【創新方案】高考數學 第十章第一節 分類加法計數原理與分步乘法計數原理 A

1．在所有的兩位數中，個位數字大于十位數字的兩位數共有(

)A．24個B．28個C．36個

D．48個解析：法一：按十位數字分別是1,2,3,4,5,6,7,8的情況分成8類，在每一類中滿足題目條件的兩位數分別有8個，7個，6個，5個，4個，3個，2個，1個，由分類加法計數原理知，符合條件的兩位數共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36個．法二：按個位數字分別是2,3,4,5,6,7,8,9的情況分成8類，在每一類中滿足題目條件的兩位數分別有1個，2個，3個，4個，5個，6個，7個，8個，由分類加法計數原理知，符合條件的兩位數共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36個．答案：C2．從－2、－1、0、1、2、3這六個數字中任選3個不重復的數字作為二次函數y＝ax2＋bx＋c的系數a、b、c，

則可以組成頂點在第一象限且過原點的拋物線的條數

為(

)A．6B．20C．100D．120解析：分三步：第一步確定c，由拋物線過原點知c＝0，只有1種方法；第二步確定a，由拋物線頂點在第一象限知，拋物線開口向下，a從－2、－1中任選一個，有2種不同的方法；第三步確定b,從1,2,3中任選一個，有3種不同的方法．根據分步計數原理，所求的拋物線條數共有1×2×3＝6.答案：

A3．(2010·全國卷Ⅰ)某校開設A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學從中共選3門．若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有(

)A．30種

B．35種C．42種

D．48種答案：A4．4名學生報名參加數學、生物、英語三項比賽，每人限報一項，報名方法有________種；若每個項目均有人參賽，則報名方法有________種(用數字作答)．答案：81

365.如圖用6種不同的顏色把圖中A、

B、C、D四塊區域分開，若相

鄰區域不能涂同一種顏色，則

不同的涂法共有__________種．解析：從A開始，有6種方法，B有5種，C有4種，D、A同色1種，D、A不同色3種，∴不同涂法有6×5×4×(1＋3)＝480種．

答案：4801．分類加法計數原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝

種不同的方法．m＋nm×n2．分步乘法計數原理完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝

種不同的方法．考點一分類加法計數原理的應用[自主解答]

以m的值為標準分類，分為五類．第一類：m＝1時，使n>m，n有6種選擇；第二類：m＝2時，使n>m，n有5種選擇；第三類：m＝3時，使n>m，n有4種選擇；第四類：m＝4時，使n>m，n有3種選擇；第五類：m＝5時，使n>m，n有2種選擇．∴共有6＋5＋4＋3＋2＝20(種)方法，即有20個符合題意的橢圓．若將“焦點在y軸”改為“焦點在x軸”呢？解：當m＝2時，n＝1，有1種選擇；當m＝3時，n＝1，2，有2種選擇；當m＝4時，n＝1，2，3，有3種選擇；當m＝5時，n＝1,2,3,4，有4種選擇；∴共有1＋2＋3＋4＝10種方法，即有10個符合題意的橢圓．高三一班有學生50人，男30人，女20人；高三二班有學生60人，男30人，女30人；高三三班有學生55人，男35人，女20人．(1)從高三一班、二班或三班學生中選一名學生任校學生會主席，有多少種不同的選法？(2)從高三一班、二班的男生中，或從高三三班的女生中選一名學生任校學生會體育部部長，有多少種不同的選法？解：(1)50＋60＋55＝165(種)，即所求選法有165種．(2)30＋30＋20＝80(種)，即所求選法有80種．從1,2,3,4,5,6,7這七個數字中任取兩個奇數和兩個偶數，組成沒有重復數字的四位數，其中奇數的個數是多少？考點二分步乘法計數原理的應用某乒乓球隊的10名隊員中有3名主力隊員，要派5名參加比賽，3名主力隊員要安排在第一、三、五的位置，其余7名隊員中有2名被安排在第二、四位置，求不同的出場安排有多少種．解：按出場順序逐一安排．第一位置隊員的安排有3種方法，第二位置隊員的安排有7種方法，第三位置隊員的安排有2種方法，第四位置隊員的安排有6種方法．第五位置隊員的安排只有一種方法．由分步乘法計數原理，得不同的出場安排種數為3×7×2×6×1＝252.即共有252種出場方式．某電視臺連續播放6個廣告，其中有3個不同的商業廣告、2個不同的世博會宣傳廣告、1個公益廣告，要求最后播放的不能是商業廣告，且世博會宣傳廣告與公益廣告不能連續播放，兩個世博會宣傳廣告也不能連續播放，則有多少種不同的播放方式？考點三兩個計數原理的綜合應用[自主解答]

用1、2、3、4、5、6表示廣告的播放順序，則完成這件事有3類方法．第一類：宣傳廣告與公益廣告的播放順序是2、4、6.分6步完成這件事共有3×3×2×2×1×1＝36種不同的播放方式．第二類：宣傳廣告與公益廣告的播放順序是1、4、6，分6步完成這件事，共有3×3×2×2×1×1＝36種不同的播放方式．第三類：宣傳廣告與公益廣告的播放順序是1、3、6，同樣分6步完成這件事，共有3×3×2×2×1×1＝36種不同的播放方式．由分類加法計數原理得：6個廣告不同的播放方式有36＋36＋36＝108種．用0,1,2,3,4,5可以組成多少個無重復數字的比2000大的4位偶數？解：完成這件事可分為3類方法：第一類是用0做結尾的比2000大的4位偶數，它可以分三步去完成：第一步，選取千位上的數字，只有2,3,4,5可以選擇，有4種選法；第二步，選取百位上的數字，除0和千位上已選定的數字以外，還有4個數字可供選擇，有4種選法；第三步，選取十位上的數字，還有3種選法．依據分步計數原理，這類數的個數有4×4×3＝48個；第二類是用2做結尾的比2000大的4位偶數，它可以分三步去完成：第一步，選取千位上的數字，除去2,1,0只有3個數字可以選擇，有3種選法；第二步，選取百位上的數字，在去掉已經確定的首尾兩數字之后，還有4個數字可供選擇，有4種選法；第三步，選取十位上的數字，還有3種選法．依據分步計數原理，這類數的個數有3×4×3＝36個；第三類是用4做結尾的比2000大的4位偶數，其步驟同第二類．對以上三類結論用分類計數原理，可得所求無重復數字的比2000大的4位偶數有4×4×3＋3×4×3＋3×4×3＝120個．分類加法計數原理與分步乘法計數原理的應用是高考對本節內容的重要考查點，其中分類加法計數原理體現了分類討論的思想，是高考的一個重要考向，其考查方式多以選擇題或解答題為主．[考題印證]

(2010·天津高考)如圖，用四種不同顏色給圖中的A，B，C，D，E，F六個點涂色，要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色．則不同的涂色方法共有(

)A．288種B．264種C．240種D．168種[答案]

B1．兩個原理的區別與聯系兩個原理是處理排列、組合問題的理論依據，它們都是把一個事件分解成若干個事件來完成，其區別在于分類計數原理中各類辦法是相互獨立的，而分步計數原理中各個步驟是相互依存的．2．兩個計數原理的應用(1)分類時要注意“類”與“類”之間的獨立性和并列性；分步時要注意“步”與“步”之間的連續性．分類加法計數原理中的各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以完成這件事；分步乘法計數原理中的各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了，這件事才算完成．(2)運用兩個原理解決相關問題時，究竟先分類后分步，還是先分步后分類這應視具體問題而定．1．如果一條直線與一個平面平行，那么稱此直線與平面構成一個“平行線面組”，在一個長方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“平行線面組”的個數是(

)A．60B．48C．36D．24解析：長方體的每一個面對應6個“平行線面組”，共有6×6＝36個；長方體的第一個對角面對應2個“平行線面組”，共有6×2＝12個．∴共有36＋12＝48個．答案：B解析：把8名運動員看作8家“店”，3項冠軍看作3位“客”，它們都可住進任意一家“店”，每位“客”有8種可能．根據乘法原理，共有8×8×8＝83(種)不同的結果．答案：A3．甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙兩人所選的課程中含有1門相同的選法有(

)A．6種

B．12種C．16種

D．24種答案：D4．甲、乙、丙3人站到共有7級的臺階上，若每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區分站的位置，則不同的站法種數是________(用數字作答)．答案：3365.某人有3種顏色的燈泡(每種顏色的燈泡足夠多)要在如圖所示的6個點

A、B、C、A1、B1、C1上各安裝一

個燈泡，要求同一條線段兩端的燈

泡不同色，則不同的安裝方法共有

________種．(用數字作答)答案：126．現有高一四個班學生共34人，其中一、二、三、四班各

7人、8人、9人、10人，他們自愿組成數學課外學習小

組．(1)選其中一人為負責人，有多少種不同的選法？(2)每班選一名組長，有多少種不同的選法？(3)推選二人作中心發言，這二人需來自不同的班級，有多少種不同的選法？解：(1)分四類，第一類，從一班學生中選1人，有7種選法；第二類，從二班學生中選1人，有8種選法；第三類，從三班學生中選1人，有9種選法；第四類，從四班學生中選1人，有10種選法，所以，共有不同的選法N＝7＋8＋9＋10＝34(種)．(2)分四步，第一、二、三、四步分別從一、二、三、四班學生中選一人任組長，所以共有不同的選法N