用法向量求二面角的大小及其角度關系的確定

2009.12.16用法向量求二面角的大小及其角度關系的確定聯系電話訊地址：黑龍江省哈爾濱市呼蘭區第六中學郵編：150500電子信箱：wangweihua999999@我們都知道，向量知識在數學學科里有其非常廣泛的應用，尤其是在立體幾何求角和距離時，若利用向量知識求解會得到事半功倍的效果，也正體現了向量知識的工具性和靈活性。而在應用向量知識求解二面角的大小時，不是所有的二面角的兩個半平面的法向量的夾角都和二面角相等，有時是互補，那么，什么時候相等，什么時候互補，如何確定其“角度之間的大小關系”一直以來是困擾很多教師和學生的一個難題。向量有其自身的獨特性質—自由性，當一個向量在空間的某一位置時，可以自由移動，只要滿足其方向不變，其無論移動到任何位置，向量都是相等的。根據這一性質，當我們把二面角的某個半平面的法向量求出后，把它的起點放到坐標原點，然后確定其向量的方向的指向，從而確定其法向量的夾角和二面角的大小的關系，在確定了法向量的夾角與二面角的關系后，再利用向量的數量積求出二面角的大小，下面就來具體闡述一下這一做法。θβθβαl圖11.當法向量的方向指向二面角的內部時稱之為向里指，如：圖1中的向量。2.當法向量的方向指向二面角的外部時稱之為向外指，如：圖1中的向量。法向量的夾角和二面角大小的關系1.設分別為平面的法向量，二面角的大小為，向量的夾角為，當兩個法向量的方向都向里或都向外指時，則有（圖2）；2.當兩個法向量的方向一個向里指一個向外指時（圖3）θθβlαωωθβlα圖2圖2圖3在坐標系中做出法向量，從而確定法向量的方向指向yxzlOΧУ圖41.已知二面角，若平面的法向量，由向量的相等條件知，坐標是（4，4，3）的向量有無數多個，根據向量的自由性，我們只需做出由原點出發的一個向量便可，如圖4所示yxzlOΧУ圖4βyxzlO圖52.若平面法向量，βyxzlO圖5四．應用舉例例題1.如圖6，在棱長為1的正方體ABCD-A1B!C1D1中G、E、F分別為AA1、AB、BC的中點，求作二面角G—EF—D半平面GEF的法向量并判斷其由圖知，半平面SBA的法向量為=(1，0，0)的方向指向面SCD與面SBA所成的二面角的里面，半平面SCD的法向量指向面SCD與面SBA所成的二面角的外面，所以二法向量的夾角與二面角的大小相等，由此得：cos=∴所求的二面角的余弦值為.若在：AzAzyxDCBS圖9SCD與面SBA所成的二面角的里面了，如圖9，兩個法向量的夾角與二面角的大小互補，即：=<∴cos=<注：在求得關于x,y,z的關系式，給z賦值時，由于版面的空間有限，只好取z=，而通常我們在做題時，一般都令z=1,這樣便于計算。>評析：（1）因為所求的二面角的交線在圖中較難作出，所以用傳統的方法求二面角比較困難，向量法在這里就體現出它特有的優勢；（2）法向量的取法可以靈活多變，但做出法向量的時候，要遵循一個原則，即：從原點出發。將向量知識引進中學數學后，既豐富了中學數學內容，拓寬了中學生的視野，又給很多問題的解決增加了亮點，比如：在解析幾何上，在立體幾何上都有其非