定積分在幾何學上的應用

定積分在幾何學上的應用541第一頁，共五十二頁，2022年，8月28日542學習指導熟練運用定積分計算直角坐標系和極坐標系中平面圖形的面積；熟練運用定積分計算旋轉體的體積和平行截面為已知的空間立體的體積；熟練運用定積分計算平面曲線的長度。第二頁，共五十二頁，2022年，8月28日543注意事項直角坐標系中求平面圖形的面積時可能選X作為積分變量，也可能選Y作為積分變量，需視具體情況而定；求旋轉體的體積時要注意旋轉軸和積分變量；要注意平面曲線的數學表達式的具體形式，相應的計算曲線長度的公式有所不同，需區分清楚。

第三頁，共五十二頁，2022年，8月28日544一、平面圖形的面積1、直角坐標情形2、極坐標情形第四頁，共五十二頁，2022年，8月28日545曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積1、直角坐標系情形第五頁，共五十二頁，2022年，8月28日546面積元素例1.

計算兩條拋物線在第一象限所圍所圍圖形的面積.解:

由得交點第六頁，共五十二頁，2022年，8月28日547兩曲線的交點解選為積分變量第七頁，共五十二頁，2022年，8月28日548解先求兩曲線的交點。第八頁，共五十二頁，2022年，8月28日549如果曲邊梯形的曲邊為參數方程曲邊梯形的面積第九頁，共五十二頁，2022年，8月28日5410一般地,當曲邊梯形的曲邊由參數方程

給出時,按順時針方向規定起點和終點的參數值則曲邊梯形面積第十頁，共五十二頁，2022年，8月28日5411例3.求橢圓解:

利用對稱性,所圍圖形的面積.有利用橢圓的參數方程應用定積分換元法得當a=b

時得圓面積公式第十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日5412例4.求由擺線的一拱與x

軸所圍平面圖形的面積.解:第十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日5413小結第十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日5414第十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日5415第十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日54162.極坐標情形在平面內取一個定點O，叫極點，引一條射線Ox，叫做極軸，再選定一個長度單位和角度的正方向(通常取逆時針方向)。對于平面內任何一點M，用ρ表示線段OM的長度，θ表示從Ox到OM的角度，ρ叫做點M的極徑，θ叫做點M的極角，有序數對(ρ,θ)就叫點M的極坐標，這樣建立的坐標系叫做極坐標系。極坐標是二維坐標系

x=r*cosθ,y=r*sinθ,極坐標簡介第十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日54172.極坐標情形求由曲線及圍成的曲邊扇形的面積.在區間上任取小區間則對應該小區間上曲邊扇形面積的近似值為所求曲邊扇形的面積為第十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日5418第十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日5419第十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日5420對應

從0變例5.計算阿基米德螺線解:到2

所圍圖形面積.第二十頁，共五十二頁，2022年，8月28日54212a例6.計算心形線所圍圖形的面積.解:第二十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日5422例7.

計算心形線與圓所圍圖形的面積.解:

利用對稱性,所求面積第二十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日5423立體體積的計算1、旋轉體體積計算方法2、平行截面面積為已知的立體體積第二十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日5424圓柱圓錐圓臺1、旋轉體體積計算方法旋轉體就是由一個平面圖形繞這平面內一條直線旋轉一周而成的立體.直線叫做旋轉軸.第二十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日5425旋轉體的體積為第二十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日5426第二十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日5427第二十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日5428例1解第二十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日5429第二十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日5430

解

軸圍成的圖形繞x軸旋轉而成的立體.

旋轉橢球體的體積為

例2

計算由橢圓所成的圖形繞x軸旋轉而成的旋轉體(旋轉橢球體)的體積.

第三十頁，共五十二頁，2022年，8月28日5431

例3

計算由擺線xa(tsint),ya(1cost)的一拱,

直線y0所圍成的圖形分別繞x軸、y軸旋轉而成的旋轉體的體積.

解所給圖形繞x軸旋轉而成的旋轉體的體積為第三十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日5432

例3

計算由擺線xa(tsint),ya(1cost)的一拱,

直線y0所圍成的圖形分別繞x軸、y軸旋轉而成的旋轉體的體積.

解

設曲線左半邊為x=x1(y),右半邊為x=x2(y).

所給圖形繞y軸旋轉而成的旋轉體的體積為63a3

.

第三十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日5433體積元素為例4*解第三十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日54342、平行截面面積為已知的立體體積如果一個立體不是旋轉體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計算.第三十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日5435

設立體在x軸上的投影區間為[a,

b],

立體內垂直于x軸的截面面積為A(x).

立體的體積元素為

立體的體積為A(x)dx.第三十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日5436截面面積為A(x)的立體體積：

例5

一平面經過半徑為R的圓柱體的底圓中心,

并與底面交成角.

計算這平面截圓柱所得立體的體積.

建立坐標系如圖,則底圓的方程為x2y2R2.

所求立體的體積為

解

立體中過點x且垂直于x軸的截面為直角三角形,其面積為第三十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日5437

例6

求以半徑為R的圓為底、平行且等于底圓直徑的線段為頂、高為h的正劈錐體的體積.

建立坐標系如圖,則底圓的方程為x2y2R2.于是所求正劈錐體的體積為截面面積為A(x)的立體體積：

解

立體中過點x且垂直于x軸的截面面積為第三十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日5438三、平面曲線的弧長1、平面曲線弧長的概念2、平面曲線弧長的計算第三十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日54391、平面曲線的弧長定義:

若在弧

AB

上任意作內接折線,當折線段的最大邊長→0時,折線的長度趨向于一個確定的極限,此極限為曲線弧AB

的弧長,即并稱此曲線弧為可求長的.定理:

任意光滑曲線弧都是可求長的.(證明略)則稱第三十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日5440弧長元素(弧微分):因此所求弧長2、平面曲線弧長的計算（1）直角坐標情形:曲線弧由直角坐標方程給出第四十頁，共五十二頁，2022年，8月28日5441曲線弧由參數方程給出:弧長元素(弧微分):因此所求弧長（2）參數方程情形第四十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日5442（3）極坐標方程情形:曲線弧由極坐標方程給出第四十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日5443所求弧長為例1解第四十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日5444例2解積分上限函數的性質第四十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日5445例3.

兩根電線桿之間的電線,由于其本身的重量,成懸鏈線,求這一段弧長.解:下垂懸鏈線方程為第四十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日5446例4證第四十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日5447根據橢圓的對稱性知故原結論成立.第四十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日5448

弧長元素為從而,所求弧長例5解第四十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日5449例6解第四十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日5450例7解第五十頁，共五十二頁，2022年，8月28日54511、直角坐標方程給出的平面圖形的面積一般以直角坐標為積分變量；四、小結2、參數方程給出的平面圖形的面積可由直角坐標面積計算公式經積分變量替換得到；3、極坐標方程給出的平面圖形的面積一般以極坐標為積分變量