2025年中考數學總復習《圖形的變化》專項測試卷附答案

2025年中考數學總復習《圖形的變化》專項測試卷(附答案)

學校:姓名：班級：考號：

1.如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，點A,B,C,D,E,尸均為格

點(網格線的交點)，請按下列要求作圖，并標出相應的字母.

圖1圖2

(1)①在圖1中，畫出線段A3關于直線CD對稱的線段A耳.連接44-線段AA和直線

的關系為

②在圖1中，將線段A8向左平移1個單位長度，再向上平移3個單位長度，得到線段人昂,

畫出線段為劣.連接A4、BB2,線段械和線段8當的關系為；

(2)在圖2中，線段與線段所存在旋轉變換關系.畫出旋轉中心。.

2.探究式學習是新課程倡導的重要學習方式，某興趣小組擬做以下探究，在RtZXABC中,

ZACB=90°,ZABC=45。，AB=M,。為線段A3上一點.

圖1圖2圖3

【初步感知】

(1)如圖1,連接CD,將CD繞點C逆時針旋轉90。至CE.連接AE,￡>E,求的度

數；

【深入探究】

(2)如圖2,將AACD沿C。折疊至AECD.射線CO與射線BE交于點?若FE=3EB,

求△CEF的面積；

【拓展應用】

(3)如圖3,BD=BC,連接CO.G為線段AC上一點，作點G關于直線C。的對稱點X,

點G繞8順時針旋轉45。至點K,連接HK,HB,請問CD和HK存在何種關系？并說明理

由.

3.如圖1,在平面直角坐標系中，點A的坐標為(-3,4).將線段A。向右平移3個單位，再

向上平移1個單位后，得到線段所.

⑴直接寫出點E,尸的坐標:

(2)如圖2,將線段49沿y軸向下平移。(。＞0)個單位后得到線段BC(點A與點8對應),

過點B作軸于點D若。O=《OC,求a的值；

(3)如圖1,在尤軸上是否存在一■點尸，使得2s△4FP=3%4OF(和SaAOF分另lj表小AAFP和

AAOF的面積)，若存在，求出點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

4.在正方形ABC。中，點E在邊C。上運動(不與端點重合)，作射線AE,將射線AE繞點

A順時針旋轉90。，交射線CB于點

(1)如圖1,與線段AE始終相等的線段是；

(2)如圖2,連接成交AB于點H,過點A作47_1_砂于6,連接DG,試探究點E在運動

過程中，NEDG的大小是否發生變化？若不變，請求出它的度數；若變化，請說明理由；

(3)在(2)的條件下，當tan/CEF=5時，求整的值.

HCr

5.如圖，在平面直角坐標系中，VA5C的頂點坐標分別是A(2,4),C(5,3).

⑴平移VABC,使點A的對應點4的坐標為(-3,3),請畫出圖形；

(2)將VABC平移到△ABiG的過程可描述為:先向左平移個單位長度,再向一

平移個單位長度；

(3)若將△AB|G看成是VABC經過一次平移得到的，則這一平移的距離是

(4)畫出VABC關于原點。成中心對稱的圖形△A與G.

6.如圖是由6x5的小正方形組成的網格，A、B、C都是格點，僅用無刻度的直尺在下列給

定的網格中完成畫圖.（要求：每個作圖輔助線不超過3條）

_一3

⑴在圖1中，畫線段AD,使得451且AD=AB；在AC上畫點E,使得="

⑵直接寫出蕓的值:；在AC上畫點G,使得CG-C4=5C2.

nC

7.如圖1,VABC和△D3C都是邊長為4的等邊三角形.

（1）將沿3C方向平移得到△r?4G，如圖2、圖3所示，則四邊形AB2G是平行四

邊形嗎？證明你的結論；

⑵在（1）的條件下，若四邊形ABQG為矩形，求B片的值.

8.(1)如圖，正方形ABCD,/是BC上的一點，連接40.點N是AM上的動點，過點

N作EF1.4W,分別交直線AB,CD于點E,F.求證：AM=EF.

(2)如圖，正方形的邊ABC。，M是BC上的一點，連接AM.過點/作MQLAA/,分

別交正方形的外角“CG平分線于點。.求證：AM=MQ.

(3)如圖，正方形ABC。中，AB=4,M是BC上的一點，，且8M=1，連接AM.點N

是AM上的動點，過點N作分別交直線AB,C。于點E,F.連接ME、AF.求

ME+AF的最小值，并說明理由.

9.【問題發現】(1)如圖1,矩形ABCD中，AB=9,BC=12,點尸是矩形ABCD內一點,

過點尸作EF2AD,分別交A。，BC于點E,F,PE=4,AE=3.貝！|：

①PC=；

②PA2+PC2與PB2+PD2的關系是.

【類比探究】（2）如圖2,點尸是矩形ABC。外一點，過點尸作EF上AD,分別交AD,BC

反向延長線于點E,￡②中結論還成立嗎？若成立，請說明理由;

【拓展延伸】（3）如圖3,在中,ZBAC=90°,尸是Rt^ABC外一點，R4=2,

尸3=5,PC=3,求3C的最小值.

①②③

10.（1）如圖1,在4x4的正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1,每個小正方形的頂

點叫做格點，VABC的頂點均在格點上.在VABC的邊48上找到一點。，連結CD,使得

△ACD的面積與△BCD的面積之比為3：2,（請用無刻度的直尺在給定網格中完成畫圖，并

保留作圖跡）.

（2）如圖2,四邊形ABC。為菱形，60°<ZABC<90%點E是BC邊的中點，用尺規作圖

分別在CD邊上找一點G,在8。上找一點F，使￡F+FG最小，（請用圓規和直尺完成作圖，

并保留作圖跡.）

AD

11.如圖，點。為矩形A3CD的對稱中心，AB=6cm,BC=8cm,點、E、F、G分別在邊

AB.BC、CO上.點E從點B出發向點A運動，速度為4cm/s,點/從點B出發向點C運

動，速度為3cm/s,點G從點C出發向點O運動，速度為4cm/s.當點E到達點A（即點E

與點A重合）時，三個點隨之停止運動.在運動過程中，△￡?產關于直線所的對稱圖形是

△EB'F,設點E、F、G運動的時間為/（單位：s）.

⑴四邊形EBFB'（填“能”或“不能”）是正方形;

⑵若“、N分別是所、FG的中點，連接問：當/為何值時，四邊形是平行

四邊形？

⑶是否存在實數上使得點8'與點。重合？若存在，求出/的值；若不存在，請說明理由.

12.按要求作圖：（不寫作法，保留作圖痕跡，標明字母）

（1）如圖1,VABC的頂點A、B在。。上，點C在。。內，ZACB=90°,僅利用無刻度直尺

在圖中畫0。的內接三角形ADE,使△ADEsZ\C3A；

（2）如圖2,在VA2C中，AB=AC,以AB為直徑的0。交邊AC于點。，連接BD,過點C

作CE〃AB.

①請用無刻度的直尺和圓規作圖：過點8作O。的切線，交CE于點P；

②若BD=5,則跳'的長度為多少.

參考答案

1.（1）①見解析；直線C￡（垂直平分線段AA；②見解析；AA2=BB2,AA.//BB,.

（2）見解析

【分析】本題考查了軸對稱作圖，平移作圖，找旋轉中心，熟練掌握以上知識是解題的關鍵.

（1）①根據軸對稱圖形的性質即可得出結果；②根據圖形的平移作圖，然后由平移的性質

即可求解；

（2）分別作對應點連線的垂直平分線，其交點即為旋轉中心.

【詳解】（1）①解：如圖1,線段A瓦即為所求的線段.

直線co垂直平分線段AA；

②解：如圖1,線段4坊即為所求的線段.

AA2=BB2,AAj//BB2?

(2)解：如圖2,點。I和點。2即為所求的旋轉中心.

21

2.(1)ZBAE=90°；(2)—；(3)HK=CD,見解析

【分析】(1)根據SAS證明AACEaBCD得ZCAE=NB=45°,進而可求出/BAE的度數；

(2)作CTL成交&F于點T,由折疊的性質得AC=CE,ZACF=ZECF.求出

/F=NFCT=45°得CT=TF,設3T=ET=a,則FE=6。，CT=TF=1a,由勾股定理求

出AC=CE=石，然后在RtZ\CE7中利用勾股定理列方程求解即可；

(3)連接BG,DK,CH,延長CH交于點T,證明ACBG四ADBK(SAS)得

ZBDK=ZACB=90°,CG=DK,由旋轉得CG=CH,從而有CH=DK.證明

NCTD=/BDK=90。得CH〃DK,可證四邊形CDK"是平行四邊形，從而HK=HB=CD.

【詳解】解：(1):在Rt^ABC中，ZACB=90°,ZABC=45°,

：.ZR4C=ZABC=45°,

二AC=BC.

:將CO繞點C逆時針旋轉90。至CE,

CE=CD,ZDCE=90°,

NDCE=ZACB,

：.ZACE=ZBCD,

???AACE%BCD(SAS),

???ZCAE=ZB=45°9

???/區4￡=45。+45。=90。；

(2)如圖，作CT_LBF交BF于點T,

???將AACD沿CD折疊至&ECD,

AC=CE,NACF=NECF.

;AC=BC,

：.CE=BC,

：.BT=ET,ZBCT=/ECT,

???ZACF+/ECF+ZBCT+ZECT=90。,

：.ZFCT=-ZACB=45°,

2

：.ZF=ZFCT=45°,

：.CT=TF.

設BT=ET=a,

?/FE=3EB,

FE=6a,

：.CT=TF=Ja,

??,AC=CE=?AB=E

2

??ci—,

10

S=—CT-EF=—x7ax6a=—；

m2210

(3)如圖，連接BG,DK,CH,延長C”交AB于點T,

CB

???點G繞B順時針旋轉45。至點K,

：.BG=BK,NG3K=45。，

???ZABC=/GBK=45。,

：.ZCBG=ZDBK,

?:BD=BC,

???△CBG~DBK(SAS),

ZBDK=ZACB=90°,CG=DK.

作點G關于直線CD的對稱點H,

:?CG=CH,/GCD=/HCD,

：.CH=DK.

VBD=BC,ZABC=45°,

???ZBDC=ZBCD=67.5°,

???Z.GCD=ZHCD=67.5°-45°=22.5°,

???ZC77)=90°,

???/CTD=ZBDK=90。,

J.CH//DK,

?:CH=DK,

???四邊形CDKH是平行四邊形，

：.HK=CD.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質與判定，軸對稱的性質,

旋轉的性質，勾股定理，平行四邊形的判定與性質.

3.⑴點E坐標為(0,5),點尸坐標為(3,1)

(2)。的值為g或8

⑶存在，點P的坐標為1-：,。]或H，o]

【分析】(1)根據平移方式可求解點的坐標；

(2)由題意易得點8坐標為(-3,4-a),點C坐標為(0,-。)，點。坐標為(0,4-。)，然后可

分當點。位于y軸正半軸，即4-a>0時，當點。位于y軸負半軸，即4-a<0時，進而分

類求解即可；

15345

(3)連接AP和FP,由題意易得AO〃￡F,則有％5^=-5^=—,

然后可分當點尸位于x軸負半軸時，當點P位于無軸正半軸時，進而分類求解即可.

【詳解】(1)解：由題知：平移方式為向右平移3個單位，再向上平移1個單位后，

???點A進行該平移后對應的是點E,即坐標為(-3+3,4+1),點。進行該平移后對應的是點

F,即坐標為(0+3,0+1)；

.??點E坐標為(0,5)，點尸坐標為(3,1).

(2)解:由題知：點B坐標為(-3,4-a),點C坐標為(0,-a),點。坐標為(。,4-°),

①當點。位于y軸正半軸，即4-〃>0時，

OD=4—a,OC=a,

:OD=-OC,

2

1

:.4A-a=—a,

2

解得：。=|;

②當點。位于y軸負半軸，即4-a<0時，

OD=—(4—ci)=a—4,℃=a,

-：OD=-OC,

2

(1

/.a—4=—a,

2

解得：a=8.

Q

綜上，。的值為■!或8.

(3)解：存在，理由如下：連接AP和FP,

,??線段49平移得到線段所，

：.AO//EF,

115

?q~^^AOE=-EO.

-3AOF222

=3X15=45

224

+S"OP-SMOF，

153

-------m,

32

15345

——m=一

224

解得：7M=—1

SAAOP-S^AOF~S/\OFP，

=0.4-”-Ll

222

315

=-m--

22

31545

:.—m--=

224

25

解得：根=3

???點P的坐標為1-則或

【點睛】本題主要考查圖形與坐標及平移的性質，熟練掌握圖形與坐標及平移的性質是解題

的關鍵.

4.(1)與線段AE始終相等的線段是AF

⑵/EDG的值為45。，是定值，理由見解析

⑶源

13

【分析】此題考查了，解題的關鍵是.

(1)由正方形的性質得到AB=AD,ZADE=ZABC=ZABF=ABAD=90°,然后證明出

△DAE/ABAF(ASA),即可得到AE=AF；

(2)根據題意證明出點A,D,E,G四點共圓，得到/EDG=/￡XG=45。，進而求解即

可；

(3)設CE=x,則CF=5CE=5x,勾股定理得出砂=JcE?+CF?=生a表示出

BHBF2尤2.

BF=DE=2x,然后證明出得到麗=演=而支=13，進而求解即

2

可.

【詳解】(1)與線段AE始終相等的線段是AF,理由如下：

?.?四邊形A3CD是正方形，

AB=AD,ZADE=ZABC=ZABF=NBAD=90。,

'：ZE4F=90°,

/.ZBAE+ZDAE=ZBAE+ZBAF,

ZDAE=ZBAF，

：.△ZME^ABAF(ASA),

AE=AF；

(2)/即G的大小是定值，理由如下：

VAE=AF,ZEAF=90°,

：.ZAFE=ZAEG=45°,

:AG1EF,

Z.ZAGE=ZADE=90°,ZEAG=-ZEAF=45°,

2

...點A,D,E,G四點共圓，圓心為AE的中點,

NEDG=NEAG=45。,

即：/EDG的值為45。，是定值；

(3):在Rt/XCEF中，tan/CEF=5,

:?設CE=x,貝。=5CE=5x,

EF=VCE2+CF2=V26x>

.1V26x

??AG=—E17F1r=------,

22

由(1)可知：ADAE當ABAF,

:.BF=DE,

又?；CD=BC,

：.CF=BF+BC=DE+CD=DE+DE+CE=2DE+x,

2DE+x=5x,

BF—DE—2x,

VZFHB=ZAHG,ZFBH=ZAGH,

：.AFHB^AAHG,

.BHBF^^=^1

''HG~GA，即叵13'

2

即：槳的值為也.

HG13

【點睛】此題考查了正方形的性質，全等三角形和相似三角形的性質和判定，勾股定理，解

直角三角形等知識，解題的關鍵是掌握以上知識點.

5.(1)見解析

(2)5,下,1；

(3)726；

⑷如圖所示.

【分析】(1)根據4(2,4),4(-3,3),即可確定平移方式和距離，即可作圖；

(2)根據4(2,4),4(-3,3),即可確定點的平移方式和距離，繼而確定圖形的平移方式和

距離；

(3)先確定AA即為一次平移的距離，再由勾股定理即可求解；

(4)先作出點A,民C關于原點對稱的點4，鳥,6,再順次連接即可.

【詳解】(1)解：如圖，耳G即為所作:

⑵解：；4(2,4),4(—3,3),

A(2,4)向左平移5個單位，向下平移1個單位至點A(-3,3)，

...將VABC平移到44瓦G的過程可描述為：先向左平移5個單位長度，再向下平移1個單

位長度，

故答案為：5,下，1；

(3)解：由題意得，AA即為一次平移的距離，

由勾股定理得：朋=#+52=而,

故答案為：J丞；

(4)解：如圖，即為所作:

【點睛】本題考查了本題主要考查中心變換和平移變換，及勾股定理，熟知圖形平移的性質、

旋轉的性質是解答此題的關鍵.

6.(1)圖見解析

(2)y,圖見解析

【分析】本題考查相似三角形的判定和性質，解直角三角形，熟練掌握相關知識點，是系軟

解題的關鍵：

(1)取格點。，連接A。；AD與格線交于尸，連接即交AC于E即可；

AT

(2)勾股定理求出AC的長，求出能的值，如圖，取格點E,格點尸，連接CE,EF,EF

與AC的交點即為點G.

【詳解】(1)解：如圖所示：線段AD,點E即為所求；

由勾股定理,得==JF+42=后，

由作圖可知：黑AF=3

FD1

???AF=-AD=-y/Y7,

44

■.*AB=AD=yfn,ABAD=90°,

3

/.tanZABE=丁AF==,即作圖符合題意；

AB4

（2）解：VAC=V32+42=5>BC=4,

.AC5

如圖，點G即為所求;

由作圖可知：△ACE也△FEH,BC=CE=4；

：.ZHEF=ZACEf

：.ZEGC=ZHEF+ZCAE=ZACE+ZCAE=90°,

：.ZEGC=ZAEC=90°,

■:ZACE=ZECG,

；?AEGCS^AEC,

.CECG

??一,

ACCE

：.CE2=ACCG,

.1.BC2ACCG,即作圖符合題意.

7.(1)四邊形AB2G是平行四邊形，證明見解析

⑵4

【分析】此題主要考查了矩形的性質和等邊三角形的性質和平行四邊形的判定以及平移的性

質，熟練掌握相關的定理是解題關鍵.

(1)根據平移的性質，得到BB|=CG，根據等邊三角形的性質，得到AC=B12，

NBBR=ZACCi，從而得到“瓦。產"CG，則AC】=BR,再根據兩組對邊分別平行的四

邊形是平行四邊形即可證明；

(2)根據等邊三角形的性質與矩形的性質，進一步解答即可.

【詳解】⑴解:根據平移的性質，得到叫=CG，

根據等邊三角形的性質，得到AC=8Q,NBBR=ZACG，

**(ABB[D]2△ACC],

/.AC]=BDt,

又AB=CR,

，四邊形ABRG是平行四邊形；

(2)解:如圖，連接2，，AC1,

A

B

V^ABC,ABDC都是邊長為4的等邊三角形，四邊形ABRG為矩形，

AC=CD,=BB[=BlCl,止匕時4，C重合，

.?.陰=4.

8.(1)見解析

(2)見解析

(3)

7

【分析】(1)過點B作3G〃EF交C。于G,交AM于H,先證明四邊形3GFE是平行四邊

形，得BG=EF,再證明△ASM絲ABCG(ASA),得AM=8G,即可得出結論；

(2)在邊54上截取8E,使BE=BM,連接ME,證明△"以四》WCQ(ASA),即可得出

結論；

(3)作點A關于CD的對稱點4,作點E關于BC的對稱點身，連接ZM',A'F,BE',ME',

MF,當當點E、M、F、A',四點共線時，ME'+MR+A/值最小，最小值等于

"百二雨+血口+女/，當點M、F、4共線時，MR+AF值最小，最小值是=,

所以當點E'、M、尸、A,四點共線時，ME'+A/值最小，即ME+AF值最小，求出此時ME,

AF的長即可求解.，

【詳解】(1)證明：過點2作3G〃EF交C。于G,交A"于H,如圖，

???正方形ABC。，

/.ZABC=ZC=90°fAB//CD,AB=BC,

：.ZABG+ZMBG=ZABC=90°,

BG//EF,

???四邊形BGFE是平行四邊形，

:?BG=EF,

9：EFLAM,BG//EF,

???ZAHB=ZANE=90。,

：.ZABG+ZBAM=90°,ZAHB=ZC,

：./BAM=ZMBG,

：.△ABM0/OG（ASA）,

/.AM=BG,

：.AM=EF.

(2)證明：在邊BA上截取使3石=連接腔，如圖,

???正方形ABCD,

AZABC=ZC=90°,AB=BC,

：.ZAMB-i-ZBAM=90°

,:BE=BM

：.ZBEM=ZBME=4509AB-BE=BC-BM,即AE=CM,

ZAEM=180。一ZBEM=135°

C。是正方形的外角NQCG平分線,

ZDCQ=45°

：.ZMCQ=135°

.??ZAEM=ZMCQ

?：MQLAM

：.ZAMQ=90°

：.ZAMB+ZCMQ=90°

：./BAM=NCMQ

：.△AEM%MCQ(ASA)

：.AM=MQ

(3)作點A關于CO的對稱點A,作點E關于3。的對稱點連接。T,Ab，BE',ME',

???正方形A5CO,

AAD=AB=4,BC//AD,CD//AB,ZABC=ZADC=90°9

???點A關于。的對稱點4,

???點A、D、A二點共線，A^F—AF?DA=AD=4,

???A4'=8,

???點E關于5C的對稱點后，點5、E、E三點共線，MEr=ME,BE=BE,

???當點F、M、F、A,四點共線時，ME+M/+A產值最小，最小值等于

AE=EM+MF+A!F,

當點"、F、A共線時，"F+AF值最小，最小值是AM=AN+MF,

???當點E、M.F、A,四點共線時，ME+A產值最小，即MW+AF值最小,

BC//AD,

^BME^AA!Ef,

.BE'BM

**AT-AA7,

設BE'=BE=x,貝!|A￡'=AB+3E'=4+x,

.x=1

4+x8

,_4

??X=-f

7

432

BE=—,AEr=4+x=—,

77

ME=NBM°+BE?=

?/CD//AB

.DFA'D

'*AE7-A?

DF_4

7

DF=—

7

4屈

AF=JAD?+DF2=

?皿V6547655765

..ME+AAJF7=---+-----=-----

777

即ME+AF的最小值為之叵.

7

【點睛】本題考查正方形的性質，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形，利用軸對稱

求最短路徑問題，兩點之間線段最短，相似三角形的判定與性質.本題屬正方形與全等三角

形、相似三角形綜合題目，難度較大.熟練掌握相關知識的靈活應用是解題的關鍵.

9.(1)①而@P^+PC2=PB2+PD2;(2)成立，理由見解析(3)>/30-2

【分析】本題主要考查矩形的判定和性質，勾股定理，兩點之間線段最短，熟練掌握矩形的

判定和性質是解題的關鍵.

(1)①根據矩形的性質和判定證明四邊形ABEE和四邊形DC正都是矩形，求出各個線段

的長，再利用勾股定理即可得到答案；

②由PA?+PC2=131,PB2+PD2=131即可得到結論；

(2)證明四邊形ABEE和四邊形ZXTE都是矩形，利用勾股定理進行證明即可得到結論；

(3)作？M_LC4交C4的延長線于點M,作交9的延長線于點N,作CT_LA?

交的延長線于點T,連接AT、PT,證明四邊形A5MW和四邊形C7NM都是矩形，根據

矩形的性質定理進行求解即可.

【詳解】解：（1）①如圖1：,四邊形ABCD是矩形，AB=9,BC=12,

:.AD=BC=12,

NBAD=ZABC=ZADC=ZBCD=90。,

,過點尸作分別交AD,3C于點E,F,

:.ZAEF=ZDEF=90°,

二四邊形ABFE和四邊形DCFE都是矩形，

.-.EF=AB=9,BF=AE=3,

ZAEF=ZDEF=90°,

:.CF=DE=AD-AE=12-3=9,

-：PE=4,

PA=7AE2+PE2=>/32+42=5，

PD=-JDE2+PE2=V92+42=>/97，

■.■PF=EF-PE=9-4=5,

PB=>JBF2+PF2=A/32+52=734，

PC=y/CF2+PF2=792+52=7106，

故答案為：J106；

@PA2+PC2=52+(V106)2=131,

PB2+PD2=(取A+(V97)2=131,

?，-PA2+PC2=PB2+PD1,

故答案為：P^+PC2=PB2+PD2;

(2)成立，理由如下：

V四邊形ABC。是矩形，

ZBAD=ZABC=ZDC=ZBCD=90°,

:.ZEAB=ZFBA=9O°,

,??過點尸作EF上AD,分別交AD,BC反向延長線于點E,F,

.'.ZE=90°,

，四邊形MEE和四邊形DCEE都是矩形，

:.AE=BF,DE=CF,

PD2=DE2+PE2=CF2-PE2,

PA1=AE2+PE2=BF2+PE2，

:.PDr-P^=CF--BF2,

?：PC2=CF2+PF2,PB2=BE2+PF2,

PC2-PB2=CF2-BF2,

:.PC2-PB2=PD2-PA1,

PA2+PC2=PB2+PD2;

(3)作尸MLS交C4的延長線于點M,則/PMC=90。，

PC2=PM2+CM2,P^=PM2+AM2,

作BN，PM交PM的延長線于點N,作CT交NB的延長線于點T,連接AT、PT,

-.?ZBAC=90°,

:.ZBAM=90°,

ZAMN=ZN=ZCTN=90°,

二四邊形ABMW和四邊形CZN做都是矩形，

:.TN=CM,BN=AM,

PT2=PN2+TN2=PN2+CM2,

PB2=PN2+BN2=PN2+AM2,

PT2-PC2=PN2-PM2,

PB2-PA2=PN2-PM2,

PT2-PC2=PB2-,

'''PA=2,PB—5,PC=3,

PT=VPB2+PC2-B42=^52+32-22=而，

■.■TA+PA>FT,

:.TA+2>y/30,

:.TA>y/30-2,

■.■AB//MN,

，四邊形ABTC是矩形,

:.TA=BC,

:.BC>y/30-2,

.?.3C的最小值為屈-2.

10.（1）見解析；

（2）見解析

【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質、尺規作圖、垂線段最短.

⑴連接QP交AB于點D,可得AADQSABDP,根據相似三角形的性質可知黑=哭=］，

BL）BP2

根據三角形的面積公式可得SAACD：S-BCD=3：2；

（2）利用尺規作圖作應）交于點根據軸對稱的性質可知FM=EF,利用尺規

作圖過點M作MGLCD交CD于點G,交8。于點歹，根據垂線段最短可知F70+MG最小,

等量代換可知此時EF+FG最小.

【詳解】解：如下圖所示，連接QP交于點。,

■.-AQWBP,

:.AADQS.BDP,

,一。_3

"BD~BP~2f

…-AABCD-J?4

（2）如下圖所示,

利用尺規作圖作EM，5￡＞交AB于點

根據軸對稱的性質可知FM=EF,

利用尺規作圖過點M作MGLCD交CD于點G,交BD于點、F,

根據垂線段最短可知F70+MG最小，

連接砂、FG,

貝i]EF+bG=FM+MG,

此時EF+FG最小.

【分析】（1）由題意得班二即，則四邊形￡BEB'不能是正方形；

（2）連接EG,證明四邊形BCEG是矩形，求得MN=1EG=ggC,推出當=B尸時,

四邊形是平行四邊形，據此求解即可；

（3）由對稱的性質知E尸是線段的垂直平分線，當點8'與點。重合時，

BH=B，H=W利用等積法求解即可.

【詳解】（1）解