新課標2024高考數學大一輪復習第三章導數及其應用題組層級快練15導數的概念及運算文含解析

PAGEPAGE5題組層級快練(十五)1．y＝lneq\f(1,x)的導函數為()A．y′＝－eq\f(1,x) B．y′＝eq\f(1,x)C．y′＝lnx D．y′＝－ln(－x)答案A解析y＝lneq\f(1,x)＝－lnx，∴y′＝－eq\f(1,x).2．(2024·人大附中月考)曲線y＝eq\f(x＋1,x－1)在點(3，2)處的切線的斜率是()A．2 B．－2C.eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)答案D解析y′＝eq\f(（x＋1）′（x－1）－（x＋1）（x－1）′,（x－1）2)＝－eq\f(2,（x－1）2)，故曲線在(3，2)處的切線的斜率k＝y′|x＝3＝－eq\f(2,（3－1）2)＝－eq\f(1,2)，故選D.3．(2024·沈陽一中模擬)曲線f(x)＝2exsinx在點(0，f(0))處的切線方程為()A．y＝0 B．y＝2xC．y＝x D．y＝－2x答案B解析∵f(x)＝2exsinx，∴f(0)＝0，f′(x)＝2ex(sinx＋cosx)，∴f′(0)＝2，∴所求切線方程為y＝2x.4．(2024·滄州七校聯考)過點(－1，1)的直線l與曲線y＝x3－x2－2x＋1相切，且(－1，1)不是切點，則直線l的斜率是()A．2 B．1C．－1 D．－2答案C解析設切點為(a，b)，∵f(x)＝x3－x2－2x＋1，∴b＝a3－a2－2a＋1.∴f′(x)＝3x2－2x－2，則直線l的斜率k＝f′(a)＝3a2－2a－2，則切線方程為y－(a3－a2－2a＋1)＝(3a2－2a－2)(x－a)，∵點(－1，1)在切線上，∴1－(a3－a2－2a＋1)＝(3a2－2a－2)(－1－a)．整理，得(a－1)·(a2－1)＝0?a＝1或a＝－1.當a＝1時，b＝－1，此時切點為(1，－1)；當a＝－1時，b＝1，此時切點為(－1，1)不合題意；∴a＝1，此時直線l的斜率k＝f′(1)＝－1，故選C.5．一質點沿直線運動，假如由始點起經過t秒后的位移為s＝eq\f(1,3)t3－eq\f(3,2)t2＋2t，那么速度為零的時刻是()A．0秒 B．1秒末C．2秒末 D．1秒末和2秒末答案D解析∵s＝eq\f(1,3)t3－eq\f(3,2)t2＋2t，∴v＝s′(t)＝t2－3t＋2.令v＝0，得t2－3t＋2＝0，t1＝1或t2＝2.6．(2024·《高考調研》原創題)設函數f(x)在(0，＋∞)內可導，且f(ex)＝x＋ex，則f′(2019)＝()A．1 B．2C.eq\f(1,2019) D.eq\f(2020,2019)答案D解析令ex＝t，則x＝lnt，所以f(t)＝lnt＋t，故f(x)＝lnx＋x.求導得f′(x)＝eq\f(1,x)＋1，故f′(2019)＝eq\f(1,2019)＋1＝eq\f(2020,2019).故選D.7．(2024·山西名校聯考)若函數f(x)的導函數的圖像關于y軸對稱，則f(x)的解析式可能為()A．f(x)＝3cosx B．f(x)＝x3＋x2C．f(x)＝1＋2sinx D．f(x)＝ex＋x答案C解析A項中，f′(x)＝－3sinx是奇函數，圖像關于原點對稱，不關于y軸對稱；B項中，f′(x)＝3x2＋2x＝3(x＋eq\f(1,3))2－eq\f(1,3)，其圖像關于直線x＝－eq\f(1,3)對稱；C項中，f′(x)＝2cosx是偶函數，圖像關于y軸對稱；D項中，f′(x)＝ex＋1，由指數函數的圖像可知該函數的圖像不關于y軸對稱．故選C.8．(2024·安徽百校論壇聯考)已知曲線f(x)＝eq\f(ax2,x＋1)在點(1，f(1))處切線的斜率為1，則實數a的值為()A.eq\f(3,2) B．－eq\f(3,2)C．－eq\f(3,4) D.eq\f(4,3)答案D解析由f′(x)＝eq\f(2ax（x＋1）－ax2,（x＋1）2)＝eq\f(ax2＋2ax,（x＋1）2)，得f′(1)＝eq\f(3a,4)＝1，解得a＝eq\f(4,3).故選D.9．(2024·衡水中學調研卷)已知函數f(x)＝eq\f(1,2)x2·sinx＋xcosx，則其導函數f′(x)的圖像大致是()答案C解析由f(x)＝eq\f(1,2)x2sinx＋xcosx，得f′(x)＝xsinx＋eq\f(1,2)x2cosx＋cosx－xsinx＝eq\f(1,2)x2cosx＋cosx.由此可知，f′(x)是偶函數，其圖像關于y軸對稱，解除選項A，B.又f′(0)＝1，故選C.10．設a∈R，函數f(x)＝ex＋a·e－x的導函數是f′(x)，且f′(x)是奇函數，則a的值為()A．1 B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2) D．－1答案A解析因為f′(x)＝ex－ae－x，由奇函數的性質可得f′(0)＝1－a＝0，解得a＝1.故選A.11．(2024·河南息縣中學月考)若點P是曲線y＝x2－lnx上隨意一點，則點P到直線y＝x－2距離的最小值為()A．1 B.eq\r(2)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\r(3)答案B解析當過點P的直線平行于直線y＝x－2且與曲線y＝x2－lnx相切時，切點P到直線y＝x－2的距離最小．對函數y＝x2－lnx求導，得y′＝2x－eq\f(1,x).由2x－eq\f(1,x)＝1，可得切點坐標為(1，1)，故點(1，1)到直線y＝x－2的距離為eq\r(2)，即為所求的最小值．故選B.12．已知y＝eq\f(1,3)x3－x－1＋1，則其導函數的值域為________．答案[2，＋∞)13．已知函數f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，則f′(0)＝________．答案－120解析f′(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)＋x[(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]′，所以f′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120.14．(2024·重慶巴蜀期中)曲線f(x)＝lnx＋eq\f(1,2)x2＋ax存在與直線3x－y＝0平行的切線，則實數a的取值范圍是________．答案(－∞，1]解析由題意，得f′(x)＝eq\f(1,x)＋x＋a，故存在切點P(t，f(t))，使得eq\f(1,t)＋t＋a＝3，所以3－a＝eq\f(1,t)＋t有解．因為t>0，所以3－a≥2(當且僅當t＝1時取等號)，即a≤1.15．(2024·河北邯鄲二模)曲線y＝log2x在點(1，0)處的切線與坐標軸所圍成三角形的面積等于________．答案eq\f(1,2)log2e解析∵y′＝eq\f(1,xln2)，∴k＝eq\f(1,ln2).∴切線方程為y＝eq\f(1,ln2)(x－1)．∴三角形面積為S△＝eq\f(1,2)×1×eq\f(1,ln2)＝eq\f(1,2ln2)＝eq\f(1,2)log2e.16．若拋物線y＝x2－x＋c上的一點P的橫坐標是－2，拋物線過點P的切線恰好過坐標原點，則實數c的值為________．答案4解析∵y′＝2x－1，∴y′|x＝－2＝－5.又P(－2，6＋c)，∴eq\f(6＋c,－2)＝－5.∴c＝4.17．設f(x)是定義在R上的奇函數，且當x≥0時，f(x)＝2x2.(1)求x<0時，f(x)的表達式；(2)令g(x)＝lnx，問是否存在x0，使得f(x)，g(x)在x＝x0處的切線相互平行？若存在，求出x0的值；若不存在，請說明理由．答案(1)f(x)＝－2x2(x<0)(2)存在，x0＝eq\f(1,2)解析(1)當x<0時，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－2(－x)2＝－2x2.∴當x<0時，f(x)的表達式為f(x)＝－2x2.(2)若f(x)，g(x)在x0處的切線相互平行，則f′(x0)＝g′(x0)，當x>0時，f′(x0)＝4x0＝g′(x0)＝eq\f(1,x0)，解得，x0＝±eq\f(1,2).故存在x0＝eq\f(1,2)滿意條件．18．(2024·河北卓越聯盟月考)已知函數f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲線y＝f(x)在點(2，－6)處的切線方程；(2)直線l為曲線y＝f(x)的切線，且經過原點，求直線l的方程及切點坐標．答案(1)y＝13x－32(2)直線l的方程為y＝13x，切點坐標為(－2，－26)解析(1)依據題意，得f′(x)＝3x2＋1.所以曲線y＝f(x)在點(2，－6)處的切線的斜率k＝f′(2)＝13，所以要求的切線的方程為y＝13