高中數學第二章 平面向量章末復習

ruize章末復習學

習

目

標1.回梳理向量的有關概念步體會向量的有關概念的特征系整理向量線性運算、數量積運算及相應的運算律和運算性.3.體會應用向量解決問題的基本思想和基本方進步理解向量的“工具”性作用．

ruize1．向量的運算：設a＝x，)，b＝x，)1122向量運算

法則(或幾何意義

坐標運算加法

a＋b＝x＋，＋)1212向量的線性運算減法

a－b＝x－，－)1212數乘

(1)|a＝λa；當＞時λa方向與a的方向相同；當＜，a的方向與a方向

a＝λx，)11

12121121212112212向量的數量積運算

ruize相反；當＝時λ＝0ab＝ab|cos(為a與的角定0a，數量積的幾何意義是a的與b在a方上的投影的積

ab＝x＋12122．個(1)平向量基本定理①定理：如果e，e是一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量，有且只有一對實數，，a＝e＋e.②基底：把不共線的向量e，叫做表示這一平面內所有向量的一組基底．

ruize(2)向共線定理向量a≠0與b共，且僅當有唯一一個實數，使＝a3．向量的平行與垂直a，b為零向量，設a＝x，)，b＝x，)，1122a∥ba⊥b

有唯一實數λ使b＝a≠0)ab0

xy－y＝1221xx＋y＝12121．面內的任何兩個向量都可作為一組基底(×

)提示→→2．若向B和量D共線，則，B，，四點在同一直線上．×)提示∥CD3．若ab＝，a＝0或b＝0×)4．若ab>0，則和b的夾角為銳角；若<0，則a和b的角為鈍角(×)提示abab>0ab0.abab<0abπ.

ruize類型一向量的線性運算→→→→例1若D點三角形ABC邊BC上且D4DB＝rABsAC則3＋值為

)16A.58C.5

12B.54D.5考點平向量基本定理的應用題點利平面向量基本定理求數★答案★→→→→解析CDDBsAC→4→4→→→→CD(ABAC55

1μADAD→1μADAD→24441248，s，3s.55555反思與感悟向共線定理和平面向量基本定理是進行向量合成與分解的核心，是向量線性運算的關鍵所在，常應用它們解決平面幾何中的共線、共點問題．→→跟蹤訓練1(2017·廣深圳二模如所示方形ABCD中是的中點C＝→＋，λ＋等()4A.315C.8考點平向量基本定理的應用題點利平面向量基本定理求數★答案★→→→解析CμBD→→→→(ABBM(BAAD

5B.3D．λ

→→→→2(μABλμAD→→→ABADμ11μ，35μ，B.3

k1111ruizek1111類型二向量的數量積運算例2已a＝，α)，b＝β，β)，且ka＋＝akb>0)．(1)用示數量積ab(2)求ab最小值，并求出此時a與b的角θ的小．考點平向量數量積的運算性與法則題點求量的數量積的最值解

(1)kabb(ab3(ak)2∴2a

2abb

2

3a

6ab3kb2.∴k2

3)a

28ka(1kb20.∵acos21bcos2βsin2β1∴2

38ka13

2

02k2221∴ab(>0)8k4k2111(2)abk.4k4k11(k)k([∞411∴1fk)f(1)×1)，42abcosθ

ab，ab∵∈180∴60°.反思與感悟數積運算是向量運算的核心，利用向量數量積可以解決以下問題：(1)設a＝x，，b＝x，)，1122a∥b?y－＝，1221a⊥b?x＋＝0.1212(2)求量的夾角和模的問題①設a＝x，，a＝x＋2.②兩向量夾角的余弦值≤≤abcos＝＝ab

xx＋y1212x2＋2＋21122

.跟蹤訓練2已△ABC是長為1的邊三角形，點D，分別是邊AB，的點，連→→接DE并長到點F，使得DE2EF，則·的值為)

→→→→13ACruize→→→→13AC51111A．B.C.D.8848考點平向量數量積的概念與何意義題點平向量數量積的概念與何意義★答案★→→→→→→→→3→解析∵ABAFADABAC2224∴·AFAB)·

→→2411133113131×××＋×××＋－.22244244288類型三向量坐標法在平面幾何的應用例3金華十校期已知等邊ABC的長為2P為ABC內包括三條一則→→→PB＋)的大值是)3A．B.C．D．22考點平向量數量積的坐標表與應用題點坐形式下的數量積運算★答案★解析BCOOxy(03)C(1,0)Pxy→→→A(3yPBx

44→→→44→→→44→→→A)2(x3y)·(2(2

33y23y)2y22tx

2

2

ABC0

2

Pt

7maxA)2反思與感悟把何圖形放到適當的坐標系中，就賦予了有關點與向量具體的坐標，這樣就能進行相應的代數運算和向量運算，從而解決問題．這樣的解題方法具有普遍性．跟蹤訓練3如半徑為3的形的心角為120°點C在→→→若＝μOB，λ＋等()

上且∠＝A.3

B.

3343C.3

D．3考點平向量基本定理的應用題點利平面向量基本定理求數★答案★解析∠90°OOCy

32133ruize32133A(0C(B(×30°330°)→→→OλOAμOB(33)3×

313×22

3μ××33×μ2

2μ3μ3.→→1．D為△ABC所平面內一點BD＝CD則(→1→4→AD＝－＋33

)

ruize→→1→＝AB－33→→1→＝AB－32→1→3→AD＝－＋22考點向加減法的綜合運算及用題點用知向量表示未知向量★答案★→→→→→→解析∵CD∴AD→→→∴AD3AC→3→1→∴AB2212．知a＝，ab，a－22

＝，則a與的角等于)A．45°C60°D120°考點平向量數量積的應用題點向模與夾角的綜合應用★答案★解析abθ1aab|·cosθa21b|cosθ①2ab2

a2

b2

2ab1b211b1.1①②cosθ.2θ∈C.3．知向量a＝，＝－若ma＋b與a－b共，則的為

)1A.B．．2

D．－考點向平行與垂直的坐標表的應用題點已向量平行求參數★答案★

ruize解析a4bm4,38)ab∵a4ba2b∴4)×1)m×02.→→→→→→4．向O＝，－3)，OA＝OB，OAOB＝，＝________.考點平向量數量積的應用題點利數量積求向量的模★答案★25→→解析OOA|OB10→AB2025平面向量a＝1)b，存在不同時為0的數k和使x＝a＋t222y＝－a＋b，且x⊥y，試求函數關系式＝t)．考點平向量數量積的坐標表與應用題點坐形式下的數量積運算3解a(31)b20a2b1x⊥[a(23)bkab0

－b，k

2

abkt2

3)ab(2

3)b0114k3t0kt33)(tt344

31f(tt3t41由于向量有幾何法和坐標法種表示方法的算也因為這兩種不同的表示方法而有兩

ruize種方式，因此向量問題的解決，理論上講總共有兩個途徑，即基于幾何表示的幾何法和基于坐標表示的代數法，在具體做題時要善于從不同的角度考慮問題．2向是一個有“”幾何量因在研究向量的有關問題時一定要結合圖形進行分析判斷求解，這是研究平面向量最重要的方法與技.一、選擇題1．列命題中正確的()→→→OA－→→＋＝0→C0AB＝0→→→→AB＋CD＝考點向的概念題點向的性質★答案★→→→→→解析OBBAABBA→→→00AB0.2．知A，三點在一條直線上，且A(3，－6)，(－，C點的橫坐標為，C點的縱坐標()A．－B．9C．－．13考點向共線的坐標表示的應題點已三點共線求點的坐標

ruize★答案★→→解析(yA8,8)AC(336∵BC∴y9.88→→3．平面直角坐標系xOy，已知四邊形ABCD是行四邊形AB＝，AD＝，→→則D等()A．．C3D．考點平向量數量積的坐標表與應用題點坐形式下的數量積運算★答案★→→→→→解析∵ABCDABAD(1(2,1)(3AD2×(1)×5.4．遼大河高中高一期已平面向量a，3)＝(4，2)，＋λ與a垂直，則等()A．－C．1

B1D．考點向平行與垂直的坐標表的應用題點已向量垂直求參數★答案★解析aλbλ3λaba(b)·a043(21.5．向量a與b的角為，b＝4，(a＋ba－3b)＝－，則向量a的為)A．C6

B4D．考點平向量模與夾角的坐標示的應用題點利坐標求向量的模★答案★解析·bab|·cosa(2)·(a3ba2

b2

aba22|a9672.a6.

112B.，11C.，21112B.，11C.，216．義運算a×b＝abθ其中θ是量b的夾角．x＝y＝，xy＝－，則x×等()A．C8或－8

B－D．考點平向量數量積的概念與何意義題點平向量數量積的概念與何意義★答案★解析∵xy5xyxy3∴θ.2554θ∈π]∴sin，54∴xy|xy|·sinθ2××5→→→7如圖所示在△ABC中AD＝＝ECCD與BE交點F設＝＝AF＝xa＋y，則(，)為)A.，22考點平向量基本定理的應用題點利平面向量基本定理求數★答案★→→解析B.

D.，32

→ACAB(1λλAC→ABAC→ACAB(1λλAC→ABACμABAC121232|→→→→→→→→ABBFλ

1→→→1→22→→CF→→→→→μ

1→→→→22→→ABAμ12

3→1→1→FABAC33二、填空題8．a＝，b＝，a與b的角為，若(3a＋b⊥a－b，的為_______．考點平向量數量積的應用題點已向量夾角求參數★答案★

238解析(a5bmabm2m3)abb

0m3)××60°235×m.89．菱形ABCD的長為2則－＋CD＝考點向加、減法的綜合運算應用題點利向量的加、減法化簡量★答案★2解析

|→→→||→→→|→→||→ABCDABCDAD10．知向量a，b夾為，a＝，a－＝10，b＝________.考點平向量數量積的應用題點利數量積求向量的模★答案★32解析ab45°a|2ab10.4a

2b

2

4a

224b2

4|b45°10

ruizeb2

22|b60b≥32.．知a是面內的單位向量若向量b足a－b＝，則b的取值范圍_．考點平向量數量積的應用題點利數量積求向量的模★答案★[0,1]解析bababb2

a||bθb2

π∴ba|cosθcos(b∈0∴≤b≤1.三、解答題→→12．四宜中高一月如，在OAB中為段AB上一點，且OP＝＋→yOB→→(1)若＝，求，的值；→→→→→→→→(2)若＝PB，OA＝，|OB＝，且O與的角為60°，求OP的值．考點平向量數量積的概念與何意義題點平向量數量積的概念與何意義解

→→→1→1→(1)APPBOOAOB221x.2→→(2)A3PB

OPOAOB·→→→2ruizeOPOAOB·→→→2→1→3→OOAO