彈塑性力學第五章 簡單彈塑性力學問題1

簡單彈塑性力學問題5.1彈塑性力學基本方程5.2彈性力學問題的基本解法5.3解的唯一性定理5.4圣維南原理5.5疊加原理5.6桁架的彈塑性分析5.7平面問題5.1彈塑性力學基本方程1.平衡(運動)微分方程(Navier方程)2.幾何方程(2)應變協調方程(SaintVenant方程)(5.1)(5.2)(5.3)(1)幾何方程(Cauchy方程)應變協調方程的數學與物理意義:幾何方程表明,六個應變分量是通過三個位移分量表示的,因此,這六個應變分量不是獨立的,它們之間的的相互聯系在物理上是保證固體變形必須滿足變形的協調,而在數學上表現為六個應變分量滿足一組偏微分方程組.首先,將對y求二階偏導數并與對x求二階偏導數相加,則同理,有其次,分別將對z求一階偏導數、對x求一階偏導數以及對y求一階偏導數，再把它們的前兩式相加并減去它們的后一式，則有將上式等號兩邊對y求一階偏導數，則有也可以寫成同理，有利用，以上各式易改寫為張量形式這六個方程的幾何意義是被分割后的微分單元體在受力變形后能重新拼合成連續體，即不會出現“撕裂”或“套疊”等現象。如圖（這里略）3.本構方程1）彈性階段，即本構方程可表示為兩種可相互轉換的形式：（1）應力表示應變；（2）應變表示應力或(5.4)(5.5)這里的為拉梅常數2）塑性階段本構方程可以表示為增量或全量兩種形式增量形式之一——Prandtl-Reuss流動法則（適用彈塑性材料）式中：是一個與加載歷史有關的大于零的比例系數。增量形式之二——Levy-Mises流動法則（適用理想剛塑性）全量理論——依留申本構方程，主要用于強化材料(5.5)(5.6)(5.7)5.2彈性力學問題的基本解法可以分為位移解法和應力解法兩種5.2.1位移法以待求解的三個位移為基本未知函數，所有基本方程都用位移形式給出首先，將幾何方程代入本構方程得位移表示的應力分量再將上式代入平衡微分方程，得位移表示的平衡方程注意到上式可改寫為上式稱為拉梅方程，是位移法求解要滿足的基本方程(5.8)邊界條件1）如果問題給出的是位移邊界條件，則直接寫出位移邊界條件2）如果問題給出的是應力邊界條件或混合邊界條件，則要先將位移表示的應力代入應力邊界條件，即將面力的邊界條件改寫成位移的形式。5.2.2應力法應力法采用六個應力分量為基本未知函數，將基本方程改用應力分量表示。首先，應力分量要滿足平衡微分方程和靜力邊界條件（方程保留），其次為保證所求位移函數為問題的真實解，還要求應變分量滿足變形協調條件。因此還需將協調方程（變形連續條件）用應力分量的形式給出。具體步驟為將應力表示應變本構方程代入協調方程，并將方程簡化可得應力表示的協調方程。上式稱為Beltrami-Michell方程，是應力表示的應變協調方程。在常體力或無體力時可以簡化為進一步還可化為由此可見，在體力為常數或無體力時，應力分量是雙調和函數。(5.9)(5.10)(5.11)5.3解的唯一性定理一個實際的彈塑性力學問題數學上可歸結為一個偏微分方程的邊值問題，即在嚴格的邊界條件下求解一個復雜的偏微分方程組的解的問題。但是在一般情況下，我們很難直接得到數學上的精確解或解析解。解的唯一性定理證明對彈塑性力學問題的解是存在且唯一的。它可以表述為：彈塑性力學問題的解是存在的，而且在小變形條件下，對于受一組平衡力系作用的固體，其內部各點的應力分量和應變分量是唯一的；如果在固體表面全部給定位移邊界條件，或者在部分表面給定位移邊界條件而另外部分表面給定靜力邊界條件的情況下，則位移分量也是唯一的。本定理的嚴格數學證明過程可參考其他彈塑性力學書籍，這里不給出。唯一性定理的作用：為逆解法和半逆解法以及各種近似（數值）解提綱了理論依據。逆解法：預先選取一組位移或應力函數，由此確定其他的未知函數，然后驗證是否滿足基本方程和邊界條件，如果滿足，則解的唯一性定理，該組位移或應力函數以及由此確定的其他未知函數的解就是問題的正確答案。半逆解法：就是在所有的未知量中，依據問題的特點或已有研究成果，預先假設部分未知量為已知，然后利用基本方程和邊界條件，確定其余的未知量，最后得到全部未知量的解答。5.4圣維南原理圣維南原理彈塑性理論要求在固體表面的每個邊界點上給定邊界條件,而實際問題往往只知道固體邊界的總的荷載值,具體分布形式并不明確.另外,在求解時使未知的應力分量、應變分量和位移分量滿足基本方程并不困難，但要求函數同時滿足逐點滿足邊界條件確很困難。因此希望能找到一個邊界條件的合理的簡化方法。1855年，圣維南（SaintVenant)在關于梁的理論研究時提出：由作用在固體局部表面上的自平衡力系（即力系的主矢和主矩都為零的力系）所引起的應變，在遠離作用區（距離遠大于該局部作用區的尺寸）的地方可以忽略不計。這就是圣維南原理，又稱局部影響原理。實例：鉗子剪斷鐵絲，鋼筋鉗截斷鋼筋等原理的另外一種實用提法：若把作用在固體局部表面上的力系，用另一組與之靜力等效的力系來代替，則這種等效替換只對該局部作用區很近的地方產生影響，對遠離該作用區處的影響則可忽略。這稱為靜力等效原理。圣維南原理主要應用于實心固體。Goodier的研究表明，該原理中的局部影響區的大小大致與外力作用區大小相當的“小邊界”。對薄壁結構不正確。圣維南原理明確還沒有嚴格的數學證明，但其正確性已被大量的實驗觀察和工程實踐所證實。此外，從物理直觀上判斷，該原理不僅適用于彈性小變形的情況，而且適用于大變形和塑性的情況。是普適性原理5.5疊加原理（線彈性體）考慮同一邊界條件下作用在同一固體上的兩組荷載情況:第一組體力和面力,第二組為體力和面力.設它們引起的應力場、應變場和位移場分別為，和，則在線彈性和小變形情況下兩組荷載共同作用時產生的應力場、應變場和位移場，等于各自單獨作用時引起的相應場之和，即疊加原理適用于線彈性和小變形范圍。利用這一原理可以將復雜的問題分解為若干個簡單問題求解。5.6.1簡單桁架的彈塑性分析(a)l(b)如圖所示為三桿對稱桁架,假定材料是理想彈塑性的.設桁架所受的鉛垂力為F作用.各桿截面積均為A,中間桿3的長度為.若用

分別表示桿1、桿2和桿3的內力，求出各桿的應力和應變。5.6桁架的彈塑性分析(a)由靜力平衡，得各桿的應力為（5.12)（5.13)式（5.13)代人（5.12）得(5.14)應力表示的平衡方程若以分別表示杠1、2、3的伸長，則在小變形情況下，有式中：表示節點A的位移。各桿中的應變為(5.15)因此，有變形協調關系(5.16)幾何關系1、彈性階段——彈性解和彈性極限荷載當荷載F足夠小時，各桿應力都小于屈服應力，整個桁架處于彈性階段。由虎克定律有(5.17)聯立式(5.14)、(5.15)和(5.17)并求解，得(5.18)由式(5.18)可見，當F增加時，桿3將首先屈服。顯然，當時，桁架開始初始屈服，由式（5.18)可求得桁架初始屈服時對應的荷載值

稱為彈性極限載荷，它是桁架采用彈性理論設計時所能承受的最大載荷。(5.19)應用的表達式,可以將(5.18)改寫成(5.20)代入本構關系(5.17),得(5.21)再把式(5.21)代入幾何關系(5.15),得節點A的位移為(5.22)令式(5.22),可得節A的位移為(5.23)彈性極限位移2.彈塑性階段——彈塑性解和塑性極限荷載當桿3發生初始屈服時，由于其他兩桿尚未屈服，可繼續加載。當時，這時桁架進入彈塑性階段。由于材料為理想彈塑性，桿3的應力不能提高（變形可以增加），即有將式(5.24)代入平衡關系（5.14),得(5.24)(5.25)桁架的塑性變形當杠3屈服時，處于所謂的塑性流動階段，對單獨的3桿理論上可以發生任意伸長，但由于在節點A處受到其他兩根彈性桿的約束而不能任意伸長，此時桁架稱為有約束塑性變形階段。為求出桿3的應變和節點A處的位移，必須先用彈性關系求出桿1和2的應變。將式（5.25)代入本構關系，得(5.26)再將式（5.26)代入變形協調關系（5.16),得(5.27)(5.27)代入幾何關系式（5.15),得到節點A的位移為(5.28)在桿3屈服后，隨著荷載F的進一步增加，由于桿3中的應力不能再增加，增加的荷載由桿1和桿2分擔。當時桁架的三根桿全部進入塑性流動狀態。由式(5.25)有(5.29)式中：稱為塑性極限荷載，相應的狀態稱為塑性極限狀態。由于此時三桿均已屈服，變形不再受到任何約束，桁架進入無限制塑性變形階段，結構喪失承載能力，所以，又表示桁架的極限承載能力。從式(5.29)可以發現，與材料的彈性模量無關，這表明，如果采用理想剛塑性模型，則求出的塑性極限荷載仍一樣。這為結構的極限分析帶來方便。將式（5.29)代入式(5.28)，可得到桁架剛剛進入塑性極限狀態時節點A的位移。（5.30)式中：稱為塑性極限位移將式（5.19)和式(5.23)表示的彈性極限載荷和彈性極限位移與式（5.29)和式（5.30)表示的塑性極限載荷和塑性極限位移比較，得(5.31)由（5.31)可見：這些數據說明，桁架的塑性極限荷載總比彈性極限荷載大，而塑性極限變形與彈性極限變形在同一數量級。因此，采用塑性分析更能發揮結構的潛力，尤其當桁架的超靜定次數更高時，將提高更多。3.卸載——殘余應力和殘余變形若荷載增加到值（）后卸載，由于卸載服從彈性規律，因此，如果在卸載過程中，桁架各桿不發生反向屈服，則我們可以假想在節點A施加一個大小與卸載時荷載的改變量相等的假想荷載，按彈性規律求得其引起的應力、應變和位移，然后將卸載前的應力、應變和位移與之相減，就得到卸載后的應力、應變和位移。設卸載時載荷變化量為，則由式(5.17)、式（5.20）和式(5.22)得(5.32)(5.33)(5.34)若將（5.35)式中：表示（5.25)確定的卸載前的應力量（式中的F用代替）。可見盡管外載荷已經完全卸除，但各桿中仍有應力，這種應力稱為殘余應力。

同理，可求得各桿中的殘余應變(5.36)節點A的殘余變形為(5.37)注：1）從式（5.35)和式（5.36)可以發現，桿1，2內殘余應力為拉應力，桿3中殘余應力為壓應力，但各桿的殘余應變均大于零。原因是它們要滿足如下的平衡關系與變形協調關系：2）對于超靜定結構，當卸去外載后，殘余應變不等于塑性應變，它包含有彈性應變（如(5.36)中的桿1的應變）。只有靜定結構卸載后的應變是塑性應變。4.重復加載若卸載后再重復加載，由于從卸載到零的過程是彈性變形過程，從零再加載到也是彈性過程。因為桿3是從某個壓應力開始的，所以，它的后繼屈服應力是這個壓應力加上。這就使得桁架的彈性范圍也擴大了。如果將桁架加載到后卸載，則以后的彈性范圍最大也可以擴大到。在結構內部產生某種有利的殘余應力狀態可以提高它的彈性范圍，這種狀態稱為安定狀態。在超靜定結構中，常利用這種塑性應力重分布規律對各構件受力進行合理的調整。5.6.2加載路徑對桁架變形的影響考慮上一節的三桿桁架，現設桁架同時受鉛直力P和水平力Q的作用。我們將P和Q按不同的加載方案施加在桁架上，討論當荷載的最終數值一樣，但加載路徑不同對桁架變形的影響。PQl=h1.加載方案1：比例加載在整個加載過程中，保持單調增加，直到桁架到達塑性極限狀態，這種加載路徑屬于比例加載。桁架平衡關系為(5.38)這里取若以u,v分別表示節點A的水平和垂直位移，則各桿的應變與節點位移之間有（幾何關系）：(5.39)由式(5.39),得變形協調關系(5.40)當P從零開始增加，而整個桁架處于彈性階段，彈性本構關系(5.17)仍成立。聯立方程(5.28)、(5.30)與(5.17)求解，得三桿內的應力可見，其中最大，是壓應力。當時，桿1發生屈服，此時對應的荷載、應力和位移為(5.41)其中當P繼續增加時,桿1保持不變,即桿2和桿3仍處于彈性狀態。由平衡關系的增量形式，可解得桿2和桿3的應力增量(5.42)將它們代入本構關系（5.17)，得到桿2和桿3的彈性應變增量(5.43)利用變形協調關系(5.40)，進一步可得到桿1的塑性應變增量(5.44)將式(5.43)和式(5.44)代入幾何關系(5.39)，求得節點A的位移增量為桿2和桿3的應力增量與式(5.41)的應力值相加，得(5.45)從上式可以發現，當表明此時整個桁架達到塑性極限狀態。最終的荷載、應力和節點位移為2.加載方案2:非比例加載第二種加載路徑是:先只加P使桁架達到極限荷載然后保持節點豎直位移不變,從零開始增加Q直到(5.46)當時,對應的各桿內的應力和節點位移為現保持v不變,也即,施加Q,則,由幾何關系得到可見,此時桿1和桿3仍保持塑性狀態,而桿2卸載,因而有(5.47)將上式代入平衡關系的增量形式,求得此時各桿內的應力為從上式可以看出,當時,同時有,表明此時桁架再次達到塑性極限,所以有,在第二種加載路徑下最終的荷載、應力和節點位移為比較后可以發現，對于不同的加載路徑，當最終的荷載值一樣時，雖然所得到的應力是一樣的（有些問題應力值也不相同），但應變和位移卻不一樣。(5.48)5.7平面問題嚴格地講,所有力學問題都屬于三維空間物體的受力問題.但是某些工程問題中,結構形狀、受力和約束情況都具有一定的特點，這些問題只要經過適當的簡化和力學抽象化處理，就可轉化為所謂的“平面問題”。平面問題的特征是：所有力學行為都可以看作是在一個平面內發生的，因而在數學上屬于二維的問題。5.7.1平面問題的特點及分類平面問題共分兩大類，即平面應力問題和平面應變問題。平面應力問題主要出現在薄板中。對于薄板，如果它所受的力（體力及面力）均平行于板的中面而且沿板的厚度不變。將與板中面垂直的方向設為z軸，因為板很薄，所以與z有關的所有應力均近似為0，即由于時的板面上無外力作用，則邊界條件成為板很薄，外力不沿厚度變化，則板內與z有關的應力均為零剩下的應力分量也與z無關，因此退化為x,y的函數因此非零的應力分量只有，且設這三個應力分量只與x,y有關，與z無關。平面應變問題是指某一方向的尺寸比另外兩個方向大很多（如無限長的柱體），所受的力均平行于橫截面且沿柱體的長度不變。因為沿z軸方向長度是無限的，所以沿z軸方向的近似為0，且假設沿另外兩個方向的位移u,v與z無關。由幾何方程可知有許多工程問題是很接近平面應變問題的，如擋土墻、重力壩、某些化學容器及發動機的汽壓管等可以簡化為平面應變問題處理能達到工程精度。（5.49)(5.50)5.7.2直角坐標系下平面問題的基本方程一、平面應力問題在平面應力問題中，物體內任意一點的應力分布為位移分布為應變分布為(5.51)(5.52)(5.53)其中不是獨立的。在彈性狀態下，根據得平面應力問題，三類方程可以簡化。1、靜力平衡方程(5.54)將平面應力分量表達式代入平衡方程，得（5.55)另外一個平衡方程自行滿足。2、應變協調方程平面應力情況下，應變協調方程只有下面一個（5.56)3.本構關系彈性狀態下，本構關系應服從彈性本構關系，將物體內一點的應力狀態和應變狀態表達式代入廣義胡克定律，得（5.57)在解平面應力問題時，除了上述三類基本方程外，還需考慮邊界條件和屈服條件。4、邊界條件設薄板側面上點的法線為n,方向余弦為，該點處作用的面力為，則應力邊界條件為（5.58)在板的上、下表面，法線的方向余弦是，作用在面上的外力均為零，因此靜力邊界條件為(5.59)5、屈服條件在平面應力狀態下，材料進入屈服狀態時，屈服條件可以進一步簡化。由于，可見此時不為零的主應力只有兩個，設它們是，則求主應力的特征方程變為(5.60)兩個非零主應力為應力偏量不變量為Mises屈服條件為(5.61)(5.62)(5.63)二、平面應變問題在平面應變問題中，物體內任一點的位移場、應變場及應力場有下面的特點：位移場應變場應力場(5.64)(5.65)(5.66)1、靜力平衡方程和應變協調方程根據平面應變狀態下應力場和應變場的特點容易證明，此時與平面應力有完全相同的靜力平衡方程和應變協調方程，因此這里不重復給出。2、本構關系將代入廣義胡克定律，可得到彈性狀態下的本構關系(5.67)可見，平面應力問題中的E換成，就得到(5.67)，可見兩類平面問題可以統一起來求解。3、屈服條件由于是一個主應力。在體積不可壓縮的條件下，由

得可見是中間大小的主應力，另外兩個主應力由式(5.61)求得。Tresca屈服條件可表示為Mises屈服條件可表示為(5.68)(5.69)綜上所述，在彈性狀態下，兩類平面問題，都必須滿足平衡微分方程、應變協調方程和本構方程。這三類方程共有6個，含有6個未知函數，加上具體的邊界條件，從理論上是可求解的，但在數學上要求得這類偏微分方程的解析解是很困難的。對于某些簡單問題，可以采用逆解法和半逆解法求解，如采用應力函數方法。5.7.3應力函數假定體力X及Y是零，則平衡微分方程(5.55)可以簡化為齊次方程(5.70)將本構方程代入協調方程得(5.71)由式(5.70)中第一式對x求偏導,第二式對y求偏導,然后再將兩式相加,整理得(5.72)將式(5.72)代入式(5.71),整理得即(5.73)式(5.73)是拉普拉斯方程或應力表示的協調方程,它與應變協調方程是等價的,同時對于常體力情況該方程也是一樣的.從平面應變的本構關系出發也能得到此方程,可以說在彈性狀態下(5.73)適用于兩類平面問題.設在橫截面上任一點均存在一個應力函數。能滿足下式(5.74)這樣定義的應力函數能滿足平衡方程式(5.70)，且將其代入(5.73)后得到(5.75)即方程式(5.75)稱為雙調和方程或應力函數表示的協調方程，也叫相容方程，適用于無體力的彈性力學問題。對于常體力情況，應力函數解可寫成相容方程與無體力情況一樣為重調和方程。在彈性狀態下，物體內任一點的應力函數均應滿足重調和方程，也可以將應力邊界條件表示為應力函數的形式。這樣先求出物體內應力函數，再由式（5.76)求出應力分量。(5.76)一般地，應力函數可以選為多項式或級數的形式，具體選擇什么樣的多項式及級數依具體問題的邊界條件來確定。一、應力函數取一次多項式§5.7.4平面問題的多項式解答應力分量：應力邊界條件：結論：（1）線性應力函數對應于無面力、無應力的狀態。（2）把任何平面問題的應力函數加上一個線性函數，并不影響應力。二、應力函數取二次多項式1.對應于，應力分量。結論：應力函數能解決矩形板在方向受均布拉力（設）或均布壓力（設）的問題。如圖3-1（a）。2.對應于，應力分量。結論：應力函數能解決矩形板受均布剪力問題。如圖3-1（b）。圖3-1（a）（b）（c）3.應力函數能解決矩形板在方向受均布拉力（設）或均布壓力（設）的問題。如圖3-1（c）。三、應力函數取三次多項式對應的應力分量：結論：應力函數（a）能解決矩形梁受純彎曲的問題。如圖3-2所示的矩形梁。（a）圖圖3-2四、用應力函數解矩形截面梁的純彎問題（彈性解）如圖3-2,取單位寬度的梁來考察,并命每單位寬度上力偶的矩為。這里的因次是[力][長度]/[長度]，即[力]。在左端或右端，水平面力應當合成為力偶，而力偶的矩為，這就要求：將式（a）中的代入，上列二式成為：前一式總能滿足，而后一式要求：代入式（a），得：因為梁截面的慣矩是，所以上式可改寫為：結果與材料力學中完全相同。注意：對于長度遠大于深度的梁，上面答案是有實用價值的；對于長度與深度同等大小的所謂深梁，這個解答是沒有什么實用意義的。

五、楔形體受重力和液體壓力（彈性解）設有楔形體,如圖a所示，左面鉛直,右面與鉛直角成角，下端無限長，承受重力及液體壓力，楔形體的密度為，液體的密度為，試求應力分量。問題：圖圖圖圖（a）（b）平面問題的直角坐標解答取坐標軸如圖所示。假設應力函數為：（二）邊界條件左面（）應力邊界條件：這些應力分量滿足平衡微分方程和相容方程。（一）應力分量在該問題中，體力分量，所以應力分量的表達式為：（a）右面（），，應力邊界條件：將式（a）代入，得：代入式（a），得：（b）將式（b）代入，得：（c）又：代入式（c），得：將這些系數代入式（b），得：各應力分量沿水平方向的變化大致如圖b所示。注意：1.沿著壩軸，壩身往往具有不同的截面，而且壩身也不是無限長的。因此，嚴格說來，這里不是一個平面問題。2.對于壩身底部來說，上面的解答是不精確的。3.在靠近壩頂處，以上解答也不適用。平面問題的極坐標解答(一)極坐標下的基本方程1、極坐標中的平衡微分方程2、極坐標中的幾何方程及物理方程（1）平面應力情況（2）平面應變情況：

將上式中的換為，換為。3、極坐標中的應力函數與相容方程（1）應力函數與應力分量之間的關系（2）相容方程

用極坐標求解平面問題時（體力不計），就只須從相容方程求解應力函數，然后求出應力分量，再考察應力分量是否滿足邊界條件，多連體還要滿足位移單值條件。(二)如圖所示，設圓筒的長度遠大于筒的直徑，材料為理想彈塑性的，且不計體力，求圓筒內部的應力場和位移場。邊界條件：本問題可以采用應力解法也可以采用位移解法，這里采用應力解法。（1）彈性階段——彈性解和彈性極限在極坐標里，本構方程的形式為將幾何方程代入上式，得將應力分量代入平衡方程并化簡后，得到這是軸對稱平面問題用位移表示的平衡方程。它是一個歐拉(Euler)方程，其通解為式中為待定常數。將上式代入應力分量表達式，得其中利用邊界條件可以確定常數A、B為因此，最終得到厚壁筒受內、外壓作用時的彈性應力場和位移場：當時，厚壁筒問題化為一個具有圓孔的無限大彈性薄板或具有圓形孔道的無限大彈性體，它們的應力分量為當圓筒僅受內壓時,圓筒內的應力是第一主應力,而是第三主應力,故有從上式可見,圓筒內壁的最大.假設材料服從Tresca屈服條件,則圓筒內壁將首先達到屈服,此時有解上式得這里,就是問題的彈性極限壓力值,它與圓筒的內外半徑之比有關.當時，。可見，當彈性無限空間內的圓柱形孔洞受到內壓作用（如有壓隧洞）時，其內表面開始屈服時的壓力值與洞的半徑無關。此外，當內外半徑之比a/b較小時，僅僅加大圓筒的外半徑，并不會明顯提高筒的彈性極限壓力值。例如當a/b=1/3時，；當

，即時。因此，在設計高壓圓筒時，不能只是采取加大圓筒厚度的辦法來提高其強度，必須采用其他的措施，如采用高強度材料或對圓筒施加預應力等。在彈性區，部分，應力分布規律仍可前面的彈性解給出，但是要把其中的a改為c，內壓力改為r=c處的應力值。在塑性區，平衡微分方程仍能成立，即如果材料服從Tresca屈服條件，則在塑性區內處處有將屈服條件代入平衡微分方程，則方程化為積分上式，得利用邊界條件，可以確定出待定常數C,代入上式即得到塑性區內的應力分量為再利用屈服條件，得到綜上，可得到塑性區內的應力解為注意，當時，由上式得下面根據彈性區和塑性區交界的連續條件，確定彈性區的應力分布以及交界圓周線的半徑c。彈性區和塑性區交界的應力連續條件為考慮到在處，有上式表示在彈性區無限接近交界的內側，材料趨近屈服另外，將彈性區域彈性解表達式中的a改為c,外壓力改為外層彈性區的邊界應力，經整理后得和塑性區的外邊界比較，最后得到彈塑性分解線所滿足的方程綜上所述,最終得到應力解為1)彈性區2)塑性區3)交界線由應力解可以發現,在彈性區和塑性區的交界,徑向應力連續而周向應力卻間斷,這正是彈塑性問題的特殊之處.當塑性區擴展到整個截面時,可得到塑性極限狀態下的內壓力為三)楔形體在楔頂或楔面受力平面問題的極坐標解答

楔形體的中心角為，下端為無限長。1.頂部受集中力P

設楔形體在楔頂受有集中力，與楔形體的中心線成角。取單位寬度的部分來考慮，并令單位寬度上所受的力為。

楔形體內一點的應力分量決定于α、β、P、r、θ，因此，應力分量的表達式中只包含這幾個量。其中α、β、θ是無量綱的量，因此根據應力分量的量綱，應力分量的表達式應取PN/r的形式，其中N是α、β、θ組成的無量綱的量。由應力函數的表達式可以看出應力函數中r的冪次應當比各應力分量的冪次高出兩次，因此可設：

平面問題的極坐標解答代入相容方程后得：求解這一微分方程，得：不影響應力，取：其中于是得：平面問題的極坐標解答楔形體左右兩面的邊界條件：

上述應力分量滿足該邊界條件。集中力P按圣維南原理處理，取出任一圓柱面ab，則該截面上的應力和P成平衡力系：將的表達式代入，可求出C、D，最后得到密切爾解答：例

如圖所示，楔形體兩邊受均勻分布的切向荷載作用，求其中的應力分布。解：（1）根據因次分析選擇并求解

=(,q,r,)=r2f()代入協調方程通解是：f()=Asin2+Bcos2＋C+D=2Asin2

2Bcos2＋2C+2D＝2(Asin2+Bcos2＋C+D)=

2Acos2+2Bsin2

C根據力邊界條件求出常數A、B、C、D

()=

=0

(r)==q

(r)==qA=0，C=0，

楔形體（尖劈）問題應力函數的構造小結：xyOPxyOM附1：曲梁一端受徑向集中力作用矩形截面曲梁（單位厚度），內半徑為a，外半徑為b，一端固定，另一端受徑向集中力作用。（1）應力函數的確定分析：任取一截面m-n

，截面彎矩為由材料力學初等理論，可知截面上正應力由此假定：再由應力分量與應力函數間的關系，可推得：將其代入相容方程（a）該方程可轉變為歐拉方程求解，其解為（b）代入應力函數為（c）（2）應力分量的確定（d）邊界條件：代入應力分量得：端部條件：（e）代入剪應力分量得：（f）聯立求解式（e）、（f），得：其中，代入應力分量式（d），有：（f）(2)

楔形體問題xyOPxyOMlrrrrrrrrrrarlra取半徑為a的半圓分析，由其平衡得：5.8應力函數在梁的彈性彎曲問題中的應用梁的彈性彎曲問題可簡化為平面應力問題,如圖所示的簡支梁,沿z向(圖中未畫出)取單位長度,梁內任意一點的應力狀態滿足MMhhLyxo假設梁兩段作用有力偶M,由于直接求解三類方程困難，這里用逆解法來求解．梁上、下表面處的邊界條件是在梁的左右兩端，無法滿足精確的應力邊界條件，只能由圣維南原理寫出靜力等效的邊界條件(5.77)(5.78)(5.79)(5.80)設應力函數為其中c為待定參數。式(5.81)設定的函數顯然滿足雙調和方程。由應力函數與應變分量的關系，可求得應力分量(5.81)(5.82)將(5.82)代入式(5.80)，得(5.83)因此，有求得代定參數后，得到梁內各點的應力分量為由于矩形截面的慣性矩為故應力分量的表達式為(5.85)(5.84)上述結果與材料力學所得到的解答完全相同。對于梁的端部，以上解答與實際情況存在一定的誤差，但根據圣維南原理，這只會影響梁的端點附近的應力分布，其它部位沒有影響。應變分量：根據本構關系可求出梁內任意一點的應變場為(5.86)將上式代入幾何方程得(5.87)積分式(5.87)的前兩式得(5.88)將(5.88)代入(5.87)的最后一個方程，得整理得(5.89)上式左邊只與x有關，而右邊只與y有關，由此得式中，是一個待定常數。整理上式得積分上述兩式，得(5.90)將式（5.90）代入（5.88),得(5.91)式中均為待定常數，根據位移邊界條件確定。如為簡支邊的邊界條件(5.92)將式(5.92)代如式(5.91)，得因此，得式(5.93)中取可得撓度曲線方程(5.93)此曲線方程同材料力學中得出的結論一致。注：當梁的截面形式或荷載作用情況比較復雜時，將應力函數取為多項式形式可能會產生較大的誤差，這時可選應力函數為三角形式的級數解，這里不再進一步討論。5.9梁的彈塑性彎曲問題從本節開始研究梁的彈塑性彎曲,為了簡化問題,假設梁的橫截面具有兩個對稱軸,即y軸及z軸均是橫截面的對稱軸.5.9.1基本假定①梁橫截面變形后,仍為平面且與變形后的軸線垂直(平截面假定).經實驗驗證,這個假定在彈性狀態下成立,在塑性狀態下仍成立.②梁內各點只有兩個應力分量不為0,梁的彎曲問題可以按平面應力問題來處理.③梁選用材料抗拉抗壓是對稱的.這里假定材料是理想彈塑性材料,單向應力狀態下的應力-應變關系滿足(5.94)5.9.2基本方程1.變形協調方程梁的彎曲問題的變形協調方程