專題01平面向量的概念與運算（原卷版）

專題01平面向量的概念與運算知識點1向量的有關概念1、向量的模：向量的大小叫向量的模模的特點：（1）向量的模；（2）向量不能比較大小，但是實數，可以比較大小．2、零向量：長度為零的向量叫零向量.記作，它的方向是任意的．3、單位向量：長度等于1個單位的向量.將一個向量除以它的模，得到的向量就是一個單位向量，并且它的方向與該向量相同．4、相等向量：長度相等且方向相同的向量.5、向量的共線或平行：方向相同或相反的非零向量。規定：與任一向量共線.【注意】1、零向量的方向是任意的，注意0與0的含義與書寫區別.2、平行向量可以在同一直線上，要區別于兩平行線的位置關系；共線向量可以相互平行，要區別于在同一直線上的線段的位置關系.3、共線向量與相等向量關系：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定是相等向量．知識點2向量的線性運算1、向量的加法運算（1）定義：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法。（2）三角形法則：已知非零向量a，b，在平面內任取一點A，作AB＝a，BC＝b，再作向量AC，向量AC叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC（3）平行四邊形法則：已知不共線的兩個向量a，b，在平面內任取一點O，以同一點O為起點的兩個已知向量a，b為鄰邊作?OACB，對角線OC就是a與b的和【規定】零向量與任一向量a的和都有a＋0eq\a\vs4\al(＝)0＋a＝eq\a\vs4\al(a).【注意】=1\*GB3①在使用向量加法的三角形法則時，要注意“首尾相接”，即第一個向量的終點與第二個向量的起點重合，則以第一個向量的起點為起點，并以第二個向量的終點為終點的向量即兩向量的和；=2\*GB3②平行四邊形法則的應用前提是“共起點”，即兩個向量是從同一點出發的不共線向量．（4）向量加法的運算律結合律：a＋b＝b＋a交換律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)2、向量的減法運算（1）相反向量：與a長度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作－a.=1\*GB3①規定：零向量的相反向量仍是仍是零向量；=2\*GB3②(－a)＝a；=3\*GB3③a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；=4\*GB3④若a與b互為相反向量，則a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.【注意】相反向量與相等向量一樣，從“長度”和“方向”兩方面定義，相反向量必為平行向量．（2）向量的減法=1\*GB3①定義：a－b＝a＋(－b)，即減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量.=2\*GB3②幾何意義：以O為起點，作向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，則eq\o(BA,\s\up7(→))＝a－b，如圖所示，即a－b可表示從向量b的終點指向向量a的終點的向量．【注意】在用三角形法則作向量減法時，只要記住“連接向量終點，箭頭指向被減向量”即可．3、向量的數乘運算（1）定義：規定實數λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作：λa，它的長度與方向規定如下：①|λa|＝|λ||a|；②當λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當λ＜0時，λa的方向與a的方向相反．（2）運算律：設λ，μ為任意實數，則有：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb；特別地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)；λ(a－b)＝λa－λb.（3）線性運算:向量的加、減、數乘運算統稱為向量的線性運算，向量線性運算的結果仍是向量．對于任意向量a，b，以及任意實數λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b.知識點3向量共線1、向量共線的條件（1）當向量時，與任一向量共線．（2）當向量時，對于向量．如果有一個實數，使，那么由實數與向量的積的定義知與共線．反之，已知向量與（）共線且向量的長度是向量的長度的倍，即，那么當與同向時，；當與反向時，．2、向量共線的判定定理：是一個非零向量，若存在一個實數，使，則向量與非零向量共線．3、向量共線的性質定理：若向量與非零向量共線，則存在一個實數，使．【注意】（1）兩個向量定理中向量均為非零向量，即兩定理均不包括與共線的情況；（2）是必要條件，否則，時，雖然與共線但不存在使；（3）有且只有一個實數，使．（4）是判定兩個向量共線的重要依據，其本質是位置關系與數量關系的相互轉化，體現了數形結合的高度統一.知識點4向量的數量積1、向量的夾角（1）定義：已知兩個非零向量，，是平面上的任意一點，作，，則（）叫做向量與的夾角．（2）性質：當時，與同向；當時，與反向．（3）向量垂直：如果與的夾角是，我們說與垂直，記作．2、向量的數量積的定義（1）定義：非零向量與，它們的夾角為，數量叫做向量與的數量積(或內積)；（2）記法：向量與的數量積記作，即；零向量與任一向量的數量積為0；3、向量在上的投影向量（1）設，是兩個非零向量，，，考慮如下變換：過的起點A和終點B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．（2）在平面內任取一點O，作，，過點M作直線的垂線，垂足為，則就是向量在向量上的投影向量，且．（3）注意：數量積等于的長度||與在的方向上的投影向量的“長度”的乘積，也等于的長度||與在的方向上的投影向量的“長度”的乘積4、平面向量數量積的性質設，都是非零向量，是單位向量，θ為與(或)的夾角．則（1）；（2）；（3）當與同向時，；當與反向時，；特別地，或；（4）cosθ＝；（5）5、平面向量數量積的運算律（1）；（2）(λ為實數)；（3）；（4）兩個向量，的夾角為銳角?且，不共線；兩個向量，的夾角為鈍角?且，不共線．（5）平面向量數量積運算的常用公式考點1向量的相關概念辨析【例1】（2023春·湖南長沙·高一長沙一中校考階段練習）下列命題：①若，則；②若，，則；③的充要條件是且；④若，，則；⑤若、、、是不共線的四點，則是四邊形為平行四邊形的充要條件.其中，真命題的個數是（）A．B．C．D．【變式11】（2023·江蘇·高一專題練習）設點是正三角形的中心，則向量，，是（）．A．相同的向量B．模相等的向量C．共線向量D．共起點的向量【變式12】（2023春·安徽合肥·高一合肥一中校考階段練習）下列五個結論：①溫度有零上和零下之分，所以溫度是向量；②向量，則與的方向必不相同；③，則；④向量是單位向量，向量也是單位向量，則向量與向量共線；⑤方向為北偏西的向量與方向為東偏南的向量一定是平行向量．其中正確的有（）A．①⑤B．④C．⑤D．②④【變式13】（2023春·安徽·高一潁上第一中學校考階段練習）（多選）下列說法錯誤的為（）A．共線的兩個單位向量相等B．若，，則.C．若，則一定有直線D．若向量，共線，則點A，B，C，D必在同一直線上【變式14】（2023·高一課時練習）四邊形，，都是全等的菱形，與相交于點，則下列關系中正確的序號是________．①；②；③；④．考點2向量的加減數乘混合運算【例2】（2023秋·遼寧·高一校聯考期末）如圖，在等腰梯形ABCD中，，AD=2，AB=BC=CD=1，E為AD的中點．則下列式子不正確的是（）A．B．C．D．【變式21】（2023春·河北滄州·高一校考階段練習）如圖所示，，則（）A．B．C．D．【變式22】（2023春·安徽·高一銅陵一中校考階段練習）（多選）下列四式可以化簡為的是（）A．B．C．D．【變式23】（2023·全國·高一專題練習）若，則________.【變式24】（2023·全國·高一專題練習）化簡：（1）（2）；（3）（4）；（5）（6）．考點3用已知向量表示其他向量【例3】（2023春·全國·高一專題練習）在中，，，，M為BC的中點，則等于（）A．B．C．D．【變式31】（2023春·全國·高一專題練習）已知的邊的中點為D，點E在所在平面內，且，若，則（）A．7B．6C．3D．2【變式32】（2023春·全國·高一專題練習）如圖所示，四邊形ACDE是平行四邊形，B是該平行四邊形外一點，且，，，試用向量表示向量，，.【變式33】（2022秋·天津濱海新·高一校考階段練習）如圖所示的中，點D、E分別在邊BC、AD上，且.，則向量（）A．B．C．D．考點4向量共線證明三點共線【例4】（2023春·安徽淮北·高一淮北師范大學附屬實驗中學校考階段練習）已知，，，則（）A．M，N，P三點共線B．M，N，Q三點共線C．M，P，Q三點共線D．N，P，Q三點共線【變式41】（湖北省部分學校20222023學年高一下學期3月聯考數學試題）若A，B，C是三個互不相同的點，則“”是“A，B，C三點共線”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【變式42】（2023秋·山東濟南·高三統考期中）已知點是平面內任意一點，則“存在，使得”是“三點共線”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件【變式43】（2022秋·廣西梧州·高二校考期中）設是空間中兩個不共線的向量,已知,且三點共線,則的值為（）A．2B．3C．D．8【變式44】（2023秋·遼寧錦州·高一統考期末）在中，點，分別在邊和邊上，且，，交于點，設，.（1）若，試用，和實數表示；（2）試用，表示；（3）在邊上有點，使得，求證：，，三點共線.考點5利用向量共線求參數【例5】（2023春·江蘇·高一校聯考階段練習）已知向量、不共線，且，若與共線，則實數的值為（）A．B．C．或D．或【變式51】（2023·全國·高一專題練習）已知向量，不共線，若向量與向量共線，則的值為（）A．B．0或C．0或1D．0或3【變式52】（2023·全國·高一專題練習）已知為不共線的兩個單位向量，若與平行，則的值為（）A．B．C．D．【變式53】（2023·高一課時練習）已知兩個非零向量，不共線，若，則實數等于（）A．2B．C．D．【變式54】（2022春·安徽阜陽·高一統考期末）已知向量不共線，且向量與的方向相反，則實數t的值為（）A．1B．—C．1或－D．－1或－考點6向量數量積的運算【例6】（2023春·全國·高一專題練習）已知向量，滿足，且與的夾角為，則（）A．6B．8C．10D．14【變式61】（2023·高一單元測試）已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝，點D在線段BC上，且，則的值為（）A．B．C．D．【變式62】（2023·全國·高一專題練習）如圖，在邊長為2的等邊中，點E為中線BD的三等分點（靠近點D），點F為BC的中點，則（）A．1B．2C．D．【變式63】（2023·全國·高一專題練習）如圖，在中，，，，M是邊上的中點，P是上一點，且滿足，則（）．A．B．C．D．【變式64】（2023春·浙江·高一校聯考階段練習）如圖，在邊長為4的等邊中，點E為中線BD的三等分點（靠近點B），點F為BC的中點，則=（）A．B．C．D．3考點7向量垂直的應用【例7】（2022春·遼寧·高一校聯考期末）已知非零平面向量、，“”是“”的（）條件.A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【變式71】（2023·全國·高一專題練習）已知兩個單位向量與的夾角為，若，，且，則實數（）A．B．C．D．【變式72】（2022春·湖南長沙·高一長沙一中校考階段練習）已知是空間中兩兩不共線的非零向量，則“，”是“，”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【變式73】（2022春·四川遂寧·高一遂寧中學校考期末）在四邊形ABCD中，若，且，則四邊形ABCD一定是（）A．正方形B．平行四邊形C．矩形D．菱形考點8向量夾角相關計算【例8】（2023·全國·高一專題練習）已知，則向量與的夾角為（）A．B．C．D．【變式81】（2023春·河南開封·高一校考階段練習）已知向量，滿足，，，則與的夾角為（）A．B．C．D．【變式81】（2023·全國·高一專題練習）若且，則向量與的夾角為（）A．B．C．D．【變式82】（2023·高一單元測試）已知空間向量滿足，，，，則=（）A．B．C．D．【變式83】（2023·全國·高一專題練習）已知，是單位向量，若，則，的夾角是（）A．B．C．D．【變式84】（2022春·江蘇揚州·高一校考階段練習）已知，是夾角為的兩個單位向量，若，，則與的夾角為（）A．B．C．D．考點9向量模長相關計算【例9】（2023春·安徽淮北·高一淮北一中校考階段練習）已知平面向量，滿足，，，則（）A．2B．4C．D．【變式91】（2022春·江蘇南通·高一統考期末）已知兩個單位向量，的夾角為60°，若，則（）A．3B．C．D．1【變式92】（2023春·河北邯鄲·高一校考階段練習）已知空間非零向量，，滿足，，，與方向相同，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【變式93】（2022春·江蘇鹽城·高一統考期末）在中，，，點滿足，，則的最小值為（）A．B．C．D．考點10向量的投影向量【例10】（2023春·陜西咸陽·高一咸陽市實驗中學校考階段練習）已知，與的夾角為，是與同向的單位向量，則在方向上的投影向量為（）A．1B．C．D．【變式101】（2023·全國·高一專題練習）已知，則向量在向量方向上的投影向量的長度為（）A．－4B．4C．－2D．2【變式102】（2023·全國·高一專題練習）設非零向量，滿足，，則向量在方向上的投影向量（）A．B．C．D．【變式103】（2023·全國·高一專題練習）已知，求在上的投影向量．【變式104】（2023·全國·高一專題練習）設為的外接圓圓心，若，則在上投影向量的模為_________1．（2023春·河南開封·高一校考階段練習）在如圖所示的半圓中，AB為直徑，點O為圓心，C為半圓上一點，且，，則等于（）A．1B．C．D．22．（2023春·河北滄州·高一校考階段練習）十七世紀法國數學家皮埃爾·德·費馬提出了一個著名的幾何問題：“已知一個三角形，求作一點，使其與這個三角形的三個頂點的距離之和最小”，在費馬問題中所求的點被稱為費馬點，對于每個給定的三角形都存在唯一的費馬點，當△ABC的三個內角均小于120°時，使得的點為的費馬點.已知點為等邊的費馬點，且，則（）A．12B．36C．D．183．（2023春·江蘇南通·高一南通一中校考階段練習）已知向量的夾角為，且對任意實數恒成立，則（）A．B．C．D．4．（2023春·河南開封·高一校考階段練習）設，夾角為，則等于（）A．37B．13C．D．5．（2023春·江蘇常州·高一常州市北郊高級中學校考階段練習）某人在靜水中游泳的速度為，河水自西向東的流速為，此人朝正南方向游去，那么他的實際前進方向與水流方向的夾角為（）A．B．C．D．6．（2023·全國·高一專題練習）在中，若，則的形狀為（）A．等邊三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形7．（2023春·陜西咸陽·高一咸陽市實驗中學校考階段練習）設向量的夾角的余弦值為，且，則（

）A．15B．11C．12D．98．（2023春·湖南邵陽·高一湖南省邵東市第一中學校考階段練習）下列不能化簡為的是（）A．B．C．