概率論第一章課件

1概率論與數理統計主講教師：陳紅燕部門：基礎教育學院2

概率論與數理統計是一門研究和探索隨機現象規律性的數學學科，是數學的分支學科,在金融、保險、經濟、管理、工農業生產、醫學、地質學、氣象與自然災害預報等等方面都起到非常重要的作用。我校本著培養應用型人才的辦學宗旨，重基礎、重實踐、強應用，將這門課程列為經管與理工類各專業的必修課，以培養學生處理隨機現象的能力，適應社會的發展和需求。

課程簡介3

概率論：是根據大量同類的隨機現象的統計規律，對隨機現象的出現某一結果的可能性作出一種客觀的科學判斷，并對這種出現的可能性大小做出數量上的描述，比較這些可能性的大小，研究它們之間的聯系，從而形成一套數學理論和方法。本內容以具有不確定性的隨機現象為研究對象，以探討和研究隨機現象的統計規律性為任務，主要研究隨機事件及其概率，隨機變量及其概率分布，隨機變量的數字特征。4

數理統計：是應用概率的理論來研究大量隨機現象的規律性，對通過科學安排一定數量的實驗所得到的統計方法給出嚴格的理論證明，并判定各種方法應用的條件及方法，公式、結論的可靠程度的局限性，使我們能從一組樣本來判定是否能以相當大的概率來保證某一判斷是正確的。并可以控制發生錯誤的概率，通過對點估計、區間估計、假設檢驗的研究，介紹了怎樣去有效地收集、整理和分析帶有隨機性的數據，并對所考察的問題作出推斷或預測，直至為采取一定的決斷和行動提供可靠依據和建議。5關鍵詞：隨機事件 頻率和概率古典概型 條件概率 事件的獨立性第一章隨機事件及其概率6Definition：在一定條件下必然發生的現象稱為確定性現象.

“太陽東升西落”,1.確定性現象

“可導必連續”等等.“水從高處流向低處”,例1兩種現象:確定性現象與隨機現象.§1.1隨機現象與隨機事件一、基本概念7

Definition：在一定條件下可能發生也可能不發生的現象稱為隨機現象.例2

“在相同條件下擲一枚均勻的硬幣,觀察正反兩面出現的情況”.2.隨機現象

結果有可能出現正面也可能出現反面.8結果有可能為:

例3

“拋擲一枚骰子,觀觀察出現的點數”.“1”,“2”,“3”,“4”,“5”，“6”.例4

“一只燈泡的壽命”可長可短.

例5

“對某路公交車某站點下車人數”，人數可能多可能少.9

隨機現象在一次觀察中出現什么結果具有偶然性,但在大量重復試驗或觀察中,這種結果的出現具有一定的統計規律性

,概率論就是研究隨機現象這種本質規律的一門數學學科.隨機現象是通過隨機試驗來研究的.如何來研究隨機現象?10

例6（1）拋一枚硬幣，觀察試驗結果；（2）拋擲一枚骰子，觀察出現的點數；（3）對某路公交車某站點下車人數；（4）從一批燈泡中任取一只，測試其壽命；

它們具有以下特性：

(1)可以在相同條件下重復進行

(2)事先知道所有可能出現的結果

(3)進行試驗前并不知道哪個試驗結果一定會發生3.隨機試驗Definition：對隨機現象的觀察、記錄、試驗統稱為試驗。在概率論中，將具有上述三個特點的試驗稱為隨機試驗，記為E.11

4.樣本空間Definition：隨機試驗E的所有結果構成的集合稱為E的樣本空間，記為S={e}，稱S中的元素e為基本事件或樣本點．

一枚硬幣拋一次S={0,1,2,…}；S={正面H，反面T}；

某路公交車某站點下車人數

從一批燈泡中任取一只，測試其壽命

拋擲一枚骰子S={1，2，3，4，5，6}；12Definition：樣本空間S的子集A稱為隨機事件，A發生當且僅當A所包含的一個樣本點發生。

例7某路公交車某站點下車人數，S={0,1,2,…}；

記A＝{至少有10人下車}＝{10,11,12,…}A為隨機事件，A可能發生，也可能不發生。如果將S亦視作事件，則每次試驗S總是發生， 故又稱S為必然事件。為方便起見，記為不可能事件，不包含 任何樣本點。 5.隨機事件131.包含關系若事件A出現,必然導致B出現,則稱事件B包含事件A,記作例8

“長度不合格”必然導致“產品不合格”所以“產品不合格”包含“長度不合格”.圖示

B包含

A.SBA★二、隨機事件間的關系14若事件A包含事件B,而且事件B包含事件A,則稱事件A與事件B相等,記作A=B.2.事件的和(并)例8’

某種產品(如圓柱體)的合格與否是由該產品的長度與直徑是否合格所決定,因此“產品不合格”是“長度不合格”與“直徑不合格”的并.圖示事件

A與

B的并.

SBA153.事件的交(積)推廣16圖示事件A與B的積事件.SABAB例8’

某種產品的合格與否是由該產品的長度與直徑是否合格所決定,因此“產品合格”是“長度合格”與“直徑合格”的交或積事件.17和事件與積事件的運算性質18例2’

拋擲一枚硬幣,“出現正面”與“出現反面”是互不相容的兩個事件.4.事件的互不相容(互斥)

若事件A、B滿足則稱事件A與B互不相容.195.事件的差圖示A與B的差SABSB例8’“長度合格但直徑不合格”是“長度合格”與“直徑合格”的差.A事件“A出現而B不出現”，稱為事件A與B的差.記作A-B(或)20

若事件A、B滿足則稱A與B為對立

(或互逆)事件.A的逆記作

例3’

骰子出現1點”“骰子不出現1點”圖示A與B的對立.SBA6.事件的對立（互逆）對立21三、事件間的運算22

德·摩根（1806～1871）

主要在分析學、代數學、數學史及邏輯學等方面作出重要的貢獻。他提出的「雙重代數」，對建立復數性質的幾何表示有一定的幫助。德·摩根對數學史亦十分精通，曾為牛頓及哈雷作傳，并制作了17世紀科學家的通訊錄索引。此外，他在算術、代數、三角等方面亦撰寫了不少教材，主要著作有《微積分學》﹝1842﹞及《形式邏輯》﹝1847﹞等。他亦是最早試圖解決四色問題的人，并對四色問題作了一些推進。至于在邏輯學方面，他發展了一套適合推理的符號，并首創關系邏輯的研究。他提出了論域概念，并以代數的方法研究邏輯的演算，建立出著名的德摩根定律。23例9設A,B,C表示三個隨機事件,試將下列事件用A,B,C表示出來.(5)A出現,B,C不出現;(3)三個事件都不出現;(4)A,B都出現,C不出現;(2)三個事件都出現;(1)三個事件至少有一個出現;(6)不多于一個事件出現;24解25小結：基本概念（隨機現象，樣本空間，隨機事件）；隨機事件間的關系（集合間關系）；事件間的運算.作業布置P6：2;P26：1.26復習：1、基本概念：隨機試驗，樣本空間，隨機事件.2、隨機事件間的關系：（1）：至少；（2）：同時；（3）：A發生B不發生；（4）.

練習題：甲乙兩人向同一目標進行射擊，A表示甲擊中，B表示乙擊中，用A,B表示下列事件：（1）甲乙同時擊中；（2）乙未擊中（3）甲擊中且乙未擊中；（4）目標被擊中；（5）目標未被擊中；（6）恰好有一人擊中.27§1.2

隨機事件的概率一、頻率

Definition：記 其中為A發生的次數(頻數)；為總試驗次數.稱為A在這

次試驗中發生的頻率.頻率反映了事件A發生的頻繁程度.28*頻率的性質：且隨的增大漸趨穩定，記穩定值為．

29概率的可列可加性二、概率的公理化定義30證明由概率的可列可加性得★

概率的性質31概率的有限可加性證明由概率的可列可加性得32證明33證明由圖可得得因此得34推廣三個事件和的情況n個事件和的情況35§1.3等可能概型（古典概型）Definition：如果一個隨機試驗E具有以下特征（1）試驗的樣本空間中含有有限個樣本點；（2）每個樣本點出現的可能性相同。則稱該隨機試驗為等可能概型或古典概型。如例：拋硬幣，擲篩子等36古典概型中事件的概率計算設試驗E是古典概型,其樣本空間S由n個樣本點組成,事A由k個樣本點組成.則事件A的概率為：

A包含的樣本點數

P(A)＝k/n＝

S中的樣本點總數37解:試出現正面用H表示,出現反面用T表示,則樣本空間

S={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT},

樣本點總數n=8.A={HTT，THT，TTH}，B={HHH}，C={HHH,THH,HTH,HHT,TTH,THT,HTT}所以A,B,C中樣本點數分別為3,1,7,例1

拋一枚均勻硬幣3次,設事件A為“恰有1次出現正面”,B為“3次均出現正面”,C為“至少一次出現正面”,試求

P(A),P(B),P(C).則P(A)=3／8,P(B)=1／8,P(C)=7／8.38從3個元素取出2個的排列總數有6種從3個元素取出2個的組合總數有3種排列組合是計算古典概率的重要工具.39例24只白球和2只紅球放在一袋中，隨機取球兩次，每次取一只，分別作(a)不放回抽樣，(b)放回抽樣，求（1）取到兩球都是白球的概率（2）兩球同色的概率（3）取到兩球中至少有一白球的概率解：(a)不放回情況（1）（2）（3）40解：(b)放回情況（1）（2）（3）41例3

將n只球隨機的放入N(N≥n)個盒子中去，試求每個盒子至多有一只球的概率為

有r個人，每個人的生日是365天的任何一天是等可能的，試求事件“至少有兩人同天生日”的概率.42

人數至少有兩人同 生日的概率

200.411210.444220.476230.507240.538300.706400.891500.970600.994

所有這些概率都是在假定一個人的生日在365天的任何一天是等可能的前提下計算出來的.實際上,這個假定并不完全成立，有關的實際概率比表中給出的還要大.當人數超過23時，打賭說至少有兩人同生日是有利的.43例4有N件產品，其中有D件次品，今從中任取n件，恰有k件次品的概率是多少？（不放回抽樣）超幾何分布44例5袋中有a只白球，b只紅球，a+b個人依次在袋中取一只球，（1）放回抽樣(2)不放回抽樣，求第k個人取到白球的概率解：45

解：假設接待站的接待時間沒有規定，而各來訪者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待來訪者都是在周二、周四的概率為212/712=0.0000003.例6：某接待站在某一周曾接待12次來訪，已知所有這12次接待都是在周二和周四進行的，問是否可以推斷接待時間是有規定的?

人們在長期的實踐中總結得到“概率很小的事件在一次試驗中實際上幾乎是不發生的”(稱之為實際推斷原理)。 現在概率很小的事件在一次試驗中竟然發生了，因此有理由懷疑假設的正確性，從而推斷接待站不是每天都接待來訪者，即認為其接待時間是有規定的。46

引例袋中有6只球，其中4只白球，2只紅球，每人依次從袋中各取一球(不放回)，問（1）第二個人取得紅球的概率是多少？（2）已知第一個人取到紅球，第二個人取得紅球的概率是多少？分析設A表示第一次取到紅球，B表示第二次取到紅球，將在事件A發生的條件下事件B發生的概率記作P(B|A).則（1）P(B)=1/3

（2）P(B|A)=1/5§1.4條件概率47

若事件A已發生,則為使B也發生,試驗結果必須是既在B中又在A中的樣本點,即此點必屬于AB.由于我們已經知道A已發生,故A變成了新的樣本空間,于是有公式(1).

設A、B是兩個事件，且P(A)>0,則稱（1）

一、條件概率為在事件A發生的條件下,事件B的條件概率.482.對于必然事件S，P(S|A)=1.設A是一事件，且P(A)>0,則1.對任一事件A，0≤P(B|A)≤1;

而且，前面對概率所證明的一些重要性質都適用于條件概率：3.設B1,…,Bn,…互不相容，則條件概率的性質：4950例1 一只盒子裝有4只產品，其中3只一等品，1只二等品，從中取產品二次，不放回抽樣，每次任取一只，設A為“第一次取到的是一等品”，B為“第二次取到的是一等品”，求：P(B|A)解1)用定義計算:P(B|A）=2)從加入條件后改變了的情況去算51條件概率復習設A、B是兩個事件，且P(A)>0,則稱

為在事件A發生的條件下,事件B的條件概率.公式變形：52二、乘法公式53例2

袋子中包含t個白球和r個紅球.隨機地抽取一個球，觀看顏色后放回，并且再加進a個與所抽出的球具有相同顏色的球.這種手續進行四次，試求第一、二次取到紅球且第三、四次取到白球的概率.解：Ai(i=1,2,3,4)表示“第i次取到紅球”54例3一種透鏡，第一次落下時打破的概率為1/2，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率為7/10，若前兩次落下未打破，第三次落下打破的概率為9/10，求透鏡三次落下而未打破的概率。解：Ai(i=1,2,3)表示“第i次落下打破”55三、全概率公式與貝葉斯（Bayes）公式定義：設S為試驗E的樣本空間，B1,B2,…,Bn 為E的一組事件。若：則稱B1,B2,…,Bn為S的一個劃分,或稱為一組完備事件組。B1B2BnS即：B1,B2,…,Bn至少有一發生是必然的，兩兩同時發生又是不可能的。561、全概率公式全概率公式57圖示證明化整為零各個擊破58說明全概率公式的主要用途在于它可以將一個復雜事件的概率計算問題,分解為幾個簡單事件的概率計算問題,最后應用概率的可加性求出最終結果.全概率公式常用情況：60

例4人們為了解一支股票未來一定時期內價格的變化,往往會去分析影響股票價格的基本因素,比如利率的變化.現假設人們經分析估計利率下調的概率為60%，利率不變的概率40%.根據經驗,人們估計,在利率下調的情況下,該支股票價格上漲的概率為80%,而在利率不變的情況下,其價格上漲的概率為40%,求該支股票將上漲的概率.61

２.貝葉斯公式稱此為貝葉斯公式.62證明63例564解65(1)由全概率公式得(2)由貝葉斯公式得6667解例668由貝葉斯公式得所求概率為即平均1000個具有陽性反應的人中大約只有87人患有癌癥.69

§1.5隨機事件的獨立性一、兩個事件的獨立性由條件概率，知一般地，這意味著：事件B的發生對事件A發生的概率有影響然而，在有些情形下又會出現：70引例則有71定義注.1o說明

事件A與B相互獨立,是指事件A的發生與事件B發生的概率無關.72獨立是事件間的概率屬性互不相容是事件間本身的關系2o獨立與互不相容的關系這是兩個不同的概念.兩事件相互獨立兩事件互不相容二者之間沒有必然聯系73由此可見兩事件互不相容但不獨立.如：兩事件相互獨立.兩事件互不相容74獨立的性質1、必然事件S及不可能事件與任何事件A相互獨立.證明∵SA=A,P(S)=1∴