數學人教A版高中必修一（2019新編）5-5-2簡單的三角恒等變換（分層作業）

5.5.2簡單的三角恒等變換（分層作業）（夯實基礎+能力提升）【夯實基礎】一、單選題1．（2022·安徽省宿州市苐三中學高一期中）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用倍角公式，即得.【詳解】因為，所以.故選：D.2．（2022·陜西·寶雞市渭濱區教研室高一期末）已知函數，則的（

）A．最小正周期為，最小值為 B．最小正周期為，最小值為C．最小正周期為，最小值為 D．最小正周期為，最小值為【答案】B【分析】先化簡函數，再結合周期公式求解周期，根據解析式求解最值.【詳解】因為，所以最小正周期為,最小值為.故選：B.3．（2022·四川省成都市新都一中高一期末（文））若，則（

）A． B． C．4 D．－4【答案】A【分析】直接由正切倍角公式求解即可.【詳解】.故選：A.4．（2022·四川成都·高一期末（文））已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】對平方后，結合同角三角函數平方關系及正弦的二倍角公式進行求解.【詳解】平方得：，即，解得：故選：A5．（2022·上海市奉賢中學高一階段練習）對任意的銳角，下列不等關系中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據銳角三角函數值的范圍結合兩角和差公式判斷A、B；令，結合倍角公式檢驗判斷C；根據三角函數的單調性判斷D.【詳解】若為銳角，則，A錯誤；，B錯誤；令，則，即∵，則∴且，則，C錯誤；令∵，則在上單調遞減，則∴又∵，則，D正確；故選：D.6．（2022·江蘇南通·高一期末）函數圖象的一條對稱軸方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由和差公式化簡函數，由整體法令，即可求解.【詳解】，令，即，故函數圖象的一條對稱軸方程為．故選：C7．（2022·貴州·黔西南州金成實驗學校高一期末）若，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據題意求得和的值，結合兩角差的余弦公式，即可求解.【詳解】由題意，可得，，因為，，可得，，則.故選：C.二、多選題8．（2022·福建省福州高級中學高一期末）在內，使成立的x取值范圍不是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】由，得，然后根據正弦函數的性質可求出的范圍，從而可求出在內的范圍，進而可得答案.【詳解】由，得，所以，即，所以，即因為，所以，所以在內，能使成立的x取值范圍為，故選：ABD三、填空題9．（2022·西藏·林芝市第二高級中學高一期末）____．【答案】【分析】利用兩角差的正弦公式即可得到化簡結果【詳解】又故答案為：或10．（2022·廣東·深圳市華美外國語（國際）學校高一期中）若，則__.【答案】【分析】根據二倍角的正弦公式先化簡，再利用同角三角函數間的基本關系求解即可.【詳解】解：若，則，故答案為：.【點評】本題考查二倍角的正弦公式，同角三角函數間的基本關系，屬于基礎題.11．（2022·湖北·丹江口市第一中學高一期中）設凼數（a為實數）在區間上最小值為-4，則a的值等于____________.【答案】【分析】利用二倍角公式和輔助角公式化簡，然后利用換元法和函數單調性得到最小值，即可求出.【詳解】，令，則，，所以當時，取得最小值，，所以.故答案為：-4.12．（2022·全國·高一單元測試）已知都是銳角，，則___________.【答案】##【分析】要求，先求，結合已知可有，利用兩角差的余弦公式展開可求.【詳解】、為銳角，，，由于為銳角，故答案為：13．（2022·全國·高一課時練習）已知，，，，則的值為_______．【答案】【分析】根據余弦倍角公式，同角三角函數關系及角的范圍求出，，，再利用湊角法，正弦的差角公式求出答案.【詳解】，即又因為，所以，所以，因為，，所以，又，所以，而，所以故答案為：14．（2022·全國·高一課時練習）已知為銳角，且，則___________.【答案】【分析】根據同角關系可由余弦求出正弦，然后由二倍角公式以及兩角和的正弦即可求解.【詳解】因為為銳角，且，所以，所以.所以.故答案為：四、解答題15．（2022·黑龍江·雞西市第四中學高一期末）化簡(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】三角換元之后，逆用和差角公式即可化簡【詳解】（1）（2）16．（2022·浙江·杭州高級中學高一期末）設函數(1)求的最小正周期及其圖像的對稱中心；(2)若且，求的值.【答案】(1)，對稱中心為(2)【分析】（1）利用三角恒等變換公式將函數化簡，再根據正弦函數的性質計算可得；（2）依題意可得，再由的取值范圍，求出的范圍，即可求出，最后根據及兩角和的余弦公式計算可得.【詳解】（1）解：因為，即，所以的最小正周期為．令，解得，，所以函數的對稱中心為．（2）解：因為，即，所以，因為，所以，所以，所以17．（2022·江西九江·高一期末）已知．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據同角三角函數關系求出，再使用正弦的和角公式進行化簡求值；（2）先使用二倍角公式求出的值，再使用余弦的差角公式進行求值.【詳解】（1）因為，所以，所以.（2）由二倍角公式得：，，所以．18．（2022·安徽·渦陽縣第九中學高一期末）已知函數．(1)求函數的最大值；(2)把的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再把得到的圖象向左平移個單位，得到函數的圖象，求函數的單調遞減區間【答案】(1)4；(2)，.【分析】（1）根據降冪公式，結合余弦函數的最值性質進行求解即可；（2）根據余弦型函數圖象的變換性質，結合余弦型函數的單調性進行求解即可.【詳解】（1）∴當時取得最大值4；（2）因為把的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再把得到的圖象向左平移個單位，得到函數的圖象，所以，令，可得函數的單調遞減區間為，．19．（2022·陜西·延安市第一中學高一期中）在①函數；②函數；這兩個條件中任選一個作為已知條件，補充在下面的問題中，然后解答補充完整的題．已知______（只需填序號），函數的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為.(1)求函數的解析式；(2)求函數的單調遞減區間及其在上的最值．【答案】(1)；(2)，最小值為，最大值為2.【分析】（1）選條件①：根據降冪公式、輔助角公式，結合正弦型函數的周期公式進行求解即可；選條件②：根據兩角和的正弦公式、輔助角公式，結合正弦型函數的周期公式進行求解即可；（2）根據正弦型函數的單調性，結合整體思想進行求解即可.【詳解】（1）選條件①：，又由函數的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為，，可知函數最小正周期，∴，∴．選條件②：，又函數的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為，，所以可得最小正周期，∴，∴；（2）由（1）知，由，解得，∴函數單調遞減區間為．由，從而,故在區間上的最小值為，最大值為2．.20．（2022·福建福州·高一期末）已知函數.(1)求其最小正周期；(2)當時，求函數的值域.【答案】(1)最小正周期為(2)【分析】（1）先用三角恒等變換化簡得到，利用求出最小正周期；（2）在第一問的基礎上，使用整體法求解三角函數的值域.（1）依題意，，則所以，函數的最小正周期為.（2）由（1）知，因，則，，，所以函數的值域為.21．（2022·江蘇蘇州·高一期末）已知函數.(1)若函數的圖象過點，且，求的值；(2)若，且，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角恒等變換整理化簡，根據題意代入整理得，結合角的范圍求解；（2）根據題意代入整理，以為整體運算求解，注意根據角的范圍判斷三角函數值的符號．【詳解】（1）因為.所以.因為函數的圖象過點，所以.因為，所以，所以，解得.（2）因為，所以.因為，所以.所以，又，所以.因為，所以，所以.22．（2022·北京師大附中高一期末）已知函數.(1)求函數的單調遞增區間；(2)求在區間［0，］上的最值.【答案】(1)（kZ）(2)最大值為1，最小值為-.【分析】（1）由三角函數降冪公式與二倍角公式，根據輔助角公式，化簡函數為單角三角函數，根據正弦函數的單調性，可得答案；（2）利用整體思想，根據正弦函數的圖象性質，可得答案.【詳解】（1）=.因為y＝sinx的單調遞增區間為（kZ），令（kZ），得（kZ）.所以的單調遞增區間為（kZ）.（2）因為x∈［0，］，所以2x＋.當2x＋=，即x＝時，最大值為1，當2x＋=，即x＝時，最小值為-.【能力提升】一、單選題1．（2022·西藏拉薩·高一期末）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知求出，再利用余弦函數的二倍角公式求解即可.【詳解】，則，故選：D.2．（2022·浙江·杭十四中高一期末）已知正實數，滿足，則的最大值是（

）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】由題意，利用換元思想，利用三角函數的性質，可得答案.【詳解】令，，，則，當且僅當時，取的最大值，且最大值是.故選：D.3．（2022·江蘇南通·高一期末）若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結合二倍角公式、誘導公式，由即可轉化求值【詳解】．故選：A4．（2022·陜西師大附中高一期中）已知函數，若，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據三角函數的二倍角公式化簡，然后利用正弦函數的性質化簡并比較a,b的表達式，可得答案.【詳解】由題意得，故，，故，故選：C5．（2022·湖北黃石·高一期末）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將化為，利用誘導公式以及二倍角的余弦公式，化簡求值，可得答案.【詳解】因為，所以,故選：A.二、多選題6．（2022·全國·高一課時練習）已知函數，將的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標保持不變，再把所得圖象向上平移1個單位長度，得到函數的圖象．若，則的值可能為（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】先化簡，再經過圖象變化得到，得到周期和最大值，再結合即可得到答案【詳解】解：，先將的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標保持不變，所得圖象對應的函數解析式為，再將所得圖象向上平移1個單位長度，所得圖象對應的函數解析式為，故其最小正周期，，要使，則，結合選項知，當n＝1時，，當n＝2時，，故選：AD．7．（2022·湖北黃石·高一期末）已知函數，則下列說法中正確的是（

）A．的最大值為2 B．的最小正周期為C．的圖像關于直線對稱 D．的圖像關于點對稱【答案】ABC【分析】將解析式經過恒等變換后化為，再對其性質逐一判斷即可.【詳解】因為，所以的最大值為2，故A正確.最小正周期是，故B正確.將代入，可得，則其圖像關于直線對稱，故C正確.當時，，所以的圖像關于點對稱．故D錯誤.故選:ABC.8．（2022·全國·高一課時練習）已知函數，則（

）A．圖象的對稱中心為B．圖象的對稱軸方程為C．的增區間為D．的最大值是，最小值是【答案】ACD【分析】利用輔助角公式可化簡得到；利用整體代換法可求得的對稱中心、對稱軸和單調增區間，對比選項可知ABC正誤；根據正弦型函數值域可求得值域，可知D正確.【詳解】；對于A，令，解得：，此時，的對稱中心為，A正確；對于B，令，解得：，的對稱軸為，B錯誤；對于C，令，解得：，的增區間為，C正確；對于D，，，最大值是，最小值是，D正確.故選：ACD.三、填空題9．（2022·西藏拉薩·高一期末）已知函數，則下列結論中正確的是___________．①函數的最小正周期為

②時，取得最大值③在上單調遞增

④的對稱中心坐標是【答案】①③【分析】利用二倍角和輔助角公式化簡可得，根據正弦型函數最小正周期、最值點、單調性和對稱中心的求法依次判斷各個選項即可.【詳解】；對于①，的最小正周期，①正確；對于②，當時，，此時不取最大值，②錯誤；對于③，當時，，此時單調遞增，③正確；對于④，令，解得：，此時，的對稱中心為，④錯誤.故答案為：①③.10．（2022·山東臨沂·高一期末）公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發現了黃金分割值約為0.618，這一數值也可以表示為.若，則______.【答案】【分析】根據，，求得，代入即可求解.【詳解】解：因為，，所以，，所以，故答案為：.11．（2022·全國·高一專題練習）已知對任意，不等式恒成立，求實數a的取值范圍．【答案】【分析】利用換元令，整理得，分類討論和數形結合分析處理.【詳解】設，所以．所以對任意，不等式恒成立，所以對任意，不等式恒成立，當時，不等式不是恒成立；當時，在是增函數，在是減函數，在是減函數，在是增函數，所以函數在是增函數，在是減函數，所以當時，，與矛盾，所以舍去；當時，對任意，不等式恒成立，如圖所示：所以．綜合得．故答案為：.12．（2022·全國·高一課時練習）若，，則___________.【答案】-1【分析】利用誘導公式結合二倍角公式化簡可得到或，然后結合角的范圍分兩種情況求解,即可求得答案.【詳解】因為，所以，所以，所以，即或,當時，因為，所以，所以，所以，所以，所以.當時，即，所以，所以，則.因為，所以，所以，故不符合題意，應舍去，綜合以上，故答案為：-113．（2022·山東東營·高一期末）已知圓心角為的扇形的半徑為，是弧上一點，作矩形，如圖所示這個矩形的面積最大值為__________．【答案】【分析】本題考查解三角在平面幾何的應用，由三角形的知識易得，由三角函數公式化簡以及三角函數的最值可得答案．【詳解】解：設，扇形的半徑為，圓心角為，所以，，所以矩形面積，，；當即即為弧的中點時，取最大值.故答案為：.四、解答題14．（2022·貴州六盤水·高一期末）已知函數的部分圖象如圖所示.(1)求函數的解析式；(2)將函數圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再向右平移個單位長度，得到函數的圖象.當時，求函數的最值.【答案】(1)(2)最大值為，最小值為【分析】（1）根據圖象依次求得的值.（2）根據圖象變換的知識求得，化簡的解析式，根據三角函數最值的求法求得正確答案.【詳解】（1）由圖可知，，，，，所以，所以.（2）函數圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到，再向右平移個單位長度，得到，，，，所以，所以在區間上的最大值為，最小值為.15．（2022·遼寧·東北育才學校高一期中）已知函數，(1)化簡；(2)若，，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）結合三角恒等變換的知識化簡的解析式.（2）利用平方的方法求得正確答案.【詳解】（1），，，，所以，.（2），，兩邊平方得，.16．（2022·浙江·高一期中）已知函數(1)求的最小正周期和單調增區間；(2)當時，，求.【答案】(1)最小正周期為，單調遞增區間為(2)【分析】（1）先化簡，再由周期公式可得周期，由可解得遞增區間；（2）由可得，進而得，則，即可求解【詳解】（1）因為，所以的最小正周期為，由，得；所以單調遞增區間為.（2）因為，所以，即，又，則，又，則，那么，從而.17．（2022·天津南開·高一期末）已知函數(1)求的最小正周期和對稱中心;(2)求的單調遞減區間；(3)當時，求函數f(x)的最大值及取得最大值時x的值【答案】(1)，；(2)；(3)當時，最大值為．【分析】（1）利用二倍角降冪公式、輔助角公式可得出，利用周期公式可計算出函數的最小正周期，解方程可得出函數的對稱中心坐標；（2）解不等式，可得出函數的單調遞減區間；（3）由，計算出的取值范圍，利用正弦函數的性質可得出該函數的最大值以及對應的的值.【詳解】（1），所以，函數的最小正周期為.由，可得，函數的對稱中心為；（2）解不等式，解得.因此，函數的單調遞減區間為；（3）當時，，當時，即當時，函數取得最大值，最大值為．18．（2022·天津南開·高一期末）已知.(1)求的值(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（2）由平方關系求得，再根據二倍角得余弦公式即可得解；（2）由（1）求得，再根據兩角差得正切公式即可得解.（1）解：因為，所以，所以，又因為，所以；（2）解：由（1）得，所以，所以.19．（2022·浙江·杭州四中高一期末）已知函數.設，.(1)求的最小正周期；(2)求的值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用二倍角公式和輔助角公式對進行化簡，即可得到答案；（2）利用得到，結合的范圍求出，由即可求得答案（1），所以的最小正周期為；（2）因為，所以，因為，所以，因為，所以，所以20．（2022·江蘇南通·高一期末）已知，(1)求和的值(2)若，，求的大小．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）結合二倍角公式，商數關系