高中數(shù)學(xué)蘇教版第一章立體幾何初步空間幾何體的表面積和體積 全國(guó)獲獎(jiǎng)

一、填空題1.一個(gè)高為2的圓柱，底面周長(zhǎng)為2π，該圓柱的體積為________．2.若在三棱錐PABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則三棱錐PABC的體積等于________．3.設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2，若它們的側(cè)面積相等，且eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，則eq\f(V1,V2)的值是________．4.現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5、高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個(gè)．若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個(gè)，則新的底面半徑為________．5.如圖，在矩形ABCD中，E為邊AD的中點(diǎn)，AB＝1，BC＝2，分別以A，D為圓心，1為半徑作圓弧EB，EC(E在線段AD上)．若由兩圓弧EB，EC及邊BC所圍成的平面圖形繞直線AD旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的體積為__________．(第5題)(第6題)6.如圖所示，已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長(zhǎng)均為1，且AA1⊥底面ABC，則三棱錐B1ABC1的體積為________．7.已知一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖(扇形)恰好是一個(gè)半圓的四分之三，若此扇形的面積為S1，圓錐的表面積為S2，則S1∶S2＝________．8.如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，M，N分別為AB，AC的中點(diǎn)，沿MN將△AMN折起，使點(diǎn)A到A′的位置．若平面A′MN與平面MNCB垂直，則四棱錐A′MNCB的體積為________．9.若長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2a，a，a的長(zhǎng)方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為__________．10.如圖所示，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個(gè)球(球的直徑大于8cm)放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm，如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為________cm3.二、解答題11.如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC＝5，BB1＝BC＝6，D，E分別是AA1和B1C的中點(diǎn)．(1)求證：DE∥平面ABC；(2)求三棱錐EBCD的體積．12.在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AA1，∠CAB＝eq\f(π,2).(1)求證：CB1⊥BA1；(2)已知AB＝2，BC＝eq\r(5)，求三棱錐C1-ABA1的體積．13沙漏是古代的一種計(jì)時(shí)裝置，它由兩個(gè)形狀完全相同的容器和一個(gè)狹窄的連接管道組成，開始時(shí)細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙通過(guò)連接管道全部流到下部容器所需要的時(shí)間稱為該沙漏的一個(gè)沙時(shí)．如圖，某沙漏由上下兩個(gè)圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為8cm，細(xì)沙全部在上部時(shí)，其高度為圓錐高度的eq\f(2,3)(細(xì)管長(zhǎng)度忽略不計(jì))．(1)如果該沙漏每秒鐘漏下cm3的沙，那么該沙漏的一個(gè)沙時(shí)約為多少秒(精確到1s)?(2)細(xì)沙全部漏入下部后，恰好堆成個(gè)一蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆，求此錐形沙堆的高度(精確到cm)．1.2π解析：由底面周長(zhǎng)為2π可得底面半徑為1，S底＝πr2＝π，V＝S底·h＝2π.2.eq\r(3)解析：依題意有，三棱錐PABC的體積V＝eq\f(1,3)S△ABC·PA＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(3)×2×3＝eq\r(3).3.eq\f(3,2)解析：設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的底面半徑和高分別為r1，r2和h1，h2，則2πr1h1＝2πr2h2，所以eq\f(h1,h2)＝eq\f(r2,r1).又eq\f(S1,S2)＝eq\f(πreq\o\al(2,1),πreq\o\al(2,2))＝eq\f(9,4)，所以eq\f(r1,r2)＝eq\f(3,2).所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(πreq\o\al(2,1)h1,πreq\o\al(2,2)h2)＝eq\f(req\o\al(2,1),req\o\al(2,2))·eq\f(h1,h2)＝eq\f(req\o\al(2,1),req\o\al(2,2))·eq\f(r2,r1)＝eq\f(3,2).4.eq\r(7)解析：底面半徑為5、高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱的總體積為eq\f(1,3)π·52×4＋π·22×8＝eq\f(196π,3).設(shè)新的圓錐和圓柱的底面半徑為r，則eq\f(1,3)π·r2·4＋π·r2×8＝eq\f(28π,3)r2＝eq\f(196π,3)，解得r＝eq\r(7).5.eq\f(2π,3)解析：旋轉(zhuǎn)所形成的幾何體是高為AD，底面半徑為AB的圓柱挖去分別以A，D為球心、半徑為AB的兩個(gè)半球，V＝π×12×2－2×eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(2π,3).6.eq\f(\r(3),12)解析：三棱錐B1ABC1的體積等于三棱錐AB1BC1的體積，三棱錐AB1BC1的高為eq\f(\r(3),2)，底面積為eq\f(1,2)，故其體積為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),12).7.8∶11解析：設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，則2πr＝eq\f(3,4)πl(wèi)，則l＝eq\f(8,3)r，所以S1＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)r))eq\s\up12(2)×eq\f(3π,4)＝eq\f(8,3)πr2，S2＝eq\f(8,3)πr2＋πr2＝eq\f(11,3)πr2，因此S1∶S2＝8∶11.8.3解析：∵平面A′MN與平面MNCB垂直，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，可知A′E就是四棱錐A′MNCB的高，A′E＝eq\r(3).又四棱錐的底面面積是eq\f(2＋4,2)×eq\r(3)＝3eq\r(3)，∴V＝eq\f(1,3)×3eq\r(3)×eq\r(3)＝3.9.6πa2解析：由于長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2a，a，a，則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為eq\r(（2a）2＋a2＋a2)＝eq\r(6)a.∴2R＝eq\r(6)a，∴S球＝4πR2＝6πa2.10.eq\f(500π,3)解析：作出該球軸截面的圖形，如圖所示，依題意得BE＝2，AE＝CE＝4，設(shè)DE＝x，故AD＝2＋x，因?yàn)锳D2＝AE2＋DE2，解得x＝3，故該球的半徑AD＝5，所以V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(500π,3)(cm3)．11.(1)證明：如圖，取BC的中點(diǎn)G，連結(jié)AG，EG.∵E是B1C的中點(diǎn)，∴EG∥BB1，且EG＝eq\f(1,2)BB1.由題意知，AA1∥BB1.而D是AA1的中點(diǎn)，∴EG∥AD，且EG＝AD.∴四邊形EGAD是平行四邊形．∴ED∥AG.又DE?平面ABC，AG?平面ABC，∴DE∥平面ABC.(2)解：因?yàn)锳D∥BB1，所以AD∥平面BCE.所以VEBCD＝VDBCE＝VABCE＝VEABC.由(1)知，DE∥平面ABC，所以VEBCD＝VEABC＝VDABC＝eq\f(1,3)AD·eq\f(1,2)BC·AG＝eq\f(1,6)×3×6×4＝12.12.(1)證明：如圖，連結(jié)AB1，∵ABCA1B1C1是直三棱柱，∠CAB＝eq\f(π,2)，∴AC⊥平面ABB1A1.故AC⊥BA1.∵AB＝AA1，∴四邊形ABB1A1是正方形．∴BA1⊥AB1.又CA∩AB1＝A，∴BA1⊥平面CAB1.又CB1?平面CAB1，故CB1⊥BA1.(2)解：∵AB＝AA1＝2，BC＝eq\r(5)，∴AC＝A1C1＝1.由(1)知，A1C1⊥平面ABA1，∴VC1-ABA1＝eq\f(1,3)S△ABA1·A1C1＝eq\f(1,3)×2×1＝eq\f(2,3).13.解：(1)開始時(shí)，沙漏上部分圓錐中的細(xì)沙的高為H＝eq\f(2,3)×8＝eq\f(16,3)(cm)，底面半徑為r＝eq\f(2,3)×4＝eq\f(8,3)(cm)，V＝eq\f(1,3)πr2H＝eq\f(1,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\