概統第三章3-1至3-4

第三章二維隨機變量及其分布二維隨機變量二維離散型隨機變量的分布律及性質二維連續型隨機變量及其概率密度兩個隨機變量的函數的分布除一維隨機變量外，我們往往還要同時考慮兩個，三個或更多隨機變量構成的隨機變量組，它們的值分別由兩個，三個或更多個數來確定，這樣的隨機變量分別叫做二維，三維或多維隨機變量．引言例如：打靶時，彈著點就由兩個隨機變量——彈著點的橫坐標，縱坐標所構成。例如：煉鋼煉出每爐鋼的硬度，含碳量，含硫量,在一起組成了一個三維隨機變量§1二維隨機變量簡言之，若n維變量的取值是隨試驗結果而確定的，則稱這個n維變量

為n維隨機變量，相應地，稱的取值規律為n維分布.定義一:設是定義在Ω={e}上的隨機變量，由它們構成的一個向量叫做n維隨機向量或n維隨機變量.定義二:設(X,Y)

是二維隨機變量，對任意實數x,y,稱為二維隨機變量(X,Y)的聯合分布函數，簡記為:如果將二維隨機變量(X,Y)看成是平面上隨機點的坐標，那么，分布函數F(x,y)在(x,y)處的函數就是隨機點(X,Y)

落在如下圖3-1所示的以(x,y)為頂點，而位于該點左下方的無窮矩形內的概率．對固定的x,當時，由上定義，由圖3-2易得:

分布函數具有以下性質：性質1

F(x,y)是變量x,y

的不減函數，即對于固定的y，當時性質2，且對于固定的y,對于固定的x,性質3分布函數，它也有類似二維隨機變量的分布函數的性質．即F(x,y)關于x右連續，關于y也右連續。同樣，對于n個實數x1,x2,…,xn,n元函數例1

隨機變量(X,Y)的分布函數為求系數A,B,C.稱n維隨機變量的聯合分布函數或簡稱例1

隨機變量(X,Y)的分布函數為求系數A,B,C.解：由分布函數的性質有從而對任意的x,y有將B,C的值代入得：于是有§2二維離散型隨機變量的分布律及性質一、二維離散型隨機變量的聯合概率分布定義若二維隨機變量(X,Y)

的可能取值的全體為有限或可數多個數組，則稱(X,Y)為二維離散型隨機變量．象一維離散型分布那樣，可以用一個概率分布來表達二維離散型分布．設二維離散型隨機變量可能的取值為對二維離散型隨機變量，由圖3-1知離散型隨機變量圖3-1例1一口袋中有三個球，它們依次標有數字1、2、2.從這袋中任取一球后，不放回袋中，再從袋中任取一球.設每次取球時，袋中各個球被取到的可能性相同．以X、Y

分別記第一次、第二次取得球上標有的數字，求(X,Y)

的概率分布．取每組值的概率．第一次取得1的概率為，第一次取解：可能取的值為數組(1,2),(2,1),(2，2).下面先算出得1后，第二次取得2的概率為1.因此，按乘法定理，得第一次取得2的概率為，第一次取得2后，第二次取得1、2的概率都為.同理可得

于是，所要求的概率密度

如表3-2.取每組值的概率．第一次取得1的概率為，第一次取可能取的值為數組(1,2),(2,1),(2，2).下面先算出得1后，第二次取得2的概率為1.因此，按乘法定理，得第一次取得2的概率為，第一次取得2后，第二次取得1、2的概率都為.同理可得

二、二維離散型隨機變量的邊緣概率分布二維隨機變量(X,Y)作為一個整體，具有分布函數而X和Y都是隨機變量，也分別具有分布函數，記之為

依次稱為二維隨機變量(X,Y)關于X和Y的邊緣分布函數．邊緣分布函數可以由(X,Y)的分布函數

所確定，事實上即同理對離散型隨機變量，由（2.1）和（2.2）

可得：設(X,Y)是二維離散型隨機變量，它的概率分布如表3-1所示，那么以后把記作。因此關于X的邊緣概率分布也是離散的，它的概率分布如下表3—3.同理關于Y的邊緣概率分布也是離散的，它的概率分布如表3-4.其中：

例2

設二維離散型隨機變量(X,Y)的概率分布如表3-5,求關于X及關于Y的邊緣概率分布.解：求得邊緣概率分布如表3-6所示,我們常將邊緣分布律寫在聯合分布律表格的邊緣上，如上表所示，這便是“邊緣分布律”這個詞的由來。對二維隨機的變量(X,Y)，我們考慮在其中一個變量三、二維離散型隨機變量的條件概率分布

取固定值的條件下，另一個變量的概率分布，這樣得到的X或Y的概率分布叫條件分布．對二維離散型隨機變量,設,考慮在隨機變量

取得可能值的條件下，隨機變量取它的任一可能值的條件概率前面第一章討論過事件的條件概率．在事件B發生的條件下事件A發生的條件概率為這里P(B)>0.

由上述隨機事件的條件概率公式可得：易知，上述條件概率滿足概率分布的性質同理，設，則可得到在時隨機變量的條件概率分布為：

(2),求時關于X

的條件概率分布及X=0

時關于Y例3

設二維離散形隨機變量(X,Y)的概率分布如表3-7解：（續下頁）的條件概率分布。且由 得X=0時關于Y的條件概率分布為：解:求得邊緣概率分布為:由 得時X的條件概率分布為：四、

獨立性充分必要條件是:P(AB)=P(A)P(B),從而有如下定義設及分別是二維隨機變量(X,Y)的聯合分布函數和邊緣分布函數．若對所有的

則稱隨機變量X和Y

是相互獨立的．下面借助于隨機事件的相互獨立性，引入隨機變量的相互獨立性的概念，已知任二事件A,B

相互獨立的當(X,Y)為離散型隨機變量時，X和Y是相互獨立的條件（2.6）式等價于：對于(X,Y)的所有可能取值(xi,yj)有反之，若存在i0,j0使得則稱X與Y不獨立．例4

X,Y相互獨立，填如下表3-8空白處的值.同理解故又相互獨立所以從而所以所以從而例5

設X表示把硬幣擲三次時頭兩次擲出正面的次數,Y表示這三次投擲中出現正面的總次數那么，二維隨機變量(X,Y)概率分布如表3-9所示.問隨機變量X與Y是不是相互獨立？解：（續下頁）解

仔細觀察概率分布表及由它算出的邊緣概率分布，發現

于是有所以X與Y

不是相互獨立的隨機變量．其實，我們從X與Y的實際背景容易得出，頭兩次擲出的正面次數肯定要影響三次擲出的正面次數，故X與Y

不可能相互獨立。例6

證明離散型隨機變量X與Y

獨立的充分必要條件是：對實數軸上的任意兩個點集

有 （2.8）

成立．成立，所以X與Y

獨立．證明：若對任意兩個點集S1,S2有(2.8)成立，則當S1,S2依次為單點集S1={xi},S2={yj}時，仍有：反之，若X與Y

獨立，則成立．從而對實數軸上的任意兩個點集有（因為獨立）§3二維連續型隨機變量及其概率密度一、二維連續型隨機變量的聯合分布則稱(X,Y)

為二維連續型隨機變量，稱f(x,y)為二維連續型隨機變量(X,Y)

的聯合概率密度或概率密度．與一維隨機變量類似，對于二維隨機變量(X,Y)若存在定義域為整個xOy

平面上的非負函數f(x,y),

使(X,Y)的分布函數可表為：按定義，概率密度具有以下性質

(3)設G是xOy平面上的區域，點(X,Y)

落在G

內的概率為

(4)若在點連續，則有(1)(2)由性質（4）和(1.1),如圖3-3,在f(x,y)的連續點處有這表示若f(x,y)在點(x,y)連續，則當很小時,即(X,Y)落在小長方形內的概率近似地等于 幾何上z=f(x,y)表示空間的一個曲面．由性質（2）知，介于它和xOy平面的空間區域的體積為1．由性質(3),的值等于以G為底，以z=f(x,y)

為頂面的曲頂柱體體積．（如圖3-4）

其中SD為區域D的面積，則稱(X,Y)服從

區域D上的均勻分布．特別地，設(X,Y)

在以圓點為中心、r為半徑的圓域R上服從均勻分布，求二維聯合概率密度.例1

若二維隨機變量具有概率密度

解：（續下頁）當時,解當時,所以由此得二維聯合概率密度為其中為常數．由密度函數的性質得例2

設二維隨機變量(X,Y)具有概率密度

(1)求分布函數(2)求的概率.解：如圖即有解(2)將(X,Y)

看作平面上隨機點的坐標．即有,其中G為xOy

平面上直線y=x

及其下方的部分，如圖3-5．于是(2)求的概率.

例3

二維隨機變量(X,Y)的聯合密度為

求(1)系數c;

(2)隨機變量(X,Y)

落在圓

內的概率解：

（1）由得用極坐標有：

例3

二維隨機變量(X,Y)的聯合密度為

求2)隨機變量(X,Y)落在圓內的概率解:(2)中，令得連續型隨機變量X的邊緣分布函數二、

二維連續型隨機變量的邊緣分布同理可得隨機變量Y的邊緣分布函數的邊緣概率密度函數由此得隨機變量X的邊緣概率密度函數與二維離散型隨機變量類似，在等式當時,例4

設二維隨機變量(X,Y)在以圓點為中心、r為半徑的圓域R上服從均勻分布，求X及Y的邊緣概率密度.所以當時,其中為常數．由密度函數的性質得解：上面例1中，已按如下步驟求出二維聯合概率密度這里值得注意的是，二維隨機變量(X,Y)

在圓域上服從均勻分布，但是它們的邊緣分布都不是均勻分布.所以，按公式（3.2）得X的邊緣概率密度為同理可得Y

的邊緣概率密度為例5

設二維隨機變量(X,Y)的概率密度函數為

求邊緣概率密度.解：對任意有可知邊緣概率密度為：對任意有例6

設二維隨機變量(X,Y)的聯合概率密度為～解：其中為常數，稱服從參數為的二維正態分布，記為試求其邊緣概率密度。令對y

微分,x看作常數同理我們看到二維正態分布的兩個邊緣分布都是一維正態分布，并且都不依賴于參數，亦即對于給定的不同的對應不同的二維正態分布，它們的邊緣分布卻都是一樣的.這一事實表明，僅由關于X和關于Y的邊緣分布，一般來說是不能確定隨機變量X和Y的聯合分布的.三、二維連續型隨機變量的條件分布設二維連續型隨機變量(X,Y)的概率密度為f(x,y),如何規定這分布在條件{Y=y}下x的概率分布呢？由于這時Y服從連續型分布,P{Y=y}=0,因此不能直接利用乘法公式來定義條件分布.

對二維離散型隨機變量,設,考慮在隨機變量

取得可能值的條件下，隨機變量取它的任一可能值的條件概率為在Y=y

條件下X

的條件概率密度。則稱這就啟發我們，對于二維連續型分布，規定在條件{Y=y}下X的條件分布為如下連續型分布：定義設二維連續型隨機變量(X,Y)的概率密度為f(x,y),(X,Y)關于Y的邊緣密度為fY(y).若對于固定的為在Y=y的條件下的X條件分布函數.顯然，條件概率密度滿足條件：（1）（2）類似地，規定在條件{X=x}下Y的條件概率密度函數和條件分布函數分別為

這里fX(x)為(X,Y)

關于X

的邊緣密度.（非負性）（歸一性）例7

隨機變量(X,Y)在矩形域服從均勻分布，求X及Y的條件概率密度.解：按題意(X,Y)具有聯合概率密度對于任意給定的值的條件下，

X的條件概率密度為對于任意給定的值的條件下，

Y的條件概率密度為即X,Y

均服從均勻分布.解：我們有當時：f(x,y)=c,當時

f(x,y)=0.其中c為常數.例8

設二維隨機變量(X,Y)在以圓點為中心,r為半徑的圓域R上服從均勻分布，分別求關于X及Y的條件概率密度.由前面例5得二維聯合概率密度為得X的邊緣概率密度為同理得Y的邊緣密度所以按式(3.5)及(3.6)即得X

的條件概率密度及Y的條件概率密度由此可見，在Y=y的條件下X

的條件概率密度或者在X=x

的條件下Y

的條件概率密度都是均勻分布.四、二維連續型隨機變量的相互獨立性定義：設F(x,y)及FX(x),FY(y),分別是二維隨機變量(X,Y)的聯合分布函數和邊緣分布函數.若對所有的x,y有即F(x,y)=FX(x)FY(y)

（3.7）則稱隨機變量是相互獨立的.上面（3.7）式兩邊分別對x和y各微分一次，即得f(x,y)=fX(x)fY(y)（3.8）從而，隨機變量是相互獨立的充分必要條件為（3.8）幾乎處處成立.此處“幾乎處處成立”的含義是：在平面上除去“面積”為零的集合外處處成立.例9

設二維隨機變量(X,Y)在上服從均勻分布，問X與Y是否相互獨立？解：易得(X,Y)具有概率密度：

得X

的邊緣密度為Y

的邊緣概率密度可見,故隨機變量X和Y不是獨立的.事實上,若（X,Y)服從區域D的均勻分布，則只有當D為矩形區域： 時，X與Y分別服從[a,b],[c,d]

上的均勻分布，且X與Y獨立，反之亦然.得X

的邊緣密度為Y

的邊緣概率密度例10

設二維隨機變量(X,Y)具有概率密度

問隨機變量和是否相互獨立的？解：故有，因而隨機變量和是相互獨立的.例11

二維正態隨機變量的概率密度為

求證X,Y相互獨立等價于.證由本章第3節例6知，二維正態隨機變量關于X,Y的概率密度為比較及易知當時，有從而隨機變量和是相互獨立的。若隨機變量和是相互獨立的.由對所有的x,y都成立，特別的取有若隨機變量和是相互獨立的.由對所有的x,y都成立，特別的取有二維正態隨機變量(X,Y)，X和Y相互獨立充分必要條

件為.總結：當時，有我們指出，如果隨機變量相互獨立，則任一變量的條件概率密度等于其邊緣概率密度.事實上，這時我們有綜上所述，有獨立。獨立。有稱為n維隨機變量

的聯合分布函數或簡稱分布函數，它也具有類似于二維隨機變量的分布函數的性質.以上所述關于二維隨機變量的一些概念，容易推廣到n維隨機變量的情況.上面說過，對n個實數x1,x2,…,xn,n

元函數則稱為的概率密度函數.設的分布函數為已知，則的k維邊緣分布函數就隨之確定.若存在非負函數使對于任意實數有例如關于、關于的邊緣分布函數分別為又若為的概率密度函數.則關于、關于的邊緣密度函數分別為若對于所有的有則稱是相互獨立的.則稱隨機變量有若對于所有的和是相互獨立的.的分布函數，其中依次為隨機變量和我們不加證明地給出以下定理，它在數理統計中是很有用的.定理設和相互獨立，又和相互獨立.若是連續函數，則和相互獨立.或者寫成但是，對于不同的xi及yj，它們的和可能是相等的.所以，按概率加法定理，我們有§4兩個隨機變量的函數的分布首先考慮兩個離散型隨機變量X與Y的和，顯然，它也是離散型隨機變量，記作，變量Z

的任一可能值zk

是變量X的可能值xi與變量Y的可能值yj

的和zk=xi+yj一、的分布這里求和的范圍可以認為是一切i的值；如果對于i的某一個值i0

，數不是變量Y的可能值，則我們規定以上兩式又稱離散卷積公式.同理可得 (4.2)如果X與Y相互獨立，則有

(4.3)或 (4.4)由(X,Y)

的對稱性，fZ(z)又可寫成 在二維離散型隨機變量和的概率分布式（4.1）中，將概率 換為概率密度，將和“”換為積分“”,則類似的可得到二維連續型隨機變量和Z的概率密度為上述兩等式是兩個隨機變量和的概率密度的一般公式.特別，當X和Y相互獨立時，設(X,Y)關于X,Y的邊緣概率密度分別：則上述兩等式分別化為這兩個公式稱為卷積公式，記為，即例1

設X,Y的概率分布如表3-8,

求(1)、(2)的概率分布.

解由X,Y的概率分布可得表3-9從而得：（1）的概率分布如表3-10， （2）的概率分布如表3-11例2

設X與Y相互獨立，依次服從泊松分布求隨機變量Z=X+Y的概率分布.解:Z=X+Y的可能取值為0，1，2，…即：若X與Y相互獨立，依次服從泊松分布，則Z=X+Y服從泊松分布這一性質稱為泊松分布的可加性.故Z=X+Y

服從泊松分布例3

設X和Y是相互獨立相互獨立隨機變量.它們都服從N(0,1)分布，其概率密度分別為：

求Z=X+Y的概率密度.解即Z服從N(0,2)分布.（令 ）～～～～一般地，設X和Y是相互獨立，且,由(4.7)式經過計算知Z=X+Y仍然服從正態分布，且有這個結論還能推廣到個獨立正態隨機變量之和的情形.若 ，且它們都相互獨立，則它們的和仍然服從正態分布，且有～這一性質稱為正態分布的可加性.求得Z的分布函數后，通過分布函數與概率密度的關系，即可得Z的概率密度.一般地，若隨機變量Z是連續型二維隨機變量(X,Y)的函數

z=g(X,Y)，要用(X,Y)的概率密度來表達Z=g(X,Y)

的概率密度