分離變量法-有限長桿上的熱傳導

第二章：分離變量法§2.1

有限長桿上的熱傳導有界弦的自由振動有限長桿上的熱傳導圓域內的二維拉普拉斯方程的定解問題非齊次方程的解法非齊次邊界條件的處理關于二階常微分方程本征值問題的一些結論分離變量法提要:定解問題為,0,0,222><<??=??tLxxuatu一、對此，試探性提出方程組中第一個方程的分離變量形式的非零解。上式分別對x

、t

求偏導上面的結果，反回去代入原方程，得或

這樣，變量被分離了，同時得到兩個常微分方程！二、捆綁邊界條件,解出依據邊界條件,由得到：代入：

：(9)的通解2.:(9)的通解(9)(10)由(10)的前式，得出A=0，后式得出：BL+hB=0

為了滿足邊界條件(10),必須有(平庸解)下面求解邊值問題:(平庸解)二、捆綁邊界條件，解出

方程的非零解為在=0和<0情況下，得出平庸解3.>0：上面方程(超越方程的)的根，可視為曲線交點的橫坐標.●取正根（負根僅差一符號）無窮多．因此，求得了關于方程的本征值：本征函數：●三、在右列方程組中，解出非零的四、寫出疊加形式的解，并捆綁初始條件，確定任意常數。,0,0,222><<??=??tLxxuatu

由于泛定方程和邊界條件都是齊次的,所以疊加之后仍是原方程的解它滿足泛定方程和邊界條件，但不能表征任意初始條件。為了表征任意初始條件，由疊加原理得到一般解：本征解（注：不是通常的傅里葉級數）

非常接近傅立葉級數，稱為廣義傅立葉級數。于是，在的兩端，乘以sinkx，然后在x的變化區間0,L上積分。這里，令：于是有即為最終結果。帶入原解式有界桿的長度為L，其兩端保持絕熱，已知桿內初始溫度分布為(x)，求解桿內任意時刻的溫度分布的定解問題：(1)(2)(3)例1：熱傳導(第二類邊界條件)§2.2

有限長桿上的熱傳導設方程（1）有形式解：代入方程（1）分離變量：（4）（5）（6）分離變量：將邊界條件（3）代入形式解（4）：這樣空間函數

X(x)

構成下列常微分方程的邊值問題:（8）（7）

：(9)的通解2.:(9)的通解(9)(10)有特解:X0(x)=A(常數)由(10)得

,

為了滿足邊界條件(10),必須有(平庸解)但下面求解邊值問題：為了滿足邊界條件(10),必須有3.,方程(9)的通解為(9)(10)求解邊值問題：將代入關于

T的方程:這個解是定解問題的本征解，它滿足泛定方程和齊次邊界條件，但是不能表征任意初始條件其通解為這樣

解方程:利用傅里葉系數公式,得到C0是本征值=0相應的特解X0(x)=A

初始條件：一般解與初始條件：如果：(n=1,2,3,……)(n=0,1,2,3,……)問題：系統的穩態溫度概念：系統在任意時刻的平均溫度定義為u(x,t)對空間的積分除以系統的長度LLLxx絕熱曲線下面積相等(總熱量保持恒定)系統的穩態溫度：1.直觀分析系統最終趨于熱平衡溫度:

這一過程是絕熱的(總熱量保持恒定)：初始溫度的平均值系統的穩態溫度：2.動力學分析熱傳導的動力學行為:熱傳導的穩態行為:系統在條件下的穩態溫度:系統是絕熱的(總熱量保持恒定):()熱傳導方程的穩態解（適用于任何情況）初始溫度的平均值系統的穩態溫度：3.穩態分析將u(x,t)代入，可求出平均溫度U(t)=C0有界桿的長度為L，其左端保持恒定溫度(攝氏零度)，右端絕熱。已知桿內初始溫度分布為(x),求解關于桿內任意時刻溫度分布的定解問題：(1)(2)(3)例２：熱傳導(混合邊界條件)設方程（1）有形式解：代入方程（1）分離變量：（4）（5）（6）分離變量：將邊界條件（3）代入形式解（4）：這樣空間函數X(x)構成下列常微分方程的邊值問題:（8）（7）為了滿足邊界條件(10),必須有3.>0,方程(9)的通解為(9)(10)

求解邊值問題：：在＝0和<0時，得到平庸解這個解是定解問題的本征解,它滿足泛定方程和齊次邊界條件其通解為這樣解方程:

利用傅里葉系數公式,得到一般解與初始條件：系統從左端逸出(或吸收熱量)，最終趨于熱平衡溫度:系統的穩態溫度：左端點處溫度為零熱量流動的方向(高溫→低溫)周圍溫度為零已知:初始溫度分布為求:桿上的溫度變化規律?L例３：熱傳導(第三類邊界條件)有界桿的長度為L，側面絕熱，其左端保持恒定溫度（攝氏零度），右端處桿的熱量自由發散到周圍溫度為零的介質中去（參考第一章的第三類邊界條件）左端點處溫度為零熱量流動的方向(高溫→低溫)周圍溫度為零解:這是一個定解問題,其一維熱傳導方程為其中邊界條件為其中桿內的熱傳導系數左端溫度為零桿與周圍介質的熱交換系數周圍介質內的熱傳導系數L當桿與外界有熱交換時，熱量由桿內(高溫)向桿外(