1.4線段垂直平分線與角平分線第2課時課件蘇科版數學八年級上冊

第1章

三角形1.4線段垂直平分線與角平分線第2課時

角平分線的性質1.請同學們拿出一張紙，在紙上任意畫出一個角∠AOB,把它剪下并對折，使角的兩邊重合，然后展開鋪平，你有什么發現？角是軸對稱圖形，角的平分線所在的直線是它的對稱軸.BAOC獲取新知2.在∠AOB的內部取折痕上的一點P，分別畫點P到OA和OB的垂線段PD和PE,再沿原折痕重新折疊，你有什么發現？PD=PE你能證明你的猜想嗎？由此你能得到什么猜想？猜想：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.PPBAODEDEPDECAOBEDPC證明：∵OP平分∠AOB，∴∠AOP=∠BOP.∵PD⊥AO,PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO=90°.

在△PDO和△PEO中,∠PDO=∠PEO,∠AOC=∠BOC,

OP=OP,∴△PDO≌△PEO,（AAS）∴

PD=PE.驗證猜想：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.已知：如圖，OC平分∠AOB，點P是OC上的任意一點，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D,E.求證：PD=PE.

也可以用圖形運動來證實：把△POB沿OP翻折，∵∠POA=∠POB.∴OA與OB重合.∵PD⊥AO,PE⊥OB，依據基本事實“過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”可知PD與PE重合，∴PD=PE.AODEPCB符號語言：角平分線上的點到角兩邊的距離相等.角平分線的性質定理：∵OP

是∠AOB的平分線，∴PD=PE.PD⊥OA,PE⊥OB，歸納總結如果角內部一點到角兩邊的距離相等，那么這個點在這個角的平分線上嗎？想一想通過上述研究，你得到了什么結論？證明：畫射線OQ.∵QC⊥OA,QD⊥OB，∴∠QDO=∠QCO=90°.

在Rt△QDO和Rt△QCO中，

OQ=OQ,

QD=QC,∴Rt△QDO

≌

Rt△QCO(HL)，∴∠AOQ=∠BOQ，∴點Q在∠AOB的平分線上.如圖，若點Q在∠AOB內，QC⊥OA，QD⊥OB，垂足分別為C,D,且QC＝QD，點Q在∠AOB的角平分線上嗎？為什么？OBAQDC

角的內部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.角平分線性質定理的逆定理：OEDPCAB符號語言:∵PD⊥OA，∴點P

在∠AOB的平分線上.(或OP平分∠AOP)PE⊥OB，且PD=PE，定理的作用：判斷點是否在角平分線上.歸納總結

角平分線是到角兩邊距離相等的點的集合.例1.如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，且DE⊥AB,DF⊥AC,D

是BC的中點，求證:∠B=∠C.證明：∵

AD平分∠BAC且DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF（角平分線上的點到角兩邊的距離相等），∠DEB=∠DFB=90°.∵

D

是BC的中點，∴DB=DC.

在Rt△DBE與Rt△DCF中，

DB=DC，

DE=DF，∴Rt△DBE≌

Rt△DCF(HL)，∴∠B=∠C.??例題講解例2.如圖，BD平分∠ABC交AC于點D

，DE⊥AB,DF⊥AC,AB=6,BC=8,

若S△ABC=28,求DE的長.解：∵

BD平分∠ABC且DE⊥AB,DF⊥BC,∴DE=DF.86?

例3.利用網格作圖.ACB（1）在BC上找一點P,使P到AB和AC的距離相等.P（2）在射線AP上找一點Q,使QB=QC.Q

例4

(教材典題)如圖,△ABC的角平分線AD,BE相交于點P.求證:點P在∠C的平分線上.證明:如圖,過點P作PF⊥AB,PM⊥BC,PN⊥AC,垂足分別為F,M,N.∵AD平分∠BAC,點P在AD上,PF⊥AB,PN⊥AC,∴PF=PN(角平分線的性質定理).圖形已知條件結論OP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于D

PE⊥OB于E角的平分線的判定角的平分線的性質

可用來證明兩條線段相等.判斷點是否在角平分線上課堂小結知識技能鞏固練1.(2024蘇州期末)在由邊長相等的小正方形組成的網格中,∠AOB的位置如圖1-4-14所示,到∠AOB兩邊距離相等的點應是 (

)A.點M

B.點N

C.點P

D.點QA圖1-4-142.(2024泰州期末)如圖1-4-15,OP為∠AOB的平分線,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分別是C,D,則下列結論不一定正確的是 (

)A.PC=PD

B.OC=ODC.∠CPO=∠DPO

D.∠CPD=∠DOCD圖1-4-153.如圖1-4-16,DE⊥AB于點E,DF⊥BC于點F,且DE=DF.若∠DBC=50°,則∠ABC=

°.

100圖1-4-164.(2024徐州期末)已知,如圖1-4-17,BD是∠ABC的平分線,AB=BC,點P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分別為M,N.求證:PM=PN.

圖1-4-17∴∠ADB=∠CDB.∵點P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,∴PM=PN.圖1-4-175.已知:如圖1-4-18,BP,CP是△ABC的外角平分線,PM⊥AB交AB的延長線于點M,PN⊥AC交AC的延長線于點N.求證:AP平分∠BAC.證明:如圖,過點P作PD⊥BC于點D.圖1-4-18∵BP是△ABC的外角平分線,PM⊥AB,PD⊥BC,∴PM=PD.同理,PN=PD.∴PM=PN.又∵PM⊥AB,PN⊥AC,∴AP平分∠BAC.圖1-4-186.如圖1-4-19,E是∠AOB的平分線上一點,EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分別為C,D,連接CD交OE于點F,則下列結論不能夠由上述條件證得的是(

)A.∠ECD=∠EDCB.OE是線段CD的垂直平分線C.OE=2DED.△DEF≌△CEFC能力提升綜合練圖1-4-197.如圖1-4-20,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC的平分線交AC于點D,DE⊥BC于點E.若△ABC與△CDE的周長分別為13和3,則AB的長為 (

)A.10 B.16 C.8 D.5D圖1-4-208.如圖1-4-21,在四邊形ABCD中,∠A=90°,AD=3,BC=5,對角線BD平分∠ABC,則△BCD的面積為

.

7.5圖1-4-219.如圖1-4-22,已知CD⊥AB于點D,BE⊥AC于點E,垂足分別為D,E,且AB=AC,BE與CD交于點O.求證:(1)DB=EC;

圖1-4-22∴△ADC≌△AEB(AAS),∴AD=AE,∴AB-AD=AC-AE,即DB=EC.圖1-4-22(2)AO平分∠BAC.

圖1-4-2210.[綜合運用]如圖1-4-23,在△ABC中,點D在BC邊上,∠BAD=100°,∠ABC的平分線交AC于點E,過點E作EF⊥BA交BA的延長線于點F,且∠AEF=50°,連接DE.(1)求∠CAD的度數;素養發展創新練圖1-4-23解:(1)∵EF⊥BA交BA的延長線于點F,∠AEF=50°,∴∠FAE=90°-50°=40°.∵∠BAD=100°,∴∠CAD=180°-100°-40°=40°.圖1-4-23(2)求證:DE平分∠