2025年高考備考高中數學個性化分層教輔中等生篇《圓錐曲線綜合》

第1頁（共1頁）2025年高考備考高中數學個性化分層教輔中等生篇《圓錐曲線綜合》一．選擇題（共10小題）1．（2023秋?泊頭市校級月考）已知A（3，2），B（﹣3，﹣2），若動點M滿足直線MA與直線MB的斜率之積為13，則動點MA．y2?x2C．y2?x2．（2023秋?荔城區期末）已知拋物線y2＝2px（p＞0）的準線過雙曲線x28?A．2 B．4 C．6 D．83．（2024春?南京月考）與雙曲線x25?A．x24+yC．x236+4．（2024?重慶模擬）長為2的線段AB的兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動，則點A關于點B的對稱點M的軌跡方程為（）A．x24+yC．x216+5．（2024?臨汾模擬）已知F是橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦點，點P在橢圓C上，線段PFA．13 B．12 C．536．（2024春?岳麓區校級月考）平面直角坐標系中，等邊△ABC的邊長為23，M為BC中點，B，C分別在射線y=3x(y≥0)，y=?3x(y≥0)上運動，記A．C1為部分圓 B．C1為部分線段 C．C1為部分拋物線 D．C1為部分橢圓7．（2024?淄博一模）在平面直角坐標系xOy中，已知向量OA→與OB→關于x軸對稱，向量a→=(0，1)，若滿足OA→A．E是一條垂直于x軸的直線 B．E是一個半徑為1的圓 C．E是兩條平行直線 D．E是橢圓8．（2024春?官渡區校級期末）已知圓O：x2+y2＝4，從這個圓上任意一點P向y軸作垂線段PP1（P1在y軸上），M在直線PP1上且P1M→=2A．4x2+16y2＝1 B．16x2+4y2＝1 C．x24+y29．（2024?江西二模）已知拋物線E：y2＝2x，圓M：（x﹣1）2+y2＝1，N（x0，y0）為圓M外一點，過點N作圓M的兩條切線l1，l2，直線l1與拋物線E交于點A（x1，y1），B（x2，y2），直線l2與拋物線E交于點C（x3，y3），D（x4，y4），若x02+y02=1，則y1A．16 B．8 C．4 D．110．（2024春?東坡區月考）設圓O：x2+y2＝4與y軸交于A，B兩點（A在B的上方），過B作圓O的切線l，若動點P到A的距離等于P到l的距離，則動點P的軌跡方程為（）A．x2＝8y B．x2＝16y C．y2＝8x D．y2＝16x二．多選題（共5小題）（多選）11．（2023秋?萊蕪區校級月考）已知曲線C：mx2+ny2＝1，則（）A．若m＝n＞0，則曲線C是圓 B．若m＞0，n＞0，則曲線C是橢圓 C．若mn＜0，則曲線C是雙曲線 D．若m＝0，n＞0，則曲線C是一條直線（多選）12．（2024春?沅陵縣校級期末）在平面直角坐標系中，有兩個圓C1：（x+2）2+y2＝r12和C2：（x﹣2）2+y2＝r22，其中r1，r2為正常數，滿足r1+r2＜4或|r1﹣r2|＞4，一個動圓P與兩圓都相切，則動圓圓心的軌跡方程可以是（）A．兩個橢圓 B．兩個雙曲線 C．一個雙曲線和一條直線 D．一個橢圓和一個雙曲線（多選）13．（2023秋?西湖區校級期末）若方程x23?t+A．若1＜t＜3，則C為橢圓 B．若C為橢圓，且焦點在y軸上，則2＜t＜3 C．曲線C可能是圓 D．若C為雙曲線，則t＜1（多選）14．（2024春?大理州期末）已知O為坐標原點，曲線C：x2+y2＝1+|x|y圖象酷似一顆“紅心”（如圖）．對于曲線C，下列結論正確的是（）A．曲線C恰好經過6個整點（即橫、縱坐標均為整數的點） B．曲線C上存在一點P使得|OP|=2C．曲線C上存在一點P使得|OP|＝2 D．曲線C所圍成的“心形”區域的面積大于3（多選）15．（2024春?南崗區校級月考）已知m、n∈R，則方程m2x2+ny2＝1表示的曲線可能是（）A．兩條直線 B．圓 C．焦點在x軸的橢圓 D．焦點在y軸的雙曲線三．填空題（共5小題）16．（2024?荔灣區校級模擬）如圖，棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1，點P沿正方形ABCD按ABCDA的方向做勻速運動，點Q沿正方形B1C1CB按B1C1CBB1的方向以同樣的速度做勻速運動，且點P，Q分別從點A與點B1同時出發，則PQ的中點的軌跡所圍成圖形的面積大小是．17．（2024?梅州模擬）在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，定義P（x1，y1）、Q（x2，y2）兩點之間的“直角距離”為d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．已知兩定點A（﹣1，0），B（1，0），則滿足d（M，A）+d（M，B）＝4的點M的軌跡所圍成的圖形面積為．18．（2024?畢節市模擬）已知直線l1：x+ty﹣5＝0，直線l2：tx﹣y﹣3t+2＝0，l1與l2相交于點A，則點A的軌跡方程為．19．（2024春?豐臺區期中）已知曲線y=x2ex+1上任意一點P（與原點O①k的值不可能為0；②?k∈（﹣∞，0），總存在唯一的點P與之對應；③?k∈（0，+∞），總存在兩個點P與之對應；④k＜1恒成立．其中所有正確結論的序號為．20．（2024?廬陽區校級模擬）在平面直角坐標系中，已知動點A和C，定點B（3，0）和M（2，2），若|BC|＝6，且△ABC的周長恒為16，則|AB|+|AM|的最小值為．四．解答題（共5小題）21．（2024春?莒南縣期中）向量是研究幾何的一個重要工具，在證明某些幾何結論時會大大簡化證明過程．請用向量法解決解決以下問題：（1）證明△ABC的三條高線AD、BE、CF交于一點；（2）已知矩形MNPQ，G為平面內任意一點，求證：|GM|2+|GP|2＝|GN|2+|GQ|2；（3）如圖，已知圓O：x2+y2＝4，A，B是圓O上兩個動點，已知點P（1，0），求矩形PACB的頂點C的軌跡方程．22．（2023秋?天心區校級期末）已知線段AB的端點B的坐標是（6，5），端點A在圓C1：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝4上運動．（1）求線段AB的中點P的軌跡C2的方程；（2）設圓C1與曲線C2交于M、N兩點，求線段MN的長．23．（2023秋?鹽田區校級期末）已知圓C1：(x+3)2+y2=9，C2：(x?3)2+（1）求曲線C的方程；（2）斜率為4的直線l過點C2，且與曲線C交于A，B兩點，求△C1AB的面積．24．（2023秋?豐澤區校級月考）在平面直角坐標系中，O是坐標原點，點A（1，1），動點P滿足|PA|=2（1）求動點P的軌跡C的方程；（2）直線l：y＝k（x+1）與軌跡C交于E，F兩點，若EF的長為15，求直線l的方程．25．（2024春?浙江月考）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的離心率為12，右焦點為F，圓O：x2+y2＝（1）求C的標準方程；（2）若直線l：y＝kx﹣2與曲線C交于A，B兩點，求△OAB面積的最大值．

2025年高考備考高中數學個性化分層教輔中等生篇《圓錐曲線綜合》參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2023秋?泊頭市校級月考）已知A（3，2），B（﹣3，﹣2），若動點M滿足直線MA與直線MB的斜率之積為13，則動點MA．y2?x2C．y2?x【考點】軌跡方程．【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；數學運算．【答案】A【分析】根據斜率公式，建立方程，可得答案．【解答】解：設M（x，y），由題意可得y?2x?3整理可得y2即動點M的軌跡方程為y2故選：A．【點評】本題主要考查了求動點的軌跡方程，屬于基礎題．2．（2023秋?荔城區期末）已知拋物線y2＝2px（p＞0）的準線過雙曲線x28?A．2 B．4 C．6 D．8【考點】圓錐曲線的綜合．【專題】方程思想；轉化法；圓錐曲線的定義、性質與方程；數學運算．【答案】C【分析】由已知求出雙曲線的焦點坐標，然后利用拋物線的定義，求解p即可．【解答】解：雙曲線x2∵拋物線y2＝2px（p＞0）的準線過雙曲線x2∴p2=3，可得故選：C．【點評】本題考查雙曲線與拋物線的幾何性質，是基礎題．3．（2024春?南京月考）與雙曲線x25?A．x24+yC．x236+【考點】圓錐曲線的綜合．【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；數學運算．【答案】C【分析】求得雙曲線的焦點，可設橢圓方程為x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），可得a【解答】解：雙曲線x2可設橢圓方程為x2a2+y由題意可得c＝3，即a2﹣b2＝9，又e=ca=解得a＝6，b＝33，則所求橢圓方程為x2故選：C．【點評】本題考查橢圓和雙曲線的方程、性質，考查方程思想和運算能力，屬于基礎題．4．（2024?重慶模擬）長為2的線段AB的兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動，則點A關于點B的對稱點M的軌跡方程為（）A．x24+yC．x216+【考點】軌跡方程．【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；數學運算．【答案】D【分析】設點M（x，y）、A（x0，0）、B（0，y0），由已知條件可得出x02+y02=4，分析可知，B為AM【解答】解：設點M（x，y）、A（x0，0）、B（0，y0），則|AB|=x02因為點A關于點B的對稱點為M，則B為AM的中點，所以x+x02將x0=?xy0=即x2因此，點M的軌跡方程為x2故選：D．【點評】本題考查了求點的軌跡方程，考查了方程思想，屬于基礎題．5．（2024?臨汾模擬）已知F是橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦點，點P在橢圓C上，線段PFA．13 B．12 C．53【考點】圓與圓錐曲線的綜合．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；數學運算．【答案】C【分析】利用已知條件，畫出圖形，設出圓的圓心，利用橢圓的定義，轉化求解橢圓的離心率即可【解答】解：由題意，橢圓的圖形如圖：F是橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦點，點P在橢圓C上，線段PF與圓(x?c2所以F1P＝2b，FQ=(所以PF=2c所以：2c2?b2+2b＝2a，可得c2﹣b2＝a2可得2a＝3b，即4a2＝9（a2﹣c2），所以e=則橢圓C的離心率：53故選：C．【點評】本題考查橢圓的簡單性質的應用，離心率的求法，考查轉化思想以及計算能力，是中檔題．6．（2024春?岳麓區校級月考）平面直角坐標系中，等邊△ABC的邊長為23，M為BC中點，B，C分別在射線y=3x(y≥0)，y=?3x(y≥0)上運動，記A．C1為部分圓 B．C1為部分線段 C．C1為部分拋物線 D．C1為部分橢圓【考點】軌跡方程．【專題】數形結合；轉化法；圓錐曲線中的最值與范圍問題；數學運算．【答案】D【分析】由題意建立適當的平面直角坐標系設出點的坐標，由|BC|=23得（b﹣c）2+3（b+c）2＝12，進一步由結合xM=【解答】解：如圖，由題意不妨設B(b，3b)，C(c，?3而|BC|=(b?c)2+3(b+c)2=23，即（b﹣c）2又xM∴43yM∵yB，yC≥0，∴yM≥0，即C1為部分橢圓．故選：D．【點評】本題考查了軌跡方程、橢圓的方程，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．7．（2024?淄博一模）在平面直角坐標系xOy中，已知向量OA→與OB→關于x軸對稱，向量a→=(0，1)，若滿足OA→A．E是一條垂直于x軸的直線 B．E是一個半徑為1的圓 C．E是兩條平行直線 D．E是橢圓【考點】軌跡方程；平面向量數量積的性質及其運算．【專題】整體思想；綜合法；直線與圓；數學運算．【答案】B【分析】設點A（x，y），則OA→=（x，y），OB→=（x，﹣y），進而求出AB→=（0，﹣2【解答】解：設點A（x，y），則OA→=（x，∵向量OA→與OB→關于∴OB→=（x，﹣∴AB→=OB∵向量a→=(0，1)，且滿足∴x2+y2﹣2y＝0，即軌跡E的方程為x2+（y﹣1）2＝1，是一個半徑為1的圓．故選：B．【點評】本題主要考查了求動點的軌跡方程，屬于中檔題．8．（2024春?官渡區校級期末）已知圓O：x2+y2＝4，從這個圓上任意一點P向y軸作垂線段PP1（P1在y軸上），M在直線PP1上且P1M→=2A．4x2+16y2＝1 B．16x2+4y2＝1 C．x24+y2【考點】軌跡方程．【專題】計算題；圓錐曲線的定義、性質與方程．【答案】D【分析】轉化為極坐標，圓的方程為ρ＝2，確定M點坐標，即可求出動點M的軌跡方程．【解答】解：轉化為極坐標，圓的方程為ρ＝2P點坐標為（2cosα，2sinα）因為P1M→=2P1P→所以x＝4cosα，y＝2sinα所以動點M的軌跡方程是x2故選：D．【點評】本題考查軌跡方程，考查學生的計算能力，屬于中檔題．9．（2024?江西二模）已知拋物線E：y2＝2x，圓M：（x﹣1）2+y2＝1，N（x0，y0）為圓M外一點，過點N作圓M的兩條切線l1，l2，直線l1與拋物線E交于點A（x1，y1），B（x2，y2），直線l2與拋物線E交于點C（x3，y3），D（x4，y4），若x02+y02=1，則y1A．16 B．8 C．4 D．1【考點】圓與圓錐曲線的綜合；拋物線的焦點與準線．【專題】對應思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；邏輯推理；數學運算．【答案】C【分析】由題意，可得x0≠0，設出過點N且與圓M相切的切線方程以及直線l1，l2的斜率，推出k1，k2為方程x0(x0?2)k2?2y0【解答】解：因為N（x0，y0）為圓M外一點且l1，l2都與拋物線有兩個不同的交點，所以x0≠0，不妨設過點N且與圓M相切的切線方程為y﹣y0＝k（x﹣x0），即kx﹣y+y0﹣kx0＝0，可得|k+y即x0不妨設直線l1，l2的斜率分別為k1，k2，則k1，k2為方程x0所以k1+k聯立kx?y+y0?kx0=0y2=2x，消去x并整理得ky2因為A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），所以y1y2=2(y0則y1y2y3y4==4[故選：C．【點評】本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運算能力，屬于基礎題．10．（2024春?東坡區月考）設圓O：x2+y2＝4與y軸交于A，B兩點（A在B的上方），過B作圓O的切線l，若動點P到A的距離等于P到l的距離，則動點P的軌跡方程為（）A．x2＝8y B．x2＝16y C．y2＝8x D．y2＝16x【考點】軌跡方程．【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；數學運算．【答案】A【分析】由拋物線的定義可得：動點P的軌跡為以A（0，2）為焦點，直線y＝﹣2為準線的拋物線，然后求解即可．【解答】解：已知圓O：x2+y2＝4與y軸交于A，B兩點（A在B的上方），則A（0，2），B（0，﹣2），又過B作圓O的切線l，則直線l的方程為y＝﹣2，∵動點P到A的距離等于P到l的距離，∴由拋物線的定義可得：動點P的軌跡為以A（0，2）為焦點，直線y＝﹣2為準線的拋物線，則動點P的軌跡方程為x2＝8y．故選：A．【點評】本題考查了拋物線的性質，重點考查了拋物線的定義，屬基礎題．二．多選題（共5小題）（多選）11．（2023秋?萊蕪區校級月考）已知曲線C：mx2+ny2＝1，則（）A．若m＝n＞0，則曲線C是圓 B．若m＞0，n＞0，則曲線C是橢圓 C．若mn＜0，則曲線C是雙曲線 D．若m＝0，n＞0，則曲線C是一條直線【考點】曲線與方程．【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；數學運算．【答案】AC【分析】結合橢圓、圓、雙曲線、直線的知識對選項進行分析，從而確定正確選項．【解答】解：對A：當m＝n＞0，則x2+y對B：當m＝n＞0時，曲線C是圓，故B錯誤；對C：曲線C：mx2+ny2＝1化為x21m+y21對D：當m＝0，n＞0，則曲線C的方程為y2=1n，即故選：AC．【點評】本題考查曲線與方程的關系，考查方程思想和推理能力，屬于基礎題．（多選）12．（2024春?沅陵縣校級期末）在平面直角坐標系中，有兩個圓C1：（x+2）2+y2＝r12和C2：（x﹣2）2+y2＝r22，其中r1，r2為正常數，滿足r1+r2＜4或|r1﹣r2|＞4，一個動圓P與兩圓都相切，則動圓圓心的軌跡方程可以是（）A．兩個橢圓 B．兩個雙曲線 C．一個雙曲線和一條直線 D．一個橢圓和一個雙曲線【考點】軌跡方程．【專題】分類討論；數形結合法；直線與圓；邏輯推理．【答案】BCD【分析】兩圓圓心距C1C2＝4，當r1+r2＜4，即兩圓外離時，動圓P可能與兩圓均內切或均外切或一個內切一個外切，當|r1﹣r2|＞4，兩圓相交，動圓P可能與兩圓均內切或均外切或一個內切一個外切，分別討論，得出結論．【解答】解：根據題意圓C1的圓心C1（﹣2，0），半徑r1，圓C2的圓心C2（2，0），半徑r2，所以C1C2＝4，設圓P的半徑為r，（1）當r1+r2＜4，即兩圓外離時，動圓P可能與兩圓均內切或均外切或一個內切一個外切，①均內切時|PC1|＝r﹣r1，|PC2|＝r﹣r2，此時||PC1|﹣|PC2||＝|r1﹣r2|，當r1≠r2時，此時P點的軌跡是以C1，C2為焦點的雙曲線，當r1＝r2時，此時點P在C1，C2的垂直平分線上．②均外切時|PC1|＝r+r1，|PC2|＝r+r2，此時||PC1|﹣|PC2||＝|r1﹣r2|．此時P點的軌跡是與①相同．③與一個內切與一個外切時，不妨設與圓C1內切，與圓C2外切，|PC1|＝r﹣r1，|PC2|＝r+r2，|PC2|﹣|PC1|＝r1+r2與圓C2內切，與圓C1外切時，同理得，|PC1|﹣|PC2|＝r1+r2此時點P的軌跡是以C1，C2為焦點的雙曲線，與①中雙曲線不一樣．（2）當|r1﹣r2|＞4，兩圓相交，動圓P可能與兩圓均內切或均外切或一個內切一個外切，④均內切時軌跡和①相同．⑤均外切時軌跡和①相同⑥與一個內切另一個外切時，不妨設與圓C1內切，與圓C2外切，|PC1|＝r1﹣r，|PC2|＝r+r2，|PC1|+|PC2|＝r1+r2此時點P的軌跡是以C1，C2為焦點的橢圓．與圓C2內切，與圓C1外切時，同理得PC1|+|PC2|＝r1+r2，此時點P的軌跡是以C1，C2為焦點的橢圓．故選：BCD．【點評】本題考查動點的軌跡方程的求法以及圓與圓的位置關系，屬于中檔題．（多選）13．（2023秋?西湖區校級期末）若方程x23?t+A．若1＜t＜3，則C為橢圓 B．若C為橢圓，且焦點在y軸上，則2＜t＜3 C．曲線C可能是圓 D．若C為雙曲線，則t＜1【考點】曲線與方程；雙曲線的幾何特征．【專題】方程思想；定義法；圓錐曲線的定義、性質與方程；邏輯推理．【答案】AD【分析】利用橢圓的標準方程、圓的標準方程以及雙曲線的標準方程，依次進行判斷即可．【解答】解：對于A，當t＝2時，曲線表示圓，故選項A錯誤；對于B，當曲線C為焦點在y軸上的橢圓時，則t﹣1＞3﹣t＞0，解得2＜t＜3，故選項B正確；對于C，當t＝2時，曲線C表示圓的方程，故選項C正確；對于D，當曲線C為雙曲線時，則（3﹣t）（t﹣1）＜0，解得t＜1或t＞3，故選項D錯誤．故選：AD．【點評】本題考查了橢圓的標準方程、圓的標準方程以及雙曲線的標準方程的理解與應用，考查了邏輯推理能力，屬于基礎題．（多選）14．（2024春?大理州期末）已知O為坐標原點，曲線C：x2+y2＝1+|x|y圖象酷似一顆“紅心”（如圖）．對于曲線C，下列結論正確的是（）A．曲線C恰好經過6個整點（即橫、縱坐標均為整數的點） B．曲線C上存在一點P使得|OP|=2C．曲線C上存在一點P使得|OP|＝2 D．曲線C所圍成的“心形”區域的面積大于3【考點】曲線與方程．【專題】對應思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；邏輯推理；數學運算．【答案】ABD【分析】由題意，通過對曲線方程特點分析，分x＝0，x＞0，x＜0三種情況下，曲線圖象經過的點，即可判斷A，B項；對于C項，考慮方程變形后，利用基本不等式即可判斷|OP|≤2，排除C；對于D項，由A【解答】解：對于選項A：當x＝0時，代入方程x2+y2＝1+|x|y中，解得y＝±1，則曲線經過點（0，1），（0，﹣1），當x＞0時，方程為y2﹣xy+x2﹣1＝0，此時Δ＝x2﹣4（x2﹣1）＝4﹣3x2≥0，解得x∈(0，2因為x∈Z，所以x只能取1，當x＝1時，解得y＝0或y＝1，即曲線經過（1，0），（1，1）；由曲線方程的特征易得曲線關于y軸對稱，所以曲線還經過（﹣1，0），（﹣1，1），則曲線共經過6個整數點，即選項A正確；對于選項B：當x＝1時，方程為y（y﹣1）＝0，解得y＝0或y＝1，即曲線經過點P（1，1），此時|OP|=2，故選項B對于選項C：當x＞0時，可得x2當且僅當x＝y時，等號成立，解得x2+y2≤2，即曲線在y軸右側區域內的任意點P（x，y），都滿足|OP|≤2根據對稱性，曲線C上任意一點P（x，y）到原點距離都不超過2，故選項C錯誤；對于選項D：因為曲線經過點P（1，1），Q（﹣1，1），R（﹣1，0），S（0，﹣1），T（1，0），則曲線C所圍成的“心形”區域的面積S＞SPQRT+故選：ABD．【點評】本題考查曲線與方程，考查了邏輯推理、分類討論和運算能力，屬于中檔題．（多選）15．（2024春?南崗區校級月考）已知m、n∈R，則方程m2x2+ny2＝1表示的曲線可能是（）A．兩條直線 B．圓 C．焦點在x軸的橢圓 D．焦點在y軸的雙曲線【考點】曲線與方程；橢圓的幾何特征；雙曲線的幾何特征．【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；數學運算．【答案】ABC【分析】對m2是否為0，以及n的正負分情況討論，結合圓、橢圓和雙曲線的標準方程判斷即可．【解答】解：曲線C：m2x2+ny2＝1，對于A，若m2＝0，n＞0，方程化為y2=1n，即y=±n對于B，若m2＝n＞0，方程化為x2+y2=對于C，若n＞m2＞0，方程化為x21m2+y21n對于D，若m2＞0，n＜0，方程化為x21m2+y21n=1，得故選：ABC．【點評】本題主要考查了曲線與方程，考查了雙曲線、橢圓和圓的標準方程，屬于中檔題．三．填空題（共5小題）16．（2024?荔灣區校級模擬）如圖，棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1，點P沿正方形ABCD按ABCDA的方向做勻速運動，點Q沿正方形B1C1CB按B1C1CBB1的方向以同樣的速度做勻速運動，且點P，Q分別從點A與點B1同時出發，則PQ的中點的軌跡所圍成圖形的面積大小是34【考點】軌跡方程；棱柱的結構特征．【專題】計算題；整體思想；演繹法；空間位置關系與距離；邏輯推理；直觀想象；數學運算．【答案】3【分析】畫出符合要求的圖形，觀察得到軌跡是菱形，并進行充分性和必要性兩方面的證明，并求解出軌跡圖形的面積．【解答】解：如圖，E，F，G分別是正方形ABCD，ABB1A1，BCC1B1的中心，下面進行證明：菱形EFGC的周界即為動線段PQ的中點H的軌跡，首先證明：如果點H是動線段PQ的中點，那么點H必在菱形EFGC的周界上，分兩種情況證明：（1）P，Q分別在某一個定角的兩邊上，不失一般性，設P從B到C，而Q同時從C1到C，由于速度相同，所以PQ必平行于BC1，故PQ的中點H必在CG上；（2）P，Q分別在兩條異面直線上，不失一般性，設P從A到B，同時Q從B1到C1，由于速度相同，則AP＝B1Q，由于H為PQ的中點，連接B1H并延長，交底面ABCD于點T，連接PT，則平面PB1QT與平面ABCD交線是PT，∵B1C1∥平面ABCD，∴B1C1∥PT，∴△HB1Q?△HTP，而PT＝B1Q＝AP，PT∥BC，∴△APT是等腰直角三角形，∠TAP=π4，從而T在可以證明FH∥AC，GH∥AC，DG∥AC，基于平行線的唯一性，顯然H在DG上，綜合（1）（2）可證明，線段PQ的中點一定在菱形EFGC的周界上；下面證明：如果點H在菱形EFGC的周界上，則點H必定是符合條件的線段的中點．也分兩種情況進行證明：（1）H在CG或CE上，過點H作PQ∥BC1（或BD），而與BC及CC1（或CD及BC）分別相交于P和Q，由相似的性質可得：PH＝QH，即H是PQ的中點，同時可證：BP＝C1Q（或BQ＝DP），因此P、Q符合題設條件，（2）H在EF或FG上，不失一般性，設H在FG上，連接B1H并延長，交平面AC于點T，顯然T在AC上，過T作TP∥CB于點P，則TP∥C1B1，在平面PTC1B1上，連接PH并延長，交B1C1于點Q，在三角形ACB1中，G是B1C的中點，FG∥AC，則H是B1T的中點，于是△PTH?△QB1H，從而有B1Q＝PT，又因為TP∥CB，∠CAB=∠ATP=π4，所以AP＝從而B1Q＝AP，因此P，Q符合題設條件．由（1）（2），如果H是菱形EFGC周界上的任一點，則H必是符合題設條件的動線段PQ的中點，證畢．因為四邊形EFGC為菱形，其中CE=1所以邊長為22且AC＝CB1＝AB1，△AB1C為等邊三角形，∠GCE=所以面積S=2故答案為：34【點評】本題主要考查立體幾何中的軌跡問題，空間想象能力的培養等知識，屬于中等題．17．（2024?梅州模擬）在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，定義P（x1，y1）、Q（x2，y2）兩點之間的“直角距離”為d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．已知兩定點A（﹣1，0），B（1，0），則滿足d（M，A）+d（M，B）＝4的點M的軌跡所圍成的圖形面積為6．【考點】軌跡方程．【專題】計算題；數形結合；轉化思想；綜合法；直線與圓；數學運算．【答案】6．【分析】利用已知條件，求解軌跡方程，然后畫出圖形即可求解面積．【解答】解：設M（x，y），由題意d（M，A）+d（M，B）＝4，可知|x+1|+|x﹣1|+2|y|＝4，軌跡方程的圖形如圖，圖形的面積為：4+2×1故答案為：6．【點評】本題考查軌跡方程的求法，圖形的畫法，面積的求法，是中檔題．18．（2024?畢節市模擬）已知直線l1：x+ty﹣5＝0，直線l2：tx﹣y﹣3t+2＝0，l1與l2相交于點A，則點A的軌跡方程為（x﹣4）2+（y﹣1）2＝2．【考點】軌跡方程．【專題】方程思想；綜合法；直線與圓；數學運算．【答案】（x﹣4）2+（y﹣1）2＝2．【分析】推得l1⊥l2，分別求得兩直線恒過的兩個定點B和C，可得A的軌跡是以BC為直徑的圓，求得方程即可．【解答】解：由直線l1：x+ty﹣5＝0，直線l2：tx﹣y﹣3t+2＝0，可得t×1﹣1×t＝0，所以l1⊥l2，又直線l1：x+ty﹣5＝0恒過定點B（5，0），直線l2：tx﹣y﹣3t+2＝0恒過定點C（3，2），所以AB⊥AC，則A的軌跡是以BC為直徑的圓，其圓心為（4，1），半徑為(4?5)方程為（x﹣4）2+（y﹣1）2＝2．故答案為：（x﹣4）2+（y﹣1）2＝2．【點評】本題考查動點的軌跡方程和兩直線的位置關系，考查方程思想和運算能力，屬于基礎題．19．（2024春?豐臺區期中）已知曲線y=x2ex+1上任意一點P（與原點O①k的值不可能為0；②?k∈（﹣∞，0），總存在唯一的點P與之對應；③?k∈（0，+∞），總存在兩個點P與之對應；④k＜1恒成立．其中所有正確結論的序號為①②④．【考點】曲線與方程．【專題】轉化思想；綜合法；導數的綜合應用；圓錐曲線中的最值與范圍問題；數學運算．【答案】①②④．【分析】設P（x，y），（x，y）≠（0，0）．利用斜率計算公式即可判斷出①②③的正誤；令f（x）＝ex﹣x﹣1（x≠0），利用導數研究函數f（x）的單調性研究函數的單調性，結合斜率計算公式即可判斷出④的正誤．【解答】解：設P（x，y），（x，y）≠（0，0）．①k=yx≠②k=yx=xex+1＜0，解得x＜0，③k=yx=xex+1＞0，解得x＞0，④令f（x）＝ex﹣x﹣1（x≠0），f′（x）＝ex﹣1，可得x∈（﹣∞，0）時，f′（x）＜0；x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0．∴f（x）＞f（0）＝0，因此k=yx=故答案為：①②④．【點評】本題考查了曲線的性質、斜率計算公式、函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．20．（2024?廬陽區校級模擬）在平面直角坐標系中，已知動點A和C，定點B（3，0）和M（2，2），若|BC|＝6，且△ABC的周長恒為16，則|AB|+|AM|的最小值為5．【考點】軌跡方程；兩點間的距離公式．【專題】轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；數學運算．【答案】5．【分析】建立平面直角坐標系，由題意可得點A的軌跡方程，可得|AB|+|AM|≥|BM|，當且僅當M，A，B三點共線時（A在B，M之間或A，M重合），等號成立，進而求出|BM|的值，即求出|AB|+|AM|的正弦值．【解答】解：由題意知，點C在以B為圓心，6為半徑的圓上運動，點A在以B，C為焦點，長軸長為10的橢圓上運動（長軸兩端點除外），為方便計算，可將B，C視為定點，則點M在以B為圓心，5為半徑的圓上運動，以BC的中點O為坐標原點，直線BC為x軸建立如圖的直角坐標系，設點B（3，0）和C（﹣3，0），則點A的軌跡方程為x225+由圖可知|AB|+|AM|≥|BM|=5當M，A，B三點共線時（A在B，M之間或A，M重合），等號成立，所以|AB|+|AM|的最小值為5．故答案為：5．【點評】本題主要考查了動點軌跡方程，考查了橢圓與圓的性質，屬于中檔題．四．解答題（共5小題）21．（2024春?莒南縣期中）向量是研究幾何的一個重要工具，在證明某些幾何結論時會大大簡化證明過程．請用向量法解決解決以下問題：（1）證明△ABC的三條高線AD、BE、CF交于一點；（2）已知矩形MNPQ，G為平面內任意一點，求證：|GM|2+|GP|2＝|GN|2+|GQ|2；（3）如圖，已知圓O：x2+y2＝4，A，B是圓O上兩個動點，已知點P（1，0），求矩形PACB的頂點C的軌跡方程．【考點】軌跡方程．【專題】轉化思想；綜合法；平面向量及應用；數學運算．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）x2+y2＝7．【分析】（1）設AD，BE交于點H，AD⊥BC，BE⊥CA，利用向量證明CF⊥AB即可；（2）以M點為原點建立平面直角坐標系，記M（0，0），N（a，0），P（a，b），Q（0，b），設G（x，y），利用向量的模求解；（3）利用（2）的結論由|OP|2+|OC|2＝|OA|2+|OB|2求解．【解答】（1）證明：設AD，BE交于點H，因為AD⊥BC，BE⊥CA，則有AH→?CB又(CH→（CH→?CB①﹣②，可得CH→?(CB→?CA→)=0，即又因為CF⊥AB，則C，H，F三點共線，所以AD，BE，CF相交于一點．（2）解：以M點為原點建立平面直角坐標系：記M（0，0），N（a，0），P（a，b），Q（0，b），設G（x，y），則有：|GM|2+|GP|2＝x2+y2+（x﹣a）2+（y﹣b）2＝2x2+2y2﹣2ax﹣2by+a2+b2，|GN|2+|GQ2|＝（x﹣a）2+y2+x2+（y﹣b）2＝2x2+2y2﹣2ax﹣2by+a2+b2，故：|GM|2+|GP|2＝|GN|2+|GQ|2；（2）設C（x，y），由（1）可得：|OP|2+|OC|2＝|OA|2+|OB|2，得：1+x2+y2＝4+4，化簡得M軌跡方程為：x2+y2＝7．【點評】本題考查向量的應用，屬于中檔題．22．（2023秋?天心區校級期末）已知線段AB的端點B的坐標是（6，5），端點A在圓C1：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝4上運動．（1）求線段AB的中點P的軌跡C2的方程；（2）設圓C1與曲線C2交于M、N兩點，求線段MN的長．【考點】軌跡方程．【專題】計算題；方程思想；綜合法；直線與圓；數學運算．【答案】（1）（x﹣5）2+（y﹣4）2＝1；（2）142【分析】（1）設點P的坐標為（x，y），點A的坐標為（x0，y0），由于點B的坐標為（6，5），且點P是線段AB的中點，利用代入法可得軌跡方程．（2）兩圓相減得公共弦方程2x+2y﹣19＝0，利用弦長公式可得MN的長．【解答】解：（1）設點P的坐標為（x，y），點A的坐標為（x0，y0），由于點B的坐標為（6，5），且點P是線段AB的中點，所以x=x于是有x0＝2x﹣6，y0＝2y﹣5，①因為點A在圓C1所以點A的坐標滿足方程（x﹣4）2+（y﹣3）2＝4，即(x0把①代入②，得（2x﹣6﹣4）2+（2y﹣5﹣3）2＝4，整理，得（x﹣5）2+（y﹣4）2＝1，所以點P的軌跡C2的方程為（x﹣5）2+（y﹣4）2＝1；（2）圓C1：(x?4)得2x+2y﹣19＝0，由圓C2：(x?5)且（5，4）到直線2x+2y﹣19＝0的距離d=|10+8?19|則公共弦長|MN|=2r【點評】本題考查了動點的軌跡問題以及直線與圓的位置關系，屬于中檔題．23．（2023秋?鹽田區校級期末）已知圓C1：(x+3)2+y2=9，C2：(x?3)2+（1）求曲線C的方程；（2）斜率為4的直線l過點C2，且與曲線C交于A，B兩點，求△C1AB的面積．【考點】直線與圓錐曲線的綜合；軌跡方程．【專題】綜合題；對應思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；邏輯推理；數學運算．【答案】（1）x2（2）247【分析】（1）由題意，根據兩圓的位置關系結合雙曲線的定義分析求解；（2）設出直線AB的方程，將直線AB的方程與曲線C的方程聯立，結合韋達定理、弦長公式、點到直線的距離公式以及三角形面積公式再進行求解即可．【解答】解：（1）易知圓C1的圓心C1（﹣3，0），半徑r1＝3；圓C2的圓心C2（3，0），半徑r2＝3，因為動圓M與圓C1，C2均外切，所以|MC1|﹣3＝|MC2|﹣1，即|MC1|﹣|MC2|＝2＜|C1C2|，由雙曲線的定義知，點M是以C1，C2為焦點，2為實軸長的雙曲線的右支，所以a＝1，c＝3，則b2＝c2﹣a2＝8，故曲線C的方程為x2（2）由（1）知雙曲線的漸近線方程為y=±22所以斜率為4的直線與雙曲線的右支有兩個交點A，B，不妨設直線AB的方程為y＝4（x﹣3），A（x1，y1），B（x2，y2），聯立y=4(x?3)x2?y28=1，消去此時Δ＞0，由韋達定理得x1+x2＝12，x1x2＝19，所以|AB|==1+16而點C1（﹣3，0）到直線AB的距離d=|4×(?3)?0?12|故S△【點評】本題考查軌跡方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運算能力，屬于中檔題．24．（2023秋?豐澤區校級月考）在平面直角坐標系中，O是坐標原點，點A（1，1），動點P滿足|PA|=2（1）求動點P的軌跡C的方程；（2）直線l：y＝k（x+1）與軌跡C交于E，F兩點，若EF的長為15，求直線l的方程．【考點】直線與圓錐曲線的綜合；軌跡方程．【專題】綜合題；對應思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；邏輯推理；數學運算．【答案】（1）（x+1）2+（y+1）2＝4；（2）3x?y+3=0【分析】（1）設動點P的坐標為（x，y），根據題意列出方程，化簡，即得答案；（2）利用點到直線的距離公式，結合圓的幾何性質，求出弦長的表達式，結合題意列式計算，求得k的值，即可得答案．【解答】解：（1）設動點P的坐標為（x，y），因為點A（1，1），動點P滿足|PA|=2所以(x?1)整理得（x+1）2+（y+1）2＝4，則動點P的軌跡C的方程（x+1）2+（y+1）2＝4；（2）因為軌跡C為圓心為（﹣1，﹣1），半徑為2的圓，若直線l：y＝k（x+1）與軌跡C交于E，F兩點，此時點（﹣1，﹣1）到直線l的距離d=1則|EF|=24?解得k=±3此時d=1滿足直線l：y＝k（x+1）與軌跡C交于E，F兩點，則直線l的方程為y=3(x+1)或即3x?y+3=0【點評】本題考查軌跡方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運算能力，屬于中檔題．25．（2024春?浙江月考）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的離心率為12，右焦點為F，圓O：x2+y2＝（1）求C的標準方程；（2）若直線l：y＝kx﹣2與曲線C交于A，B兩點，求△OAB面積的最大值．【考點】直線與圓錐曲線的綜合；直線及坐標軸被圓截得的弦及弦長；根據橢圓的幾何特征求標準方程；直線與橢圓的綜合．【專題】綜合題；對應思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；邏輯推理；數學運算．【答案】（1）x2（2）3．【分析】（1）由已知分別求出a、b即可得到C的標準方程；（2）通過直曲聯立，求出|AB|弦長，再由點到直線距離公式求出原點到直線AB的距離，代入三角形面積公式，利用不等式求出△OAB面積的最大值．【解答】解：（1）設橢圓C的半焦距為c（c＞0），因為過F且垂直于x軸的直線被圓O所截得的弦長為23所以2a又a2解得a=2b=則C的標準方程為x2（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），聯立y=kx?2x24+y23=1，消去y并整理得（3+4此時Δ＝16（12k2﹣3）＞0，解得k2由韋達定理得x1所以|AB|=1+又原點到直線AB的距離d=2所以S△AOB令4k可得4k2＝1+t2，則S△AOB當且僅當t＝2，即k=±5故△OAB的面積取得最大值3．【點評】本題考查橢圓的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運算能力，屬于中檔題．

考點卡片1．平面向量數量積的性質及其運算【知識點的認識】1、平面向量數量積的重要性質：設a→，b→都是非零向量，e→是與b→方向相同的單位向量，a→（1）a→?e→=（2）a→⊥b（3）當a→，b→方向相同時，a→?b→=|a→||b→|；當a特別地：a→?a→=|a→|（4）cosθ=a（5）|a→?b→|≤|2、平面向量數量積的運算律（1）交換律：a→（2）數乘向量的結合律：（λa→）?b→=λ（a→?（3）分配律：（a→?b→）?平面向量數量積的運算平面向量數量積運算的一般定理為①（a→±b→）2=a→2±2a→?b→+b→2．②（a→?b→）（a→+b→）=【解題方法點撥】例：由代數式的乘法法則類比推導向量的數量積的運算法則：①“mn＝nm”類比得到“a→②“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（a→+b③“t≠0，mt＝nt?m＝n”類比得到“c→≠0，a④“|m?n|＝|m|?|n|”類比得到“|a→?b→|＝|⑤“（m?n）t＝m（n?t）”類比得到“（a→?b⑥“acbc=ab”類比得到a→解：∵向量的數量積滿足交換律，∴“mn＝nm”類比得到“a→即①正確；∵向量的數量積滿足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（a→+b即②正確；∵向量的數量積不滿足消元律，∴“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“c→≠0，a即③錯誤；∵|a→?b→|≠|∴“|m?n|＝|m|?|n|”不能類比得到“|a→?b→|＝|即④錯誤；∵向量的數量積不滿足結合律，∴“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到“（a→?b即⑤錯誤；∵向量的數量積不滿足消元律，∴acbc=a即⑥錯誤．故答案為：①②．向量的數量積滿足交換律，由“mn＝nm”類比得到“a→?b→=b→?a→”；向量的數量積滿足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（a→+b→）?c→=a→?c→+b→?c→”；向量的數量積不滿足消元律，故“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“c→≠0，a→?c→=b→?c→?a→【命題方向】本知識點應該所有考生都要掌握，這個知識點和三角函數聯系比較多，也是一個常考點，題目相對來說也不難，所以是拿分的考點，希望大家都掌握．2．棱柱的結構特征【知識點的認識】1．棱柱：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．棱柱用表示底面各頂點的字母來表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．2．認識棱柱底面：棱柱中兩個互相平行的面，叫做棱柱的底面．側面：棱柱中除兩個底面以外的其余各個面都叫做棱柱的側面．側棱：棱柱中兩個側面的公共邊叫做棱柱的側棱．頂點：棱柱的側面與底面的公共頂點．高：棱中兩個底面之間的距離．3．棱柱的結構特征棱柱1．兩個底面互相平行根據棱柱的結構特征，可知棱柱有以下性質：（1）側面都是平行四邊形（2）兩底面是全等多邊形（3）平行于底面的截面和底面全等；對角面是平行四邊形（4）長方體一條對角線長的平方等于一個頂點上三條棱的長的平方和．4．棱柱的分類（1）根據底面形狀的不同，可把底面為三角形、四邊形、五邊形…的棱柱稱為三棱柱、四棱柱、五棱柱…．（2）根據側棱是否垂直底面，可把棱柱分為直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面為正多邊形，則稱其為正棱柱．5．棱柱的體積公式設棱柱的底面積為S，高為h，V棱柱＝S×h．3．兩點間的距離公式【知識點的認識】﹣距離公式：兩點（x1，y1）和（x2，y2）之間的距離由公式：d=(這是平面直角坐標系中常用的距離計算公式．【解題方法點撥】﹣計算距離：1．代入公式：將兩點的坐標代入距離公式．2．簡化計算：計算平方差的和，開方得到距離．【命題方向】﹣距離計算：常考查計算兩點間的直線距離，尤其在幾何題目中經常出現．4．直線及坐標軸被圓截得的弦及弦長【知識點的認識】﹣弦長公式：給定直線方程和圓的方程，可以計算直線截得圓的弦長．【解題方法點撥】﹣計算弦長：1．求交點：計算直線和圓的交點．2．弦長公式：用交點坐標計算弦的長度．【命題方向】﹣弦長計算：考查如何利用直線和圓的交點計算弦的長度，涉及幾何和代數計算．5．根據橢圓的幾何特征求標準方程【知識點的認識】橢圓的幾何特征包括長軸2a、短軸2b、焦點(±c，0)．【解題方法點撥】1．提取幾何特征：從題目中得到長軸、短軸或焦距．2．代入標準方程：使用幾何特征計算a和b，代入標準方程：x2【命題方向】﹣由橢圓的幾何特征（如長軸、短軸）求標準方程．﹣根據焦點位置和長短軸所在位置推導標準方程．6．橢圓的幾何特征【知識點的認識】1．橢圓的范圍2．橢圓的對稱性3．橢圓的頂點頂點：橢圓與對稱軸的交點叫做橢圓的頂點．頂點坐標（如上圖）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）其中，線段A1A2，B1B2分別為橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長．4．橢圓的離心率①離心率：橢圓的焦距與長軸長的比ca叫做橢圓的離心率，用e表示，即：e=ca②離心率的意義：刻畫橢圓的扁平程度，如下面兩個橢圓的扁平程度不一樣：e越大越接近1，橢圓越扁平，相反，e越小越接近0，橢圓越圓．當且僅當a＝b時，c＝0，橢圓變為圓，方程為x2+y2＝a2．5．橢圓中的關系：a2＝b2+c2．7．直線與橢圓的綜合【知識點的認識】直線與橢圓的位置判斷：將直線方程與橢圓方程聯立，消去x（或y）的一元二次方程，則：直線與橢圓相交?Δ＞0；直線與橢圓相切?Δ＝0；直線與橢圓相離?Δ＜0；【解題方法點撥】（1）直線與橢圓位置關系的判斷方法①聯立方程，借助一元二次方程的判別式來判斷；②借助直線和橢圓的幾何性質來判斷．根據直線系方程抓住直線恒過定點的特征，將問題轉化為點和橢圓的位置關系，也是解決此類問題的難點所在．（2）弦長的求法設直線與橢圓的交點坐標為A（x1，y1），B（x2，y2），則|AB|=(1+k2注意：利用公式計算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解的情況下進行的，不要忽略判別式．（3）中點弦、弦中點常見問題①過定點被定點平分的弦所在直線的方程；②平行弦中點的軌跡；③過定點的弦的中點的軌跡．解決有關弦及弦中點問題常用方法是“韋達定理”和“點差法”，這兩種方法的前提都必須保證直線和橢圓有兩個不同的公共點．（4）橢圓切線問題①直線與橢圓相切，有且僅有一個公共點；②過橢圓外一點可以作兩條直線與橢圓相切；③過橢圓上一點只能作一條切線．（5）最值與范圍問題的解決思路①構造關于所求量的函數，通過求函數的值域來獲得問題的解；②構造關于所求量的不等式，通過解不等式來獲得問題的解．在解題過程中，一定要深刻挖掘題目中的隱含條件，如判別式大于零等可利用條件．【命題方向】1．由已知條件求橢圓的方程或離心率；2．由已知條件求直線的方程；3．中點弦或弦的中點問題；4．弦長問題；5．與向量結合求參變量的取值．8．拋物線的焦點與準線【知識點的認識】拋物線的簡單性質：9．雙曲線的幾何特征【知識點的認識】雙曲線的標準方程及幾何性質標準方程x2a2?yy2a2?x圖形性質焦點F1（﹣c，0），F2（c，0）F1（0，﹣c），F2（0，c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范圍|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R對稱關于x軸，y軸和原點對稱頂點（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）軸實軸長2a，虛軸長2b離心率e=ca（準線x＝±ay＝±a漸近線xa±yxb±y10．曲線與方程【知識點的認識】在直角坐標系中，如果某曲線C（看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡）上的點與一個二元方程f（x，y）＝0的實數解建立了如下的關系：①曲線上點的坐標都是這個方程的解；②以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點．那么，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線．求解曲線方程關鍵是要找到各變量的等量關系．【解題方法點撥】例：：定義點M到曲線C上每一點的距離的最小值稱為點M到曲線C的距離．那么平面內到定圓A的距離與它到定點B的距離相等的點的軌跡不可能是（）A：直線B：圓C：橢圓D：雙曲線一支．解：對定點B分類討論：①若點B在圓A內（不與圓心A重合），如圖所示：設點P是圓A上的任意一點，連接PB，作線段PB的垂直平分線l交AP于點M，連接BM，則|AM|+|BM|＝|AP|＝R＞|AB|．由橢圓的定義可知：點M的軌跡是以點A、B為焦點的橢圓．②若點B在圓A外，如圖2所示：設點P是圓A上的任意一點，連接PB，作線段PB的垂直平分線l交AP于點M，連接BM，則|BM|﹣|AM|＝|AP|＝R＜|AB|．由雙曲線的定義可知：點M的軌跡是以點A、B為焦點的雙曲線的一支．③若定點B與圓心A重合，如圖3所示：設點P是圓A上的任意一點，取線段AP的中點M，則點M滿足條件，因此點M的軌跡是以點A為圓心，以12④若點B在圓A上，則滿足條件的點是一個點B．綜上可知：可以看到滿足條件的點M的軌跡可以是：橢圓、雙曲線的一支，圓，一個點，而不可能是一條直線．故選A．這是一個非常好的題，一個題把幾個很重要的曲線都包含了，我認為這個題值得每一個學生去好好研究一下．這個題的關鍵是找等量關系，而這個等量關