2023年北京市重點校初三（上）期末數學試題匯編：二次函數的圖象和性質

第1頁/共1頁2023北京重點校初三（上）期末數學匯編二次函數的圖象和性質一、單選題1．（2023秋·北京海淀·九年級期末）已知函數的圖象上有，，三點，則、、的大小關系（

）A． B． C． D．2．（2023秋·北京海淀·九年級期末）若點，在拋物線上，則的值為（

）A．2 B．1 C．0 D．3．（2023秋·北京海淀·九年級期末）二次函數的圖象向左平移1個單位長度，得到的二次函數解析式為（

）A． B．C． D．4．（2023秋·北京海淀·九年級期末）下列拋物線的對稱軸是直線的是（

）．A． B． C． D．5．（2023秋·北京海淀·九年級期末）將拋物線平移，得到拋物線，下列敘述中，正確的是（

）A．先向左平移1個單位，再向上平移2個單位B．先向左平移1個單位，再向下平移2個單位C．先向右平移1個單位，再向上平移2個單位D．先向右平移1個單位，再向下平移2個單位6．（2023秋·北京海淀·九年級期末）拋物線的頂點坐標是（

）A． B． C． D．7．（2023秋·北京海淀·九年級期末）將拋物線平移，得到拋物線，下列平移方法正確的是（

）A．先向右平移4個單位，再向下平移1個單位B．先向右平移4個單位，再向上平移1個單位C．先向左平移4個單位，再向上平移1個單位D．先向左平移4個單位，再向下平移1個單位8．（2023秋·北京海淀·九年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，有五個點，．將二次函數的圖象記為G，下列結論中正確的有（）①點A一定在G上；②點可以同時在G上；③點可以同時在G上；④點不可能同時在G上．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個9．（2023秋·北京海淀·九年級期末）二次函數的最小值是（）A．3 B．1 C．3 D．110．（2023秋·北京海淀·九年級期末）已知二次函數y＝a（x﹣1）2﹣4，當﹣1≤x≤4時，y的最大值是5，則a的值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．211．（2023秋·北京海淀·九年級期末）將拋物線向左平移1個單位長度，再向上平移3個單位長度，所得到的拋物線為（

）A． B．C． D．二、解答題12．（2023秋·北京海淀·九年級期末）已知二次函數的圖象經過點，．(1)求這個二次函數的表達式；(2)求這個圖象的頂點坐標．13．（2023秋·北京海淀·九年級期末）求經過三點的拋物線解析式．14．（2023秋·北京海淀·九年級期末）根據下列條件，選取你認為合適的方法求出二次函數的解析式．(1)拋物線經過點三點．(2)已知二次函數的圖象過兩點，并且以為對稱軸．(3)已知二次函數的圖象經過一次函數x圖象與x軸、y軸的交點，且過．15．（2023秋·北京海淀·九年級期末）已知拋物線的頂點坐標為，并且經過點．(1)求拋物線的解析式．(2)若、是拋物線上的兩點，且，直接寫出與的大小關系．16．（2023秋·北京海淀·九年級期末）已知二次函數經過，兩點，它的對稱軸為直線，求這個二次函數解析式．17．（2023秋·北京海淀·九年級期末）已知拋物線過點和，求該拋物線的解析式．18．（2023·北京海淀·九年級期末）在平面直角坐標系中，拋物線過點．(1)求（用含的式子表示）；(2)拋物線過點，，．①判斷：______0（填“＞”“＜”或“＝”）；②若，，恰有兩個點在軸上方，求的取值范圍．19．（2023·北京海淀·九年級期末）拋物線過點和．(1)求b，c的值；(2)直接寫出當x取何值時，函數y隨x的增大而增大．20．（2023·北京海淀·九年級期末）在平面直角坐標系中，點，，，在拋物線上．(1)若，則；(2)若，①寫出的取值范圍；②寫出b的取值范圍．三、填空題21．（2023秋·北京海淀·九年級期末）已知二次函數的部分圖像如圖所示，則_____0（填“”或“”或“”）．22．（2023秋·北京海淀·九年級期末）二次函數的圖象如圖所示，則______0（填“”，“”或“”）．23．（2023秋·北京海淀·九年級期末）已知二次函數的圖象過點，當x＞0時，，當時，，則a的值是______．24．（2023秋·北京海淀·九年級期末）如圖，若拋物線經過原點，則拋物線的解析式為______．25．（2023秋·北京海淀·九年級期末）如圖是二次函數的圖象，其對稱軸為直線，且過點．有以下四個結論：①，②，③，④若頂點坐標為，當時，y有最大值為2、最小值為，此時m的取值范圍是．其中正確結論是______．（填序號）．26．（2023秋·北京海淀·九年級期末）如圖，已知拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，點的坐標為；若P是拋物線對稱軸上的一個動點，當的值最小時，則點的坐標是___________．27．（2023秋·北京海淀·九年級期末）二次函數中，x與y的部分對應值如下表：x…023…y…8003…則下列說法：①圖象經過原點；②圖象開口向下；③圖象的對稱軸為直線；④當時，y隨x的增大而增大；⑤圖象經過點．其中正確的是____________．28．（2023秋·北京海淀·九年級期末）已知二次函數中a＜0，b＞0，c＜0，則此函數的圖象不經過第__象限．29．（2023秋·北京海淀·九年級期末）已知拋物線經過點．若點在該拋物線上，且，則n的取值范圍為______．30．（2023秋·北京海淀·九年級期末）函數的圖象如圖所示，則_____0．（填“>”，“=”，或“<”）

參考答案1．B【分析】先找到對稱軸和開口方向，根據點到對稱軸的距離比較函數值的大小即可．【詳解】解：函數的對稱軸為直線，開口向上，距離對稱軸越近，函數值越小，點到對稱軸的距離為，點B到對稱軸的距離為，點C到對稱軸的距離為，∵，∴，故選：B．【點睛】本題考查二次函數的性質，當開口向上時，距離對稱軸越近，函數值越小；當開口向下時，距離對稱軸越近，函數值越大，解題的關鍵是熟練掌握二次函數的圖象與性質．2．B【分析】由函數的解析式可知函數對稱軸為，從而得出的值．【詳解】由函數可知對稱軸是直線，由，可知，M，N兩點關于對稱軸對稱，即，故選B．【點睛】本題考查二次函數圖象上點的坐標特征，注意掌握二次函數圖像上點的對稱性是解題的關鍵．3．D【分析】根據函數平移規律：左加右減，上加下減即可得到答案．【詳解】解：由題意可得，的圖象向左平移1個單位長度可得，，故選D．【點睛】本題考查函數圖像平移規律，解題關鍵是熟練掌握規律：左加右減，上加下減．4．C【分析】根據二次函數的性質，對稱軸是直線，即可判斷．【詳解】A、的對稱軸是直線，選項錯誤；B、的對稱軸是直線，選項錯誤；C、的對稱軸是直線，選項正確；D、，對稱軸是直線，選項錯誤．故選：C．【點睛】本題考查了二次函數的性質，二次函數的對稱軸是直線．理解性質是關鍵．5．D【分析】根據函數圖像平移的法則：左加右減，上加下減判斷即可；【詳解】解：向右平移1個單位，向下平移2個單位得到；故選D．【點睛】本題主要考查了函數圖像的平移，準確分析判斷是解題的關鍵．6．D【分析】根據的頂點坐標是可得答案．【詳解】解：拋物線的頂點坐標為，故選：D．【點睛】此題主要考查了二次函數的性質，關鍵是熟記：頂點式頂點坐標是，對稱軸是直線．7．D【分析】根據函數圖像的平移規律：左加右減，上加下減，進行平移判斷即可．【詳解】解：使函數平移后為：，將函數先向左平移4個單位，再向下平移1個單位后為：即為：，故D正確．故選：D．【點睛】本題主要考查二次函數的平移規律，掌握左加右減，上加下減是解題關鍵．8．C【分析】由二次函數可知，對稱軸為直線，，即可判斷①；把代入，得函數解析式，再將代入解析式，即可判斷②；把代入，可得出，即可判斷③；把代入，可得出，再將代入解析式，即可判斷④．【詳解】解：由二次函數可知，對稱軸為直線，頂點為，①∵點，∴點A在對稱軸上，∵，∴點A一定不在上；故①錯誤；②∵把代入，，解得：，∴，當時，，∴在的圖像上，∴點可以同時在上；故②正確；③把代入，，解得：，∴，∴點可以同時在G上,故③正確；④把代入，，解得：，∴，當時，，∴不在的圖像上，∴點不可能同時在G上，故④正確；故正確結論的序號是：②③④，有3個．故選：C．【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征以及求解二次函數的解析式，求出圖象上點的坐標的解析式是解題的關鍵．9．C【分析】利用二次函數的性質判斷即可．【詳解】∵∴二次函數開口向上，頂點為(1,?3)，當x=1時有最小值-3故選：C．【點睛】本題考查了二次函數的性質，熟練掌握二次函數的性質是解題關鍵．10．C【分析】根據題意，可知二次函數的頂點坐標為，分類討論即可，時，開口朝下，最大值為，不符合題意，則，進而根據當﹣1≤x≤4時，y的最大值是5，將代入解析式即可求得的值．【詳解】依題意，可知二次函數的頂點坐標為，當時，開口朝下，最大值為，不符合題意，當時，對稱軸為，當﹣1≤x≤4時，y的最大值是5，當時，隨的增大而減小,由二次函數的對稱性可知當時，的值和時的值相等，當時，隨的增大而增大,時，，解得,故選C．【點睛】本題考查了二次函數的性質，掌握頂點式的圖象與性質是解題的關鍵．11．A【分析】根據拋物線的平移規律：“上加下減，左加右減”解答即可．【詳解】∵將拋物線向左平移1個單位長度，再向上平移3個單位長度，∴平移后的拋物線的解析式為，故選：A．【點睛】本題考查了拋物線的平移，屬于基礎題型，熟練掌握拋物線“上加下減，左加右減”的平移規律是解題的關鍵．12．(1)(2)【分析】（1）直接把點和點坐標代入得到關于、的方程組，然后解方程組求出、即可；（2）利用配方法把配成，則根據二次函數的性質得到該拋物線的頂點坐標．【詳解】（1）解：根據題意得，解得，所以該二次函數的解析式為；（2）解：，拋物線的頂點坐標為．【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式：在利用待定系數法求二次函數關系式時，要根據題目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解．13．【分析】根據點A與B的坐標特點設出拋物線解析式為，再把C點坐標代入求出a的值，即可確定出解析式．【詳解】解：根據題意設拋物線解析式為，把代入得：，即，則拋物線解析式為：，故所求解析式為：．【點睛】此題考查了待定系數法求二次函數解析式，在利用待定系數法求二次函數關系式時，要根據題目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解．14．(1)x(2)(3)【分析】（1）根據題意設拋物線的表達式為：，代入求得a即可；（2）利用對稱軸方程和把兩已知點的坐標代入中可得到關于a、b、c的方程組，然后解方程組求出a、b、c即可得到拋物線解析式；（3）先求出直線與坐標軸的交點坐標，然后利用一般式求拋物線解析式．【詳解】（1）解：設，把代入得：，解得：，則拋物線的解析式為x；（2）解：根據題意可知：，解得，則二次函數的解析式為；（3）當時，，則直線與y軸的交點坐標為，當時，，解得，則直線與x軸的交點坐標為，設拋物線解析式為，把代入得，解得，所以拋物線解析式為．【點睛】本題考查待定系數法求二次函數的解析式，要根據題目給定條件，選擇恰當方法設出關系式，再用待定系數法求解．15．(1)(2)【分析】（1）利用待定系數法求解即可；（2）根據二次函數的性質求解即可．【詳解】（1）根據題意，得，解得，∴所求的拋物線的解析式為；（2）∵，，∴對稱軸為直線，開口向上，∴當時，y隨x的增大而減小，∵∴．【點睛】本題考查了待定系數法解析式，二次函數的性質等知識點，熟練掌握二次函數性質是解題關鍵．16．【分析】根據待定系數法求解函數解析式即可．【詳解】解：由題意得：，解得：，∴該二次函數的解析式為．【點睛】本題主要考查求二次函數解析式，熟練掌握利用待定系數法求解函數解析式是解題的關鍵．17．【分析】把和代入，解方程組求出b、c的值即可得答案.【詳解】解：∵拋物線過點和，∴解方程組，得∴拋物線的解析式是．【點睛】本題考查待定系數法求二次函數解析式，把拋物線上的點的坐標代入解析式確定字母的值是解題關鍵.18．(1)(2)①＜②的取值范圍是或【分析】（1）把代入，計算即可；（2）①把代入，得，把代入，得，當時，，，得；當時，，，得；即可得出結論；②把，，代入，得，，．當時，拋物線開口向上，對稱軸為，則拋物線在時，取得最小值．所以，在軸上方，在軸上或軸下方，則，解得．當時，拋物線開口向下，對稱軸為，所以拋物線在時，取得最大值，且．所以，在軸上方，在軸上或軸下方．則，解得．【詳解】（1）解：把代入，得，∴；（2）解：①把代入，得，由（1）知：，∴，把代入，得，，當時，，，∴，當時，，，∴，綻上，；②由（1）知，∴∴拋物線對稱軸為．∵拋物線過點，，，∴，，．當時，拋物線開口向上，對稱軸為，∴拋物線在時，取得最小值．∵，，恰有兩點在軸上方，∴，在軸上方，在軸上或軸下方．∴，解得．當時，拋物線開口向下，對稱軸為，∴拋物線在時，取得最大值，且．∵，，恰有兩點在軸上方，∴，在軸上方，在軸上或軸下方．∴，解得．綜上，的取值范圍是或．【點睛】本題考查二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數的性質，熟練掌握二次函數的圖象性質是解題的關鍵．19．(1)，(2)（或）【分析】（1）將已知點代入拋物線表達式即可求得b，c的值（2）根據拋物線的開口方向和對稱軸即可求得x的取值范圍【詳解】（1）解：∵拋物線過點和，∴，解得：，（2）由（1）知拋物線的表達式為，∵，，∴拋物線開口向下，對稱軸為，∴當（或）時，函數y隨x的增大而增大【點睛】本題考查了二次函數的性質，熟練掌握二次函數的性質是解決問題的關鍵20．(1)0(2)①；②【分析】（1）將和分別代入函數解析式，根據，可解出b的值，再將代入函數解析式，可解出c的值；（2）①若，確定出b的取值范圍，把點帶入中求出，進而可求出值的取值范圍；②由①中過程即可得出結果．【詳解】（1）解：將和分別代入解析式，得，，，，解得，把點代入中，得，解得，函數解析式為當，；（2）解：①中，，函數圖象開口向上，將代入解析式，得，又，∴，，解得，把點帶入中，得，，將代入解析式，得，，，，，即；由①得：；故答案為：①；②．【點睛】本題主要考查了待定系數法求二次函數解析式和二次函數圖像的性質，牢固掌握以上知識點并學會數形結合是做出本題的關鍵．21．【分析】由已知的圖像可知二次函數圖像的對稱軸，然后根據拋物線的對稱性，觀察圖像可知當時，，即可獲解．【詳解】解：∵拋物線對稱軸為直線，拋物線與x軸的一個交點在之間，∴另一個交點在0、1之間，∴當時，，則，故答案為：．【點睛】此題考查了二次函數的圖像與性質，熟練掌握二次函數的圖像的對稱性是解答此題的關鍵．22．【分析】根據拋物線的開口方向，判斷的符號，根據對稱軸的位置，判斷的符號，進而得到的符號．【詳解】解：由圖象，可知：拋物線的開口向上：，對稱軸在的右側：，即：，∴；故答案為：．【點睛】本題考查二次函數的圖象與二次函數的系數之間的關系．熟練掌握二次函數的圖象和性質，是解題的關鍵．23．/0.25【分析】直接根據二次函數的圖象和性質求解即可．【詳解】解：∵當x＞0時，，當時，，∴二次函數圖象開口向上，∵當x＞0時，可知拋物線對稱軸在y右側，為直線，如圖，∵點在拋物線的圖象上，∴，當時，y有最小值為，，∵，∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數的圖象和性質，根據已知條件確定拋物線開口向上是解答本題的關鍵．24．【分析】把原點的坐標代入，求得，即可求得拋物線的解析式．【詳解】解：把代入得，，∴，∵拋物線開口向下，∴，∴拋物線的解析式為．故答案為：．【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式，二次函數圖象上點的坐標特征，熟知待定系數法是解題的關鍵．25．①②③④【分析】①根據二次函數的對稱軸，，即可判斷出；②結合圖象發現，當時，函數值大于1，代入即可判斷；③結合圖象發現，當時，函數值小于0，代入即可判斷；④運用待定系數法求出二次函數解析式，再利用二次函數的對稱性即可判斷．【詳解】解：∵二次函數的圖象，其對稱軸為直線，且過點，∴，，∴，∴，故①正確；從圖中可以看出，當時，函數值大于1，因此將代入得，，即，故②正確；∵，∴，從圖中可以看出，當時，函數值小于0，∴，∴，故③正確；∵二次函數的頂點坐標為，∴設二次函數的解析式為，將代入得，，解得，∴二次函數的解析式為，∴當時，；∴根據二次函數的對稱性，得到，故④正確；綜上所述，①②③④均正確，故答案為：①②③④．【點睛】本題考查了二次函數的圖象和性質，待定系數法求二次函數解析式等，熟練掌握二次函數的圖象和性質是本題的關鍵．26．【分析】根據拋物線的對稱性可知：，所以當點在線段上時，的值最小，以此為依據求解即可；【詳解】解：將代入得：解得：該拋物線的解析式為：其對稱軸為：點的橫坐標為：∵當時，；∴由拋物線的對稱性可知：∴當點在線段上時有最小值；將代入得：故此時點的坐標是故答案為：【點睛】本題考查了用待定系數法求二次函數的解析式、軸對稱的性質、一次函數；其中熟練運用軸對稱的性質轉化線段是解題的關鍵．27．①③⑤【分析】結合圖表可以得出當x=0或2時，y=0，x=3時，y=3，根據此三點可求出二次函數解析式，從而根據拋物線的圖象性質可逐個判定即可．【詳解】解：∵由圖表可以得出當x=0或2時，y=0，x=3時，y=3，∴，解得：，∴y=-2x，∵c=0，∴圖象經過原點，故①正確；∵a=1＞0，∴拋物線開口向上，故②錯誤；∵y=-2x=，∴拋