浙江省浙南名校聯盟2023-2024學年高一下學期4月期中聯考數學試題（含答案）

學年第二學期浙南名校聯盟期中聯考高一年級數學學科試題考生須知：1．本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘。2．答題前，在答題卷指定區域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應數字。3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效。4．考試結束后，只需上交答題紙。選擇題部分一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若復數滿足，則的虛部為（）A． B． C． D．2．如圖，直角梯形滿足，，，它是水平放置的平面圖形的直觀圖，則該平面圖形的周長是（）A． B． C． D．3．已知函數則等于（）A． B． C． D．4．已知圓錐的母線長為2，其側面展開圖是半圓，則該圓錐的體積為（）A． B． C． D．5．在中，是邊上的一點，且平分，若，，，，則（）A． B． C． D．6．在中，角所對的邊分別為，已知，，若為鈍角三角形，則的取值范圍為（）A． B． C． D．7．已知四邊形內接于圓，且滿足，，，則圓的半徑為（）A． B． C． D．8．用一個內底面直徑為3，高為20的圓柱體塑料桶去裝直徑為2的小球，最多能裝下小球個數為（）A．10 B．11 C．12 D．13二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分。9．已知，下列選項中是“”的充分條件的是（）A． B． C． D．10．如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，分別是棱的中點，下列說法正確的有（）A．多面體是三棱柱B．直線與互為異面直線C．平面與平面的交線平行于D．四棱錐和四棱錐的體積之比為11．定義一種向量運算“”：其中是任意的兩個非零向量，是與的夾角．對于同一平面內的非零向量，給出下列結論，其中不正確的是（）A．若，則B．若，則C．D．若，則非選擇題部分三、填空題：本大題共3小題，每題5分，共15分。12．設為虛數單位，且，則______．13．已知直三棱柱中，側棱，，，則三棱柱的外接球表面積為______．14．已知函數，若實數滿足，則的最大值是______．四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（本小題13分）已知，，且滿足（1）求實數的值；（2）設，求與的夾角的余弦值．16．（本小題15分）設函數．（1）若角滿足，求的值；（2）求函數的值域．17．（本小題15分）如圖，正邊長為分別是邊的中點，現沿著將折起，得到四棱錐，點為中點．（1）求證：平面（2）若，求四棱錐的表面積．（3）過的平面分別與棱相交于點，記與的面積分別為、，若，求的值．18．（本小題17分）已知在中，角所對的邊分別為，且滿足．（1）求；（2）若，求的面積；（3）求的最大值，并求其取得最大值時的值．19．（本小題17分）設集合．定義：和集合，積集合，分別用表示集合中元素的個數．（1）若，求集合；（2）若，求的所有可能的值組成的集合；（3）若，求證：．2023學年第二學期浙南名校聯盟期中聯考高一年級數學學科試題答案一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。題號12345678答案BCCDCAAB二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分。題號91011答案ABCBCDBCD三、填空題：本大題共3小題，每題5分，共15分．12． 13． 14．四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（本小題13分）（1），，，解法2，，，（2）設，，（此處公式代入正確得2分，消元1分，答案正確2分，只有一個答案扣1分）與的夾角的余弦值為另解：由題意可不妨令又與的夾角的余弦值為16．（本小題15分）解：（1）已知，則，則，所以當，，當，．（2），所以，所以，所以的值域為．17．（本小題15分）解：（1）取中點，連，，且，同時，且四邊形是平行四邊形，又平面平面平面（2），四棱錐的面積（3）由（1）知平面，平面平面，又，，18．（本小題17分）解：（1）方法一：，，又，，又在中，，，，，又在中，，方法二：，，，，．，又在中，，．（2），，即，解得或，當時，當時，（3），，．其中，，，在中，，當時，取到最大值，此時，．19．（本小題17分）解：（1）由，則，．（2）當，不妨記集合為，且讓，則必有，和中剩下的滿足，并且，下列有四種可能：一是，則；二是與與與三對數有兩對相等，另一對不相等，則；三是與與與三對數有一對相等，其它兩對不相等，則；四是與與與三對數全不相等，則；綜上述，的所有可能的值組成的集合為（要求寫明得到每個值的原因）．（3）當，不妨記集合為，且讓，則必有，和中剩下的元素為，滿足，所以有兩種可能，當，；當，；ⅰ）當，不妨記這6個元素為，且讓，則必有，所以；ⅱ）當，，不妨記，，，，，則，則必有，積中剩下的滿足，則，下面先證明．假設，由，則，即，所以，令，由，則，所以，則，與事實不符，所以．下面再證明．由上述分析知：要使，積中剩下的滿足，必有兩對積與七對中的兩對相等，有如下五種情況：一是，則可推得，令其比值為，則，于是，由，則，則，顯然無解，故此情況不能；二是，則可推得，令，顯然，由，則，所以，而顯然，故此情況不可能；三是，則可推得，令其比值為，則，由，又，則，這與矛盾，故