廣西南寧三中2022年高考仿真模擬數學試卷含解析

2021-2022高考數學模擬試卷

考生須知：

1,全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。

2,請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知函數/（力=（--+24-。（其中e為自然對數的底數）有兩個零點，則實數。的取值范圍是（）

C.e2--,+oojD.卜」,+8）

2.在直三棱柱ABC-A4G中，己知A5=8C=2,CCX=2y[2,則異面直線與人用所成的角

為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

3.在AABC中，點P為BC中點，過點尸的直線與AB,AC所在直線分別交于點M,N,若麗7=/1而，

AN=;/XC（/l>0,〃>0）,則2+〃的最小值為（）

57

A.—B.2C.3D,一

42

4.已知函數/（x）=cos2x+sin2（x+?｝則/（x）的最小值為（）

.,V2n1c?夜n?夜

A.1H-----B.-C.1-------D.1------

2224

5.若雙曲線三一與=1的離心率6=也，則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離為（）

4b22

A.2GB.2C.73D.1

6.已知整數尤,N滿足V+Vvio,記點用的坐標為（x,y）,則點/滿足x+yN6的概率為（）

967

—B.—D.

3535?7

7.做拋擲一枚骰子的試驗，當出現1點或2點時，就說這次試驗成功，假設骰子是質地均勻的.則在3次這樣的試驗

中成功次數X的期望為（）

A-1D.2

8.已知函數y=log〃（x+c）（。，。是常數，其中。>0且awl）的大致圖象如圖所示，下列關于。，c的表述正確

的是（）

A.a>\9c>1B?a>\90<c<l

C.0<6Z<l,c>\D.0<tz<l>0<c<l

2

9.若復數z=—,其中i為虛數單位，則下列結論正確的是（）

1+1r

A.z的虛部為-iB.|z|=2C.二的共甄復數為一ITD.z?為純虛數

10.已知集合A={2,3,4},集合3={租,m+2},若4門8={2},則機=（）

A.0B.1C.2D.4

11.將函數/。）=6sin2x-cos2%向左平移弓個單位，得到g（x）的圖象，則g（x）滿足（)

A.圖象關于點（春,。）對稱，在區間（0,（）上為增函數

B.函數最大值為2,圖象關于點［0,（）［對稱

c.圖象關于直線龍=g對稱，在-^4上的最小值為1

6123

D.最小正周期為7,g（x）=l在0,7有兩個根

12.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體中的最長棱長為（）

A.372B.275C.2x/6D.2V7

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知在△ABC中，通=(2s加32°,2cos32°),反=(cos77°,-cosl3°),則通?BC=，AA5C的面

積為.

14.在AABC中，NC=90，CM=2MB.若sinN8AM=g,貝！|tanABAC=.

15.(辦2_J_丫展開式中/項系數為］eg,則。的值為____.

Ix)

22

16.如圖，在平面四邊形A3CD中，點A，C是橢圓土+工=1短軸的兩個端點，點B在橢圓上，

43

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)設函數二(二)=sin(2Z-1)+sin(2Z+j),Z€Z.

⑺求二(二)的最小正周期；

(〃)若二e6，二)且二d)=:，求sm(2二+§的值?

1J

18.(12分)設橢圓(a,b>0)過M(2,72)，N(J^,1)兩點，O為坐標原點,

1/

(1)求橢圓E的方程;

(2)是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且礪_L礪？若存在，寫出該

圓的方程，若不存在說明理由.

19.(12分)已知函數/(x)=|x—1].

(1)求不等式〃x)Vx+|x+l|的解集;

⑵若函數g(x)=/。g2"(x+3)+.f(x)-2a]的定義域為R,求實數a的取值范圍.

20.(12分)誠信是立身之本，道德之基，我校學生會創設了“誠信水站”，既便于學生用水，又推進誠信教育，并用

“四黯”察i”表示每周“水站誠信度”，為了便于數據分析，以四周為一周期，如表為該水站連續十二周(共三個

周投入成本

周期)的誠信數據統計：

第一周第二周第三周第四周

第一周期95%98%92%88%

第二周期94%94%83%80%

第三周期85%92%95%96%

(I)計算表中十二周“水站誠信度”的平均數，

(H)若定義水站誠信度高于90%的為“高誠信度”，90%以下為“一般信度”則從每個周期的前兩周中隨機抽取兩周

進行調研，計算恰有兩周是“高誠信度”的概率；

(皿)已知學生會分別在第一個周期的第四周末和第二個周期的第四周末各舉行了一次“以誠信為本”的主題教育活動,

根據已有數據，說明兩次主題教育活動的宣傳效果，并根據已有數據陳述理由.

21.(12分)在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系；曲線G的普通方程為

x=cos0.

(X-l)2+y2=l,曲線C2的參數方程為L(，為參數).

y=《2sin0

(I)求曲線G和Ci的極坐標方程：

(II)設射線族分別與曲線G和C2相交于A,B兩點，求以用的值.

22.(10分)已知在平面直角坐標系宜萬中，橢圓C的焦點為6(-6,0),8(百,0),〃為橢圓。上任意一點，且

\MF]+\MF2\^4.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)若直線/:丫="+加化>0,加>0)交橢圓C于P,。兩點，且滿足女第=◎，?40GCM。,%/。。分別為直線

PQ,OP,OQ的斜率),求AOPQ的面積為也時直線PQ的方程.

2

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.B

【解析】

求出導函數/‘(X),確定函數的單調性，確定函數的最值，根據零點存在定理可確定參數范圍.

【詳解】

廣(幻=上羋-2(》一0),當xe(0,e)時，f'(x)>0,/(x)單調遞增，當xe(e,+8)時，_f(x)<0,/(x)單調

廠

1

遞減，，在(0,轉)上f(x)只有一個極大值也是最大值/(e)=—+/9—〃，顯然X.0時，/(幻--O),X-4W時,

e

/(%).—QO,

11

因此要使函數有兩個零點，則/(6)=—+/9-。〉0,???Q<9/+—.

ee

故選：B.

【點睛】

本題考查函數的零點，考查用導數研究函數的最值，根據零點存在定理確定參數范圍.

2.C

【解析】

由條件可看出AB||A片，則NBAG為異面直線AG與Ag所成的角，可證得三角形BAG中，±Z?C,,解得

tanZBAC,,從而得出異面直線AC,與所成的角.

【詳解】

連接AC；,BC],如圖:

又AB||A4，則NBAG為異面直線AG與Ag所成的角.

因為AB，BC,且三棱柱為直三棱柱，A3±CC.,，面BCC,B{,

：.AB±BC},

又AB=BC=2,CC|=20,二8C1=J(2@'+22=26，

二tanZBAq=6，解得ZBAC,=60°.

故選C

【點睛】

考查直三棱柱的定義，線面垂直的性質，考查了異面直線所成角的概念及求法，考查了邏輯推理能力，屬于基礎題.

3.B

【解析】

11

由M，尸，N三點共線，可得彳7+丁=1,轉化X+〃=(/l+〃)—+—,利用均值不等式，即得解.

222〃12/12/z)

【詳解】

因為點尸為BC中點，所以月+,恁，

22

又因為而=2而，AN=AC,

1——.1―.

所以福=—AM+—AN,

2A2〃

因為M,P,N三點共線,

1I,

所以丁丁1

(11邑幺

所以x+〃=(x+〃)—+—=L半+父+-..1+-X2=2,

1242//J221//22

4_〃

〃Z'

當且僅當《即2=〃=1時等號成立,

11

——+——=1

222〃

所以X+〃的最小值為1.

故選：B

【點睛】

本題考查了三點共線的向量表示和利用均值不等式求最值，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于

中檔題.

4.C

【解析】

利用三角恒等變換化簡三角函數為標準正弦型三角函數，即可容易求得最小值.

【詳解】

,(cn

1-cosI2x+2

由于￡(\x+sin2(x+?l+cos2x

/(x)=cos---------+

22

,cos2xsin2x

=1+------+------

22

_V2.(

=1H----sin2xH—,

2I4)

故其最小值為：1-也.

2

故選：C.

【點睛】

本題考查利用降塞擴角公式、輔助角公式化簡三角函數，以及求三角函數的最值，屬綜合基礎題.

5.C

【解析】

根據雙曲線的解析式及離心率，可求得。，仇c的值；得漸近線方程后，由點到直線距離公式即可求解.

【詳解】

雙曲線E—W=l的離心率6=立，

4b22

貝Ja=2,e=-=~,解得c=J7,所以焦點坐標為(士近,0),

所以Z?=Jc、2一屋-<7-4=6，

則雙曲線漸近線方程為了=士*x,即氐±2y=(),

國xg|

不妨取右焦點，則由點到直線距離公式可得

V3+4

故選：C.

【點睛】

本題考查了雙曲線的幾何性質及簡單應用，漸近線方程的求法，點到直線距離公式的簡單應用，屬于基礎題.

6.D

【解析】

列出所有圓內的整數點共有37個，滿足條件的有7個，相除得到概率.

【詳解】

因為X，)'是整數，所以所有滿足條件的點是位于圓f+y2=io(含邊界)內的整數點，滿足條件/+,2A］。

的整數點有(0,0),(0,±1),(0,+2),(0,±3),(±1,0),

(±2,0),(±3,0),(±1,±1),(±2,±1),(±3,±1),(±1,±2),(±2,±2),(±1,±3)共37個,

7

滿足無+yzG的整數點有7個，則所求概率為3.

故選：D.

【點睛】

本題考查了古典概率的計算，意在考查學生的應用能力.

7.C

【解析】

每一次成功的概率為二="%二服從二項分布，計算得到答案.

【詳解】

每一次成功的概率為二=：=：,二服從二項分布，故二(二)=(x3=/.

故選：二.

【點睛】

本題考查了二項分布求數學期望，意在考查學生的計算能力和應用能力.

8.D

【解析】

根據指數函數的圖象和特征以及圖象的平移可得正確的選項.

【詳解】

從題設中提供的圖像可以看出0<a<1,log,,c>0,log”(l+c)>0,

故得0<c<l,0<a<l,

故選：D.

【點睛】

本題考查圖象的平移以及指數函數的圖象和特征，本題屬于基礎題.

9.D

【解析】

將復數二整理為1-，?的形式，分別判斷四個選項即可得到結果.

【詳解】

22(1-0

z=---=---------——=1—1

1+Z(1+/)(1-0

Z的虛部為一1,A錯誤；目=/m=0,5錯誤；z=l+i,C錯誤；

z2=(l—i)2=_2i,為純虛數，O正確

本題正確選項：D

【點睛】

本題考查復數的模長、實部與虛部、共朝復數、復數的分類的知識，屬于基礎題.

10.A

【解析】

根據，篦=2或機+2=2,驗證交集后求得加的值.

【詳解】

因為AD3={2},所以帆=2或帆+2=2.當機=2時，4口8={2,4},不符合題意，當機+2=2時，加=0.故選

【點睛】

本小題主要考查集合的交集概念及運算，屬于基礎題.

11.C

【解析】

由輔助角公式化簡三角函數式，結合三角函數圖象平移變換即可求得g(x)的解析式，結合正弦函數的圖象與性質即

可判斷各選項.

【詳解】

函數/(%)=6sin2x-cos2x,

貝ij/(x)=2sin[2x-?),

將/(x)=2sin[2x-)向左平移弓兀個單位,

6

/、

兀c?c式

可得g(x)=2sin2(j-2sm2xH—,

6k6J

jrjrK7T

由正弦函數的性質可知，8(司的對稱中心滿足2%+/=丘,丘2,^x=-—+—,k&Z,所以A、B選項中

6122

的對稱中心錯誤;

對于C,g(x)的對稱軸滿足2x+H=H+2y%€Z,解得了=工+&肛&GZ,所以圖象關于直線x=2對稱；當

6266

71715萬冗、rrjr

工￡—時，2x+--e,由正弦函數性質可知2sin2X+T1,2],所以在—上的最小值為1,

12363'6o6)123

所以C正確;

對于最小正周期為二=萬，當71j71rn27r(7711I

D,xw0,f,+，由正弦函數的圖象與性質可知，2sin21+二二1

24663k66)

時僅有一個解為x=0,所以D錯誤;

綜上可知，正確的為C,

故選：C.

【點睛】

本題考查了三角函數式的化簡，三角函數圖象平移變換，正弦函數圖象與性質的綜合應用，屬于中檔題.

12.C

【解析】

根據三視圖，可得該幾何體是一個三棱錐S-48C,并且平面SACJ.平面ABC,ACA.BC,過S作SOLAC,連

接BO,AD=2,AC=2,BC=2,SD=2,再求得其它的棱長比較下結論.

【詳解】

如圖所示:

由三視圖得：該幾何體是一個三棱錐S-ABC,且平面SACJ.平面ABC,ACA.BC,

過S作SD_LAC,連接3。，貝!=2,AC=2,BC=2,SD=2,

所以3=yjnc2+BC2=曬，SB=ylSD2+BD2=26，SA=yjsi)2+AD2=272，

SC=yJSD2+AC2=275，

該幾何體中的最長棱長為2娓.

故選：C

【點睛】

本題主要考查三視圖還原幾何體，還考查了空間想象和運算求解的能力，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.一夜也

2

【解析】

BABC72

①根據向量數量積的坐標表示結合兩角差的正弦公式的逆用即可得解；②結合①求出cosZABC

根據面積公式即可得解.

【詳解】

?ABBC=2s山32°-coslT-2cos32°?cosl3°=2(s加32°?cos77°-cos32°”加77°)

=2s加(32°-77°)=-2sin45°=—0,

BABC_y[2

②畫=2,困=1,cosAABC-MM=T，

??sinZ.ABC=-----

2

||Ae|-|因si〃NABC=gx2xlx等=￥

S^ABC

故答案為：-舊也.

2

【點睛】

此題考查平面向量與三角函數解三角形綜合應用，涉及平面向量數量積的坐標表示，三角恒等變換，根據三角形面積

公式求解三角形面積，綜合性強.

14.邁

2

【解析】

分析：首先設出相應的直角邊長，利用余弦勾股定理得到相應的斜邊長，之后應用余弦定理得到直角邊長之間的關系,

從而應用正切函數的定義，對邊比臨邊，求得對應角的正切值，即可得結果.

詳解：根據題意，設AC=m,8C=3〃，則CM=2〃,8W=〃，根據sinNBA'=1,

A

?[7________________

得cosNBAM=$，,由勾股定理可得AM=\Jm2+4n2,AB=\Jm2+9n2，

gg人4—E.R//r+4〃-+相-+9〃--/r276

根據余弦定理可得—/一丁—

2vnv+4獷vm"+9n~5

化簡整理得加4—12加力2+36/=0,即(m2-6M2)2=0，解得加=an，

所以tan/84C=史=:上="，故答案是".

點睛：該題考查的是有關解三角形的問題，在解題的過程中，注意分析要求對應角的正切值，需要求誰，而題中所給

的條件與對應的結果之間有什么樣的連線，設出直角邊長，利用所給的角的余弦值，利用余弦定理得到相應的等量關

系，求得最后的結果.

15.-2

【解析】

表示該二項式的展開式的第，+1項，令其指數為3,再代回原表達式構建方程求得答案.

【詳解】

該二項式的展開式的第r+1項為『+1=(ox2J6"r.MY=(-1)'.a6-rC^.x12-3r

令12—3z*=3=>r=3,所以。=(—1)3./3x3=_20。3工3,貝！I—20c『=160=>a=-2

故答案為：-2

【點睛】

本題考查由二項式指定項的系數求參數，屬于簡單題.

【解析】

依題意易得A、8、C、。四點共圓且圓心在x軸上，然后設出圓心，由圓的方程與橢圓方程聯立得到B的橫坐標，進

5,|x|

一步得到。橫坐標，再由法=1f號i計算比值即可.

S2\xD|

【詳解】

因為NE4￡）=N68=90°,所以A、5、C、。四點共圓，直徑為BD,又A、C關于x軸對稱，

22

所以圓心￡在“軸上，設圓心E為90）,則圓的方程為（x—，）2+y2=*+3,聯立橢圓方程?+=1

消y得d—8a=0,解得x=8f,故b的橫坐標為8f,又B、。中點是￡,所以。的橫坐標為—6%

S]_I"4

故《--二大.

§2rIX"iI3

4

故答案為：

【點睛】

本題考查橢圓中的四點共圓及三角形面積之比的問題，考查學生基本計算能力及轉化與化歸思想，本題關鍵是求出3、

。橫坐標，是一道有區分度的壓軸填空題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.⑺二；（吁下

【解析】

⑺化簡得到二（二）=\2sin（2二+自，得到周期.

（II）□得）=Osin（二+目=g故而（二+色==，根據范圍判斷cos（二+￡）=一乎，代入計算得到答案.

【詳解】

（/）□（□）=sin（2C-^）+sin（2D+1）=sin（2匚一習+cos（2D-j）

=、Wsm（二+六），故二=y

(//)Z(y)=v_sin(z+=p故sm(二+§=?,cos(二+§=±亍,

口嗚口),故口+：e信署)，|cos(口+))|>|向(口+制,

故二+V”二)，故cos(二+:)=一于

sin(2Z+1)=2sm(二+目cos(二+司=一匚

【點睛】

本題考查了三角函數的周期，三角恒等變換，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.

22o

18.(1)—+^-=1(2)x2+y2=-

843

【解析】

22

試題分析：(1)因為橢圓E:，+g=1(a,b>0)過M(2,叵),N(",l)兩點,

42,11

-T+T7-1~="2_?22

所以匕、解得｛::所以｛，一橢圓E的方程為士+匕=1

61.11/=484

K爐=1*=]

(2)假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且礪，礪，設該圓的切線方程

y=kx+m

為>=履+〃7解方程組｛*22得/+2(奴+根)2=8,即(1+2/)/+4〃吠+2加一8=0,

——+—=1

84

則A=16k2m2-4(14-2k2)(2/-8)=8(8公一/+4)>0,即8/一療+4>0

4km

…二一西

2m2-8

k2(2m2-8)4k2府加？一86

yy=(fc￥j+in)(kx+m)=k2xx+h〃(玉+々)+〃，----------------------------FIT2T------------

12212\+2k2\+2k2\+2k2

N(2加2—8)竺竺+蘇=._8中

y%=(匕i+m)(kx+m)=k2xx+km｛x+x')+m2=

212｝21+2公1+2/i+2k2

要使"方,需使—。，即鴿AM=。，所以而-叱-8=。,所以心號^。又

8々2—>+4>0,

FKI、I1">2cciM2、8HR2-\/6-2-^6

所以｛,，所以加,EP/n>----或加4------，

因為直線)，="+〃?為圓心在原點的圓的一條切線，

位加|/=上=___=8屈

所以圓的半徑為r=-^^,1+二3加一83"=會蟲，

Jl+公1+——o——3

o

所求的圓為/+丫2=3此時圓的切線丫=依+機都滿足m匹或加4一友，

333

而當切線的斜率不存在時切線為無=±半與橢圓會+￡=1的兩個交點為(*,土±5)或(-乎，士半)滿足

OA1OB,

Q

綜上，存在圓心在原點的圓d+9=§,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且礪J.麗.

考點：本題主要考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，圓與橢圓的位置關系.

點評：中檔題，涉及直線與圓錐曲線的位置關系問題，往往要利用韋達定理.存在性問題，往往從假設存在出發，運

用題中條件探尋得到存在的是否條件具備.(2)小題解答中，集合韋達定理，應用平面向量知識證明了圓的存在性.

19.(1)(0,+oo)(2)(一8m

【解析】

(1)分類討論，去掉絕對值，化為與之等價的三個不等式組，求得每個不等式組的解集，再取并集即可.(2)要使函

數g(力的定義域為R,只要〃(x)=/(x+3)+-2a的最小值大于0即可，根據絕對值不等式的性質求得最小值

即可得到答案.

【詳解】

(1)不等式/(x)<x+|x+l|o|x-l|<x+k+l|

X>1[-1<X<1fx<-l

<或〈或?,

X-1<X+X4-1[l-x<x+x+l\1-X<X-X-1

解得xNl或Ovxvl,即x>0,

所以原不等式的解集為(0,+8),

(2)要使函數g(x)=/og2"(x+3)+/(x)—2a]的定義域為R,

只要/2(X)="X+3)+〃X)-2a的最小值大于0即可，

又=,+2]+|.x—1|—2<z當(x+2)-(%-1)|-2<z=3—2iz,

當且僅當XG[-2,1]時取等，只需最小值3-240,即=.

2

所以實數a的取值范圍是(-8,.

【點睛】

本題考查絕對值不等式的解法，考查利用絕對值三角不等式求最值，屬基礎題.

2

20.(I)91%；(n)y；(in)兩次活動效果均好，理由詳見解析.

【解析】

(I)結合表中的數據，代入平均數公式求解即可；

(n)設抽至心高誠信度”的事件為A,.,則抽至心一般信度”的事件為3,則隨機抽取兩周，則有兩周為“高誠信度”事件

為c,利用列舉法列出所有的基本事件和事件。所包含的基本事件，利用古典概型概率計算公式求解即可；

(DP結合表中的數據判斷即可.

【詳解】

(I)表中十二周“水站誠信度”的平均數

_95+98+92+88+94+94+83+80+85+92+95+961

x=-------------------------------------------------------------------------x——=91%.

12100

(II)設抽至U“高誠信度”的事件為4,則抽至()“一般信度”的事件為8,則隨機抽取兩周均為“高誠信度”事件為C,總

的基本事件為AA>、AA、AA、AA、44、A2A八4A、AA'AA'AA'4?A3、A；B、4氏、共15種，

事件C所包含的基本事件為44、AA、A4、AA、44、44、44、44、44、A4A共10種，

102

由古典概型概率計算公式可得，P(C)=—

(HI)兩次活動效果均好.

理由：活動舉辦后，“水站誠信度，由88%—94%和80%-85%看出，后繼一周都有提升.

【點睛】

本題考查平均數公式和古典概型概率計算公式；考查運算求解能力；利用列舉法正確列舉出所有的基本事件是求古典

概型概率的關鍵；屬于中檔題、常考題型.

9/7

21.(I)「一2cos。=0,2p2cos2^+3p2sin2^-6=0;(II)\AB\=43--

3

【解析】

(I)根據22=/+/,》=0以)5。療=25皿。，可得曲線G的極坐標方程，然后先計算曲線C2的普通方程，最后

根據極坐標與直角坐標的轉化公式，可得結果.

(II)將射線分別與曲線。和C2極坐標方程聯立，可得A,8的極坐標，然后簡單計算，可得結果.

6

【詳解】

(I)(x-1)2+y2=l=>x2+y2-2x=0

由/?2=+丁2,*=夕cos。,y=psi