管理里統計學3統計資料的綜合

表示統計資料的特征數有哪些？幾何平均數與調和平均數各適合于什么情況？計算樣本方差與總體方差公式有何區別？集中位置分散程度偏倚程度3.1表示集中位置的特征數3.1.1平均數算術平均數（Arithmeticaverage）幾何平均數（GeometricMean）調和平均數定義：一組n個觀測值x1,x2,…，xn的算術平均數，定義為(1)算術平均數（Arithmeticaverage）如果資料已經分組，組數為k，用x1,x2,…，xk

表示各組中點，f1，f2…,fk

表示相應的頻數，那么(1)算術平均數（Arithmeticaverage）表3-1某校125位大學一年級新生體重表體重（公斤）組中值(x)

人數(f)46—4847449—51502052—54532555—57563858—60592161—63621264—66655(1)算術平均數（Arithmeticaverage）其平均體重：=＝＝55.592(1)算術平均數（Arithmeticaverage）

當時最小

性質(1)算術平均數（Arithmeticaverage）在數據為環比類型的問題中，算術平均數是不適用的。例如下表是天津市工業總產值在“十五”期間的逐年增長率，如求該期間平均增長率，算術平均數是不恰當的。幾何平均數可以解決這個問題。(2)幾何平均數（GeometricMean）表3-2天津市工業總產值年份比上年增長％2000200114.0200219.6200324.1200431.0200520.8（天津市2005統計年鑒）

(2)幾何平均數（GeometricMean）定義:一組n個數據的幾何平均數定義為在上式中，依次為114.0，119.6，124.1，十五期間天津市工業總產值年均增長率為21.8%。131.0，120.8于是幾何平均數：(2)幾何平均數（GeometricMean）當數據是相對變化率，求平均數時，算術平均數也不恰當。例如：甲乙兩地相距120公里，某人乘車往返甲乙兩地之間，去時速度每小時20公里，回來時速度為每小時30公里，若求平均速度，這時用算術平均數是不對的，但調和平均數可解決此類問題。(3)調和平均數在上例中，（公里/小時）定義：一組n個數據的調和平均數H，由下式定義(3)調和平均數算術平均數、調和平均數、幾何平均數是三種不同形式平均數，分別有各自的應用條件

進行統計研究時，適宜采用算術平均數時就不能用調和平均數或幾何平均數，適宜用調和平均數時，同樣也不能采用其他兩種平均數。但從數量關系來考慮，如果用同一資料（變量各值不相等）：調和平均數≤幾何平均數≤算術平均數算術平均數表示了集中位置特征，它照顧到每一個值，但它不見得是出現次數最多的值（甚至也可能不是觀測值中的一個）。所以有必要研究表示集中位置的其它的特征數。3.1.2眾數（Mode）定義：對于有頻數分布的變量，它的眾數指頻數最大的變量的值表3-3頻數分布表Xf3155273對于已分組且等組距的頻數分布，根據最大頻數，可求得眾數所在組。根據眾數定義，可知眾數不唯一。3.1.2眾數（Mode）算術平均數作為集中位置的特征還有一缺點，就是受觀測值中極端值的影響很大，而一組觀測值中的極端值常常沒有代表性。中位數將避免這種影響。3.1.3中位數（Median）

一組n個觀測值按數值大小排列，處于中央位置的值稱為中位數以表示，，當n為奇數，當n為偶數定義：即3.1.3中位數（Median）性質：一組觀測值中小于Me的個數和大于Me的個數相等。當最小第25百分位數又稱第一個四分位數（FirstQuartile）,用Q1表示；第50百分位數又稱第二個四分位數（SecondQuartile），用Q2表示；第75百分位數又稱第三個四分位數（ThirdQuartile）,用Q3表示。中位數是第50百分位數一組n個觀測值按數值大小排列如x1,x2,x3,x4…處于p%位置的值稱第p百分位數。定義：3.1.4百分位數（Percentile）計算第p百分數第1步：以遞增順序排列原數據（即從小到大排列）。第2步：計算指數

第3步1.若i不是整數，將i向上取整。大于I的毗鄰整數為第p百分位數的位置。2.若i是整數，則第P百分位數是第i項與第（i＋l）項數據的平均值。如何計算百分位數2210225523502380238023902420244024502550263028253.1.4四分位數（quartile）數據的變異程度產品質量檢查的結果說明生產是否穩定測量的結果說明測量方法或儀器是精密還是粗糙學生的成績成績是否整齊（而不是高低）3.2表示變異（分散）程度的特征數定義

其中xmax和xmin分別為數據中的極大值和極小值。3.2.1極差（或稱全距Range）R對于已分組的頻數分布（組數為k）定義平均差M.D.是離差的絕對值的平均數，即3.2.2平均差（MeanAbsoluteDeviation）方差

樣本

對于已分組的頻數分布（組數為k）總體

樣本

總體

3.2.3方差（Variance），標準差（Standard

Deviation）標準差樣本標準差總體標準差樣本標準差總體標準差對于已分組的頻數分布（組數為k）標準差的單位與X的單位相同。3.2.3方差（Variance），標準差（Standard

Deviation）定義變異系數C是一個無量綱的量。它適于用在比較有不同算術平均數或有不同量綱的兩組數據的情況。例如比較大學生身高與小學生身高，或比較130名大學生身高和體重哪個變化波動范圍比較大時，都可用變異系數。3.2.4變異系數（CoefficientofVariation）3.3.1比較眾數、中位數和算術平均數的相對位置

下圖列舉出了對稱的、具有左偏態（負偏態）和右偏態（正偏態）的頻數分布的例子。注意到它們的特點是：①對稱的分布的眾數、中位數和算術平均數相同；②具有偏倚性的分布，算術平均數突出在外，偏向分布的尾端，而中位數則介于眾數與算術平均數之間。偏倚性是表示各觀測值分布不對稱情況或程度的。3.3表示偏倚情況或程度的特征數

圖3-13.3.1比較眾數、中位數和算術平均數的相對位置>Me>Mo<Me<Mo

=Me=Mo可以看出，對于單峰的分布，對稱態：左偏態：右偏態：3.3.1比較眾數、中位數和算術平均數的相對位置（1）Pearson偏倚系數Pearson分布對稱，則k=0左偏態，則k<0右偏態，則k>03.3.2定量地描述偏倚性，常用的兩個公式（2）用標準化的三階矩陣g表示3.3.2定量地描述偏倚性，常用的兩個公式

3.4五數概括法五數概括法（2）第1四分位數（Q1）。（3）中位數（Q2）。（4）第3四分位數（Q3）。（5）最大值。（1）最小值。首先將數據按遞增順序排列，然后很容易就能確定最小值、3個四分位數和最大值了。對12個月薪數據的樣本，按照遞增順序排列如下：221022552350|238023802390|242024402450|255026302825Q1＝2365Q2＝2405Q3＝2500上述起薪數據以五數概括為：2210，2365，2405，2500，2825。3.4五數概括法盒形圖實際上是以圖形來概括數據。我們將盒形圖延至這一章才講是因為它的關鍵是計算中位數和四分位數Q1和Q3。此外還將用到四分位數間距IQR＝Q3－Q1

。盒形圖的畫法步驟如下：

（1）畫一個方盒，其邊界恰好是第1和第3四分位數。對于上述的起薪數據，Q1＝2365，Q3＝2500。這個方盒包含了中間的50％的數據。（2）在方盒上中位數的位置畫一條垂線（對起薪數據，中位數為2405）。因此中位數將數據分為相等的兩個部分。3.5盒形圖（3）利用四分位數間距IQR=Q