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文檔簡介

10.2多元函數的偏導數10.2.1偏導數偏導數的定義

則稱為函數在點

關于變量x

的偏導數.設二元函數若極限存在，對于n

元函數若極限等.

記作:存在,則稱為等.

記作

通常記作

更方便.

對變量

的偏導數.

在點例1：對變量x求導解：將y看作常數,在計算時,二元函數同理有例2:解：三元函數偏導數存在

連續偏導數存在與連續:

VeryImportant!例3：

無極限，不連續！

偏導數存在.

連續偏導數存在

例4：初等函數，連續.不存在！

而

方向導數

設是單位向量,

存在,若點沿的方向導數，

則稱為f在記作方向導數與偏導數間的關系

設

是的一組標準正交基,方向的方向導數就是偏導數.點沿這n個f在10.2.2高階偏導數定理：

若在某點其兩個二一般來說,高階混合偏導數與求導順序有關！什么情況下,

混合偏導數與求導次序無關呢？

對于n元函數階混合偏導函數

，都連續,

證明:記(只對二元函數證明)不一定等于

即則相等.則同理：令有，

例10.3

多元函數的微分10.3.1微分的概念一元函數微分的概念：多元函數的可微與微分

若存在常向量使得(*)則稱函數在點可微,

稱為微分.

定理：在可微,(*)成立,則連續.

若且

特別地,在點的各偏導數都存記則

在,證明：

時,□

10.3.2函數可微的充分條件定理證明：

若函數

f各偏導函數在某點都連續,則在該點可微.可微):(偏導連續□

一元函數微分：多元函數微分：

式中a稱為導數.

稱為梯度,式中由上面定理知,函數沿梯度方向的方向導數最大.例5:求:解:記作例6：切向量的方向導數.

求f在(1,2)沿

的

解：在(1,2)切向量單位化梯度與微分的幾何意義

—表示平面.—表示平面,記作稱為曲面在點的切平面！

梯度與微分的幾何意義

例7：1)在(1,1)處切平面

2)即

切平面在例8研究該函數在原點是否存在偏導數,是否可微.解所以下面證明該函數在原點不可微.則f(x,y)在(0,0)的微分是若該函數在原點可微,根據微分定義，但是容易證明:事實上，因此根據微分定義推出該函數在原點不可微.例9考察該函數在原點是否可微，偏導數是否連續.1.證明函數在原點可微.計算得到容易看出：在原點自變量的改變量是所以并且2.證明該函數的偏導數在原點不連續.沒有極限.從而同樣的方法可以證明：10.3.4二元函數的原函數問題設函數連續,問是否某個函數的微分？(全微分)若是,則稱是的一個原函數.“必要條件”:若有連續的偏導數,且有原函數,則證明:二階混合偏導連續時必相等例10求的原函數.解:從而有因為所以即數學名家介紹(二)

泰勒(Taylor,Brook,1665.8.18-1731.12.29)英國數學家.生于埃德蒙頓，卒于倫敦.1709年獲法學博士學位.1712年當選為皇家學會會員.他和哈雷、牛頓是親密的朋友.在數學方面，他主要從事函數性質的研究，于1715年出版了《增量方法及其逆》一書，書中發表了將函數展成級數的一般公式，這一級數后來被稱為泰勒級數.他還研究了插值法的某些原理，并用這種計算方法研究弦振動問題、光程微分方程的確定問題等.泰勒在音樂和繪畫

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