內經過的整數點（橫坐標、縱坐標都為整數的點）依次為A1，A2，A3…An，將拋物線y＝x2沿直線L：y＝x向上平移，得到一系列拋物線，且滿足下列條件：①拋物線的頂點M1，M2，M3，…Mn都在直線L：y＝x上；②拋物線依次經過點A1，A2，A3…An，則頂點M2020的坐標為_____．15．已知，則的值是_____________．16．在一個不透明的袋子中裝有個除顏色外完全相同的小球，其中綠球個，紅球個，摸出一個球放回，混合均勻后再摸出一個球，兩次都摸到紅球的概率是___________．17．如圖，一路燈B距地面高BA＝7m，身高1.4m的小紅從路燈下的點D出發，沿A→H的方向行走至點G，若AD＝6m，DG＝4m，則小紅在點G處的影長相對于點D處的影長變長了_____m．18．寫出一個經過點（0，3）的二次函數：________．三、解答題(共66分)19．（10分）如圖，在△ABC中，∠C=60°，AB=4.以AB為直徑畫⊙O，交邊AC于點D．AD的長為，求證：BC是⊙O的切線.20．（6分）如圖，我國海監船在處發現正北方向處有一艘可疑船只，正沿南偏東方向航行，我海監船迅速沿北偏東方向去攔裁，經歷小時剛好在處將可疑船只攔截，已知我海監船航行的速度是每小時海里，求可疑船只航行的距離．21．（6分）先化簡，再求值：（）÷，其中a是一元二次方程對a2+3a﹣2＝0的根．22．（8分）某數學興趣小組，利用樹影測量樹高，如圖（1），已測出樹AB的影長AC為12米，并測出此時太陽光線與地面成30°夾角．（1）求出樹高AB；（2）因水土流失，此時樹AB沿太陽光線方向倒下，在傾倒過程中，樹影長度發生了變化，假設太陽光線與地面夾角保持不變．求樹的最大影長．（用圖（2）解答）23．（8分）解方程或計算（1）解方程：3y(y-1)=2(y-1)（2）計算：sin60°cos45°＋tan30°．24．（8分）我們規定：方程的變形方程為．例如：方程的變形方程為．（1）直接寫出方程的變形方程；（2）若方程的變形方程有兩個不相等的實數根，求的取值范圍；（3）若方程的變形方程為，直接寫出的值．25．（10分）春節前，某超市從廠家購進某商品，已知該商品每個的成本價為30元，經市場調查發現，該商品每天的銷售量(個)與銷售單價(元)之間滿足一次函數關系，當該商晶每個售價為40元時，每天可賣出300個；當該商晶每個售價為60元時，每天可賣出100個．（1）與之間的函數關系式為__________________(不要求寫出的取值范圍)；（2）若超市老板想達到每天不低于220個的銷售量，則該商品每個售價定為多少元時，每天的銷售利潤最大?最大利潤是多少元?26．（10分）如圖，點E是△ABC的內心，AE的延長線與△ABC的外接圓相交于點D．(1)若∠BAC=70°，求∠CBD的度數；(2)求證：DE=DB．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、D【分析】先根據反比例函數與正比例函數的性質求出B點坐標，再由函數圖象即可得出結論．【詳解】解：∵反比例函數與正比例函數的圖象均關于原點對稱，

∴A、B兩點關于原點對稱，

∵點A的橫坐標為1，∴點B的橫坐標為-1，

∵由函數圖象可知，當-1＜x＜0或x＞1時函數y1=k1x的圖象在的上方，

∴當y1＞y1時，x的取值范圍是-1＜x＜0或x＞1．

故選：D．本題考查的是反比例函數與一次函數的交點問題，能根據數形結合求出y1＞y1時x的取值范圍是解答此題的關鍵．2、B【解析】根據表中數據可得出ax2+bx+c＝0的值在-0.02和0.01之間，再看對應的x的值即可得．【詳解】∵x＝3.24時，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.1時，ax2+bx+c＝0.01，∴關于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一個解x的范圍是3.24＜x＜3.1．故選：B．本題考查了估算一元二次方程的近似解：用列舉法估算一元二次方程的近似解，具體方法是：給出一些未知數的值，計算方程兩邊結果，當兩邊結果愈接近時，說明未知數的值愈接近方程的根．3、C【分析】設∠A、∠C分別為x、2x，然后根據圓的內接四邊形的性質列出方程即可求出結論．【詳解】解：設∠A、∠C分別為x、2x，∵四邊形ABCD是圓內接四邊形，∴x+2x＝180°，解得，x＝60°，即∠A＝60°，故選：C．此題考查的是圓的內接四邊形的性質，掌握圓的內接四邊形的性質是解決此題的關鍵．4、D【解析】根據相似三角形的面積比等于相似比的平方解答．【詳解】解：∵△ABC∽△DEF，相似比為2：3，∴對應面積的比為（）2＝，故選：D．本題考查相似三角形的性質，熟練掌握相似三角形的性質定理是解題的關鍵.5、D【分析】根據平行線分線段成比例定理，列出比例式解答即可.【詳解】∵∴即：故選：D本題考查的是平行線分線段成比例定理，掌握定理的內容并能正確的列出比例式是關鍵.6、D【分析】先根據圖象信息求出AB、BE、BE、AE、ED，A、直接求出比，B、先判斷出∠EBC≠60°，從而得出點P可能在ED上時，△PBQ是等邊三角形，但必須是AD的中點，而AE＞ED，所以點P不可能到AD中點的位置，故△PBQ不可能是等邊三角形；C、利用相似三角形性質列出方程解決，分兩種情況討論計算即可，D、分點P在BE上和點P在CD上兩種情況計算即可．【詳解】由圖象可知，AD＝BC＝BE＝5，CD＝AB＝4，AE＝3，DE＝2，A、∴AB：AD＝5：4，故A錯誤，B、∵tan∠ABE＝，∴∠ABE≠30°∴∠PBQ≠60°，∴點P在ED時，有可能△PBQ是等邊三角形，∵BE＝BC，∴點P到點E時，點Q到點C，∴點P在線段AD中點時，有可能△PBQ是等邊三角形，∵AE＞DE，∴點P不可能到AD的中點，∴△PBQ不可能是等邊三角形，故B錯誤，C、∵△ABE∽△QBP，∴點E只有在CD上，且滿足，∴，∴CP＝．∴t＝（BE＋ED＋DQ）÷1＝5＋2＋（4?）＝．故C錯誤，D、①如圖（1）在Rt△ABE中，AB＝4，BE＝5sin∠AEB＝，∴sin∠CBE＝∵BP＝t，∴PG＝BPsin∠CBE＝t，∴S△BPQ＝BQ×PG＝×t×t＝t2＝4，∴t＝?（舍）或t＝，②當點P在CD上時，S△BPQ＝×BC×PC＝×5×（5＋2＋4?t）＝×（11?t）＝4，∴t＝，∴當△BPQ的面積為4cm2時，t的值是或秒，故D正確，故選：D．此題是二次函數綜合題，主要考查動點問題的函數圖象、矩形的性質、三角形的面積公式等知識．解題的關鍵是讀懂圖象信息求出相應的線段，學會轉化的思想，把問題轉化為方程的思想解決，屬于中考常考題型．．7、D【分析】根據位似圖形的性質，再結合點A與點的坐標關系可得出兩個三角形的相似比，再根據面積比等于相似比的平方即可得出答案.【詳解】解：∵△ABC與△是以坐標原點O為位似中心的位似圖形,且A為的中心，∴△ABC與△的相似比為：1：2；∵位似圖形的面積比等于相似比的平方，∴△的面積等于4倍的△ABC的面積，即.故答案為：D.本題考查的知識點是位似圖形的性質，位似是特殊的相似，熟記位似圖形的面積比等于相似比的平方是解題的關鍵.8、D【分析】根據二次函數的性質逐項判斷即可.【詳解】根據二次函數的性質，可得：二次函數頂點坐標為（0，0），開口向上，故除頂點外圖象都在x軸上方，故A、B、C正確；當x=0時，y有最小值為0，故D錯誤.故選：D.本題考查二次函數的性質，熟練掌握二次函數頂點坐標，開口方向，最值與系數之間的關系是解題的關鍵.9、B【分析】根據函數的圖象即可得到結論．【詳解】解：∵二次函數y1=ax2+bx+c（a≠0）的圖象的開口向上，

∴二次函數y1有最小值，故①錯誤；

觀察函數圖象可知二次函數y1的圖象關于直線x=-1對稱，故②正確；

當x=-2時，二次函數y1的值小于0，故③錯誤；

當x＜-3或x＞-1時，拋物線在直線的上方，

∴m的取值范圍為：m＜-3或m＞-1，故④正確．

故選B．本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征以及函數圖象，熟練運用二次函數圖象上點的坐標特征求出二次函數解析式是解題的關鍵．10、C【解析】根據三角形內角和得出∠ACB，利用角平分線得出∠DCB，再利用平行線的性質解答即可．【詳解】∵∠A=54°，∠B=48°，∴∠ACB=180°﹣54°﹣48°=78°，∵CD平分∠ACB交AB于點D，∴∠DCB=×78°=39°，∵DE∥BC，∴∠CDE=∠DCB=39°，故選C．【點睛】本題考查了三角形內角和定理、角平分線的定義、平行線的性質等，解題的關鍵是熟練掌握和靈活運用根據三角形內角和定理、角平分線的定義和平行線的性質．二、填空題(每小題3分,共24分)11、5，．【分析】一元二次方程化為一般形式后，找出一次項系數與常數項即可．【詳解】解：方程整理得：，則一次項系數、常數項分別為5，；故答案為：5，．此題考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式為．12、3【解析】∵圓錐的母線長是5cm，側面積是15πcm2，∴圓錐的側面展開扇形的弧長為：l==6π，∵錐的側面展開扇形的弧長等于圓錐的底面周長，∴r==3cm，13、4【分析】根據三角形中位線的性質可得DE//BC，，即可證明△ADE∽△ABC，根據相似三角形的面積比等于相似比的平方即可得答案.【詳解】∵點D、E分別是邊AB、AC的中點，∴DE為△ABC的中位線，∴DE//BC，，∴△ADE∽△ABC，∴=，∵△ABC的面積為16，∴S△ADE=×16=4.故答案為：4本題考查三角形中位線的性質及相似三角形的判定與性質，三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半；熟練掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題關鍵.14、（4039，4039）【分析】根據拋物線的解析式結合整數點的定義，找出點An的坐標為（n，n2），設點Mn的坐標為（a，a），則以點Mn為頂點的拋物線解析式為y=（x-a）2+a，由點An的坐標利用待定系數法，即可求出a值，將其代入點Mn的坐標即可得出結論．【詳解】∵拋物線y＝x2在第一象限內經過的整數點（橫坐標、縱坐標都為整數的點）依次為A1，A2，A3，…，An，…，∴點An的坐標為（n，n2）．設點Mn的坐標為（a，a），則以點Mn為頂點的拋物線解析式為y＝（x﹣a）2+a，∵點An（n，n2）在拋物線y＝（x﹣a）2+a上，∴n2＝（n﹣a）2+a，解得：a＝2n﹣1或a＝0（舍去），∴Mn的坐標為（2n﹣1，2n﹣1），∴M2020的坐標為（4039，4039）．故答案為：（4039，4039）．本題考查了二次函數圖象與幾何變換、一次函數圖象上點的坐標特征以及待定系數法求二次函數解析式，根據點An的坐標利用待定系數法求出a值是解題的關鍵．15、【分析】設a=3k，則b=4k，代入計算即可．【詳解】設a=3k，則b=4k，∴．故答案為：．本題考查了比例的性質．熟練掌握k值法是解答本題的關鍵．16、【分析】首先根據題意畫出樹狀圖，由樹狀圖求得所有等可能的結果與兩次都摸到紅球的情況，然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此題屬于放回實驗．【詳解】解：畫樹狀圖得：∵共有9種等可能的結果，兩次都摸到紅球的只有4種情況，

∴兩次都摸到紅球的概率是：．

故答案為．此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率的知識．正確的列出樹狀圖是解決問題的關鍵．17、1．【分析】根據由CD∥AB∥FG可得△CDE∽△ABE、△HFG∽△HAB，即、，據此求得DE、HG的值，從而得出答案．【詳解】解：由CD∥AB∥FG可得△CDE∽△ABE、△HFG∽△HAB，∴、，即、，解得：DE＝1.5、HG＝2.5，∵HG﹣DE＝2.5﹣1.5＝1，∴影長變長1m．故答案為：1．本題考查了相似三角形的應用：利用影長測量物體的高度，通常利用相似三角形的性質即相似三角形的對應邊的比相等和“在同一時刻物高與影長的比相等”的原理解決．18、（答案不唯一）【分析】設二次函數的表達式為y=x2+x+c，將（0，3）代入得出c=3，即可得出二次函數表達式．【詳解】解：設二次函數的表達式為y=ax2+bx+c（a≠0），

∵圖象為開口向上，且經過（0，3），

∴a＞0，c=3，

∴二次函數表達式可以為：y=x2+3（答案不唯一）．

故答案為：y=x2+3（答案不唯一）．本題主要考查了用待定系數法求二次函數解析式，得出c=3是解題關鍵，屬開放性題目，答案不唯一．三、解答題(共66分)19、證明見解析.【分析】連接OD，根據弧長公式求出AOD的度數，再證明AB⊥BC即可；【詳解】證明：如圖，連接,是直徑且

，

.

設，的長為，

解得.

即

在☉O中，.．

，，即又為直徑，是☉O的切線.本題考查切線的判定，圓周角定理以及等腰三角形的性質，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．20、70海里．【分析】過作于點，分別利用三角函數解和，即可進行求解.【詳解】過作于點，根據題意得：(海里)，在中，(海里)，在中，(海里)，答：可疑船只航行的距離為70海里．本題考查了解直角三角形的應用，用到的知識點是方向角含義、三角函數的定義，關鍵是根據題意畫出圖形，構造直角三角形．21、a1+3a，1【分析】根據分式的減法和除法可以化簡題目中的式子，然后根據a1+3a﹣1＝0可以得到a1+3a的值，從而可以求得所求式子的值．【詳解】解：（）÷＝[]?a（a﹣1）＝（）?a（a﹣1）＝?a（a﹣1）＝a（a+3）＝a1+3a，∵a1+3a﹣1＝0，∴a1+3a＝1，∴原式＝1．本題考查分式的化簡求值，代數式求值．解決此題應注意運算順序，能熟練掌握通分、因式分解、約分等知識點是解題關鍵．22、（1）樹AB的高約為4m；（2）8m.【解析】（1）AB=ACtan30°=12×=（米）．答：樹高約為米．（2）如圖（2），B1N=AN=AB1sin45°=×=（米）．NC1=NB1tan60°=×=（米）．AC1=AN+NC1=+．當樹與地面成60°角時影長最大AC2（或樹與光線垂直時影長最大或光線與半徑為AB的⊙A相切時影長最大）AC2=2AB2=；（1）在直角△ABC中，已知∠ACB=30°，AC=12米．利用三角函數即可求得AB的長；（2）在△AB1C1中，已知AB1的長，即AB的長，∠B1AC1=45°，∠B1C1A=30°．過B1作AC1的垂線，在直角△AB1N中根據三角函數求得AN，BN；再在直角△B1NC1中，根據三角函數求得NC1的長，再根據當樹與地面成60°角時影長最大，根據三角函數即可求解．23、（1）y1=1,y2=;（2）【分析】（1）先移項，再用提公因式法解方程即可；（2）將三角函數的對應值代入計算即可.【詳解】（1）3y(y-1)=2(y-1)，，（3y-2）（y-1）=0，y1=1,y2=；（2）sin60°cos45°＋tan30°，，=.此題考查計算能力，（1）是解方程，解方程時需根據方程的特點選擇適合的方法使計算簡便；（2）是三角函數值的計算，熟記各角的三角函數值是解題的關鍵.24、（1）；（2）；（3）1【分析】(1)根據題目的規定直接寫出方程化簡即可.(2)先將方程變形,再根據判別式解出范圍即可.(3)先將變形前的方程列出來化簡求出a、b、c,相加即可求解.【詳解】（1）由題意得,化簡后得:.（2）若方程的變形