2025屆遼寧省沈陽市實(shí)驗(yàn)中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

2025屆遼寧省沈陽市實(shí)驗(yàn)中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末監(jiān)測(cè)模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖1和如圖2所示，為了了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為（）A．， B．， C．， D．，2．正三角形的邊長(zhǎng)為，如圖，為其水平放置的直觀圖，則的周長(zhǎng)為（）A． B． C． D．3．設(shè)為銳角三角形，則直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積的最小值是（）A．10 B．8 C．4 D．24．設(shè)變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為()A．3 B．4 C．18 D．405．已知，函數(shù)的最小值是（）A．4 B．5 C．8 D．66．等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（）A． B． C． D．7．設(shè)函數(shù)，則滿足的x的取值范圍是（）A． B． C． D．8．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A．向右平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位 D．向左平移個(gè)單位9．已知圓，直線．設(shè)圓O上到直線l的距離等于2的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為k，則（）A．1 B．2 C．3 D．410．如圖是函數(shù)一個(gè)周期的圖象，則的值等于A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知直線l過定點(diǎn),且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為4，則直線l的方程為______.12．抽樣調(diào)查某地區(qū)名教師的年齡和學(xué)歷狀況，情況如下餅圖：則估計(jì)該地區(qū)歲以下具有研究生學(xué)歷的教師百分比為_______．13．若實(shí)數(shù)滿足，，則__________．14．若一個(gè)圓柱的側(cè)面展開圖是邊長(zhǎng)為2的正方形，則此圓柱的體積為.15．已知，則的最小值是__________．16．函數(shù)在的值域是______________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）設(shè)，直接用任意角的三角比定義證明：.（2）給出兩個(gè)公式：①；②.請(qǐng)僅以上述兩個(gè)公式為已知條件證明：.18．為了解某城市居民的月平均用電量情況，隨機(jī)抽查了該城市100戶居民的月平均用電量（單位：度），得到頻率分布直方圖（如圖所示）.數(shù)據(jù)的分組依次為、、、、、、.（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）求該城市所有居民月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)的估計(jì)值；（3）在月平均用電量為的四組用戶中，采用分層抽樣的方法抽取戶居民，則應(yīng)從月用電量在居民中抽取多少戶？19．在中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，且.（1）求角；（2）若，求.20．已知數(shù)列滿足,,設(shè).(1)求,,;(2)證明:數(shù)列是等比數(shù)列,并求數(shù)列和的通項(xiàng)公式.21．已知，，，求.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

試題分析：由題意知，樣本容量為，其中高中生人數(shù)為，高中生的近視人數(shù)為，故選B.【考點(diǎn)定位】本題考查分層抽樣與統(tǒng)計(jì)圖，屬于中等題.2、C【解析】

根據(jù)斜二測(cè)畫法以及正余弦定理求解各邊長(zhǎng)再求周長(zhǎng)即可.【詳解】由斜二測(cè)畫法可知,,,.所以.故..故.所以的周長(zhǎng)為.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了斜二測(cè)畫法的性質(zhì)以及余弦定理在求解三角形中線段長(zhǎng)度的運(yùn)用.屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

令，得直線在x、y軸上的截距，求得三角形面積并利用二倍角公式化簡(jiǎn)，根據(jù)三角函數(shù)圖象和性質(zhì)求得面積最小值即可.【詳解】令得直線在y軸上的截距為，令得直線在x軸上的截距為，其圍成的三角形面積：，求S的最小值轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值，因?yàn)闉殇J角，所以，當(dāng)時(shí)取最小值?1，則，故圍成三角形面積最小值為8.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查直線方程與三角函數(shù)二倍角公式的應(yīng)用，綜合題性較強(qiáng)，屬于中等題.4、C【解析】不等式所表示的平面區(qū)域如下圖所示，當(dāng)所表示直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，有最大值考點(diǎn)：線性規(guī)劃.5、A【解析】試題分析：由題意可得，滿足運(yùn)用基本不等式的條件——一正，二定，三相等，所以，故選A考點(diǎn)：利用基本不等式求最值；6、D【解析】

本題首先可根據(jù)數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列以及計(jì)算出的值，然后根據(jù)對(duì)數(shù)的相關(guān)運(yùn)算以及等比中項(xiàng)的相關(guān)性質(zhì)即可得出結(jié)果．【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，所以，，所以，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的相關(guān)運(yùn)算以及等比中項(xiàng)的相關(guān)性質(zhì)，考查的公式為以及在等比數(shù)列中有，考查計(jì)算能力，是簡(jiǎn)單題．7、B【解析】

分別解和時(shí)條件對(duì)應(yīng)的不等式即可.【詳解】①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不合題意；②當(dāng)時(shí)，，可化為即，解得.綜上，的x的取值范圍是.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)不等式的解法，考查了分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

直接根據(jù)三角函數(shù)的圖象平移規(guī)則得出正確的結(jié)論即可；【詳解】解：函數(shù)，要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象平移的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題．9、B【解析】

找出圓O的圓心坐標(biāo)與半徑r，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心O到直線l的距離d，根據(jù)d與r的大小關(guān)系及r-d的值，即可作出判斷．【詳解】由圓的方程得到圓心O(0,0),半徑，∵圓心O到直線l的距離,且r?d=?1<2，∴圓O上到直線l的距離等于2的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2，即k=2.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，利用圓心到直線的距離公式求出圓心O到直線l的距離d，根據(jù)d與r的大小關(guān)系可判斷直線與圓的位置，考查計(jì)算和幾何應(yīng)用能力，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

利用圖象得到振幅，周期，所以，再由圖象關(guān)于成中心對(duì)稱，把原式等價(jià)于求的值.【詳解】由圖象得：振幅，周期，所以，所以，因?yàn)閳D象關(guān)于成中心對(duì)稱，所以，，所以原式，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的周期性、對(duì)稱性等性質(zhì)，如果算出每個(gè)值再相加，會(huì)浪費(fèi)較多時(shí)間，且容易出錯(cuò)，采用對(duì)稱性求解，能使問題的求解過程變得更簡(jiǎn)潔.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、或.【解析】

設(shè)直線的方程為，利用已知列出方程，①和②，解方程即可求出直線方程【詳解】設(shè)直線的方程為.因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以①.因?yàn)橹本€與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為4,所以②.由①②可知或解得或故直線的方程為或，即或.【點(diǎn)睛】本題考查截距式方程和直線與坐標(biāo)軸形成的三角形面積問題，屬于基礎(chǔ)題12、【解析】

根據(jù)餅狀圖中的歲以下本科學(xué)歷人數(shù)和占比可求得歲以下教師總?cè)藬?shù)，從而可得其中的具有研究生學(xué)歷的教師人數(shù)，進(jìn)而得到所求的百分比.【詳解】由歲以下本科學(xué)歷人數(shù)和占比可知，歲以下教師總?cè)藬?shù)為：人歲以下有研究生學(xué)歷的教師人數(shù)為：人歲以下有研究生學(xué)歷的教師的百分比為：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查利用餅狀圖計(jì)算總體中的數(shù)據(jù)分布和頻率分布的問題，屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】

由反正弦函數(shù)的定義求解．【詳解】∵，∴，，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查反正弦函數(shù)，解題時(shí)注意反正弦函數(shù)的取值范圍是，結(jié)合誘導(dǎo)公式求解．14、2【解析】試題分析：設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，底面積為S，體積為V，則有2πr=2?r=1π，故底面面積S=πr考點(diǎn)：圓柱的體積15、【解析】分析：利用題設(shè)中的等式，把的表達(dá)式轉(zhuǎn)化成，展開后，利用基本不等式求得y的最小值.詳解：因?yàn)?，所以，所以（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），則的最小值是，總上所述，答案為.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)兩個(gè)正數(shù)的整式形式和為定值的情況下求其分式形式和的最值的問題，在求解的過程中，注意相乘，之后應(yīng)用基本不等式求最值即可，在做乘積運(yùn)算的時(shí)候要注意乘1是不變的，如果不是1，要做除法運(yùn)算.16、【解析】

利用，即可得出．【詳解】解：由已知，，又

，

故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了反三角函數(shù)的求值、單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】

（1）直接利用任意角的三角函數(shù)的定義證得．（2）由已知條件利用誘導(dǎo)公式，證明．【詳解】解：（1）將角的頂點(diǎn)置于平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，始邊與軸的正半軸重合，設(shè)角終邊一點(diǎn)（非原點(diǎn)），其坐標(biāo)為.∵，∴，.（2）由于，將換成后，就有即，.【點(diǎn)睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題．18、（1）；（2）眾數(shù)為度，中位數(shù)為度；（3）戶.【解析】

（1）利用頻率分布直方圖中所有矩形面積之和為可求得的值；（2）利用頻率分布直方圖中最高矩形底邊的中點(diǎn)值為眾數(shù)，可得出該城市所有居民月平均用電量的眾數(shù)，利用中位數(shù)左邊的矩形面積之和為可求得該城市所有居民月平均用電量的中位數(shù)；（3）計(jì)算出月用電量在的用戶在月平均用電量為的用戶中所占的比例，乘以可得出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，所以；?）月平均用電量眾數(shù)的估計(jì)值為度，，故中位數(shù)，所以，，解得，故月平均用電量中位數(shù)的估計(jì)值為度；（3）月均用電量在、、、的用戶分別為戶、戶、戶、戶，其中，月均用電量為的用戶在月平均用電量為的用戶中所占的比例為，所以在月均用電量為的用戶中應(yīng)抽?。☉簦?【點(diǎn)睛】本題考查利用頻率分布直方圖求參數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)，同時(shí)也考查了利用分層抽樣求樣本容量，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）；（2）.【解析】

（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)即得；（2）由正弦定理得，再結(jié)合余弦定理可得.【詳解】解：（1）由正弦定理得：，又，，得.（2）由正弦定理得：，又由余弦定理：，代入，可得.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.20、(1),,；(2)證明見詳解，，.【解析】

（1）根據(jù)遞推公式，賦值求解即可；（2）利用定義，求證為定值即可，由數(shù)列通項(xiàng)公式即可求得和.【詳解】（1）由條件可得，將代入得，，而，所以.將代入得，所以.從而，，.（2）由條件可得，即，，又，所以是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，.因?yàn)?，所?【點(diǎn)睛】本題考