第三講 期望值法

回顧舊知

一個事件的概率越大，它發生的可能性就越大.當面對未來情況的各種狀態時，由于已經知道它們出現的概率，或者這些概率可以估算出來，決策者就可以挑選其中概率最大狀態作為考慮問題的出發點，然后再挑選對自己最有利的行動方案.最大可能法：第一步明確問題的決策目標；第二步明確未來狀態x1，x2，…及其概率，確定可供選擇的方案a1，a2，…；第三步明確損益函數R（a，x）或損益函數R；第四步由未來狀態的概率與R（a，x）（或R）從a1，a2，…中選出最佳行動方案.最大可能法進行決策的步驟課前導入

在做風險決策時，我們通過上節課的學習知道，在進行決策時，未來狀態出現的概率與之有很大的關系.而通過以前的學習，我們了解到，每個可行方案期望損益值的計算都與未來出現的狀態有關.所以，我們可以從期望的角度來進行風險決策.這就是我們今天將要講到的期望值法.第三講期望值法

1.在理解最大可能法的基礎上，對比學習本節內容——期望值法；

2.熟悉并掌握期望值法的方法，并能靈活應用它解決實際問題.知識與能力教學目標

1.通過期望值法的學習，理解和掌握另外一種風險與決策方法的應用；

2.通過本節的學習，復習再學習期望值這個概念，并了解它應用；

3.掌握期望值法的基本過程，了解它的原理，學會簡單的應用.過程與方法

1.通過對另外一種風險與決策方法的具體了解，能夠更加深刻地體會數學中的聯系與結合，有利于對風險與決策這一概念的理解和掌握.2.在本節課學習的基礎上，培養敢于結合以前所學知識，推導出新的知識或性質，有利于對以前知識的深刻理解.情感態度與價值觀對比上一講最大可能法，初步了解期望值法，并掌握其初步應用.重點教學重難點深刻準確地理解期望值法的應用，掌握其與最大可能法的區別和聯系，并能利用它分析并解決實際問題.難點

在風險決策問題中，當決策目標確定后，可以考慮用離散型隨機變量來描述面臨的各個行動方案，通過計算期望求出決策目標的期望所得，然后比較這些期望值，得到最優期望值，相應的備選方案就是決策者應采納的最佳行動方案.這種方法被稱為期望值法.提示和上一講的最大值法相比較，他們之間有什么區別和聯系呢？實際問題

為生產某種產品，投資方有兩種投資方案，一個是建設大工廠，另一個是建設小工廠.大工廠需要投資300萬元，小工廠需要投資150萬元，兩者的使用期限都是10年.估計在此期間，產品暢銷的概率是0.7，產品滯銷的概率是0.3.兩個方案的年度收益情況如下表所示.投資方應該做出怎樣的決策呢？

這個問題我們在上一講是講過的，而現在我們要試著用期望值法來進行風險決策.方案a1：造大工廠a2：造小工廠x1：產品暢銷x2：產品滯銷0.70.310040-2020

兩個方案的10年收益情況單位：萬元期望640340

設離散隨機變量X1，X2分別表示造大工廠和造小工廠投產10年的收益值，由上表可知，我們已知道X1，X2的概率分布如下:X11000-200P0.70.3X2400200P0.70.3算出它們的期望為E（X1）=1000×0.7+（-200）×0.3=640E（X2）=400×0.7+200×0.3=340

以上這兩個值反映了投資方案采納不同基建方案時可能得到的收益值，通常稱為收益的期望或期望收益，所以可以把它們填在表的最后一列中.投資方案采納大工廠的利潤預測為E（X1)——造大工廠投資=640-300=340（萬元）;E（X2)——造大小廠投資=340-150=190（萬元）.注意

兩者比較，應該認為造大工廠的基建方案對投資方案更為有利，這一結果和最大可能法得到的結果是一致的.練一練

某公司準備進口一種新產品，根據國內市場以往同類產品的銷售情況，具有銷售差、銷路一般以及銷售好三種銷售狀態，相應的概率分別是0.4，0.55以及0.05.如果進口并投入市場，在三種狀態銷售下的相應結果是：虧80萬元，盈50萬元以及盈200萬元.當然也可以不進口這種產品，這樣公司既不虧損也不盈利.公司應該使用期望值法進行決策呢？

解：設離散型隨機變量X表示進口這種產品并投入市場的收益值（單位：萬元），由題意容易得到X的概率分布列如下:X-8050200P0.40.550.05X的期望為E（x）=（-80）×0.4+50×0.55+200×0.05=505.還記得他是什么嗎?

上面的期望反映了銷售這種產品的期望收益.如果不進口這種產品，公司既不虧也不盈，期望值應該是0.兩者相比，公司可以采納進口并銷售這種產品的方案.

注意

這里需要特別指出，今后為了敘述起來方便，我們常常不再設離散變量，而直接寫成求各個備選方案損益的期望值，作為比較各方案優劣的基礎.

當然，作出這樣決策后，應該受面臨的風險不小，因為有百分之四十的可能會虧損80萬元.實際問題

長江沿岸的某市為了防止洪水對該市的襲擊，決定整修一段防護堤，當地有記錄的洪水資料可得，一般洪水發生的可能性為70%，他不會對防護堤氣破壞作用；較大洪水發生的可能性為25%，他和對防護堤造成輕微破壞；特大洪水發生的可能性為5%，它能對防護堤造成嚴重破壞.工程技術人員經過反復研究，提出了三個可行方案：整修堤岸，增高并加固堤岸，修建混凝土防水墻.每個方案的實施所需費用（包括修建費用和洪水發生后造成的損失）如下表所示.該市如可進行決策呢?X1：一般洪水X2：較大洪水X3：特大洪水0.700.250.05方案a1：整修堤岸a2：增高并加固堤岸a3：修建混凝土防水墻303540403840504245期望值33.536.140.25三個防洪方案的費用情況單位：千萬元

解：由題意可知，該市的決策目標應該是所需的費用最少.由上表可知，方案a1（整修堤岸）所需的費用的期望值為30×0.70+40×0.25+50×0.05=33.5（千萬元）；方案a2（增高并加固堤岸）所需費用的期望值為35×0.70+38×0.25+42×0.05=36.1（千萬元）;方案a3（修建混凝土防水墻)所需費用的期望為40×0.70+40×0.25+45×0.05=40.25（千萬元）.本例的損益矩陣是

把計算結果填入上表的最后一列，經比較大小，容易看出，整修堤壩的方案所需的方案所需要期望費用33.5千萬元最小，方案a1應該作為最佳方案被采納.這和原來的做法有什么不同？課堂小結1.期望值法：在風險決策問題中，當決策目標確定后，可以考慮用離散型隨機變量來描述面臨的各個行動方案，通過計算期望求出決策目標的期望所得，然后比較這些期望值，得到最優期望值，相應的備選方案就是決策者應采納的最佳行動方案.這種方法被稱為期望值法.2.用期望值進行風險型決策的步驟如下：第一步明確問題的決策目標；第二步確定未來狀態x1，x2，…及其概率，確定可供選擇的各個方案a1，a2，…；第三步確定損益函數R（a，x）或損益函數R；第四步求出各個方案a1，a2，…的損益期望值，根據決策目標求出最佳行動方案.習題答案習題三參考解答.1.用期望值法.(1)決策目標：得分最大.(2)未來狀態及其概率：P（普通硬幣）=2/3，P(特制硬幣）=1/3.備選方案：a1:判斷為普通硬幣，a2：判斷為特制硬幣.(3)損益矩陣R：(4)方案a1：設X1為采納a1的得分值，它是一個離散型隨機變量，分布列為X19-12P2/31/3方案a1的得分期望值為E（X1）=2;同理得，方案a2的得分期望值為1.

因為E（X1）〉E（X2），所以應該采納方案a1，即判斷取出的一枚硬幣為普通硬幣，這時得分的期望值是2.2.用期望值法.決策目標：利潤最大.

損益矩陣，(3)計算方案的期望值.方案a1的期望收益：9000元；方案a2的期望收益：10400元.

作比較，由于10400〉9000，所以最優決策方案a2，即應去采購哈密瓜.3.用期望值法.

我們注意到，用期望值法的風險決策結果與最大可能法的結果不同.期望值法考慮到三點未來天氣的狀態，而最大可能法只考慮未來天晴狀態比較方案a1與a2的優劣.考慮問題的出發點不同，得到的結果就有可能不同.第一個決策目標：收益最大.狀態：x1——新設備暢銷；

x2——新設備滯銷.(2)益損矩陣為(3)方案a1的期望收益為15萬元；方案a2的期望收益為12.5萬元.

經比較，由于15〉12.5，所以采納a1為最佳方案，即出售新設備的圖紙.備選方案a1：出售圖紙；

a2：自己制造.第二個

用同樣的方法，我們可以知道，方案a1的期望收益小于方案a2的期望收益，所以，應采納a2為最佳方案，即公司自己制造新設備.注意：本題說明當未來的狀態改變時，最佳的選擇方案也有可能會改變.4.(1)由于隨意遇到的一名高一(1)班同學可能有票，也可能沒有，這就是可能出現兩種未來狀態x1和x2.題目中沒有直接給出它們的概率，但我們可由已知條件推算出來：